Mathématiques Méthodes et Exercices ECS 2e année

384 Pages·2012·8.72 MB·French

Mathématiques
Méthodes et exercices
ECS 2e année
Cécile Lardon
Professeur en classe préparatoire
au lycée du Parc à Lyon
Jean-Marie Monier
Professeur en classe préparatoire
au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon
© Dunod, Paris, 2011
ISBN 978-2-10-058112-2
Table des matières
Remerciements VI Dumalàdémarrer? 161
Corrigésdesexercices 163
1. Réductiondes endomorphismes
etdes matricescarrées 1 6. Variablesaléatoiresà densité 180
Lesméthodesàretenir 2 Lesméthodesàretenir 180
Énoncésdesexercices 4 Énoncésdesexercices 183
Dumalàdémarrer? 12 Dumalàdémarrer? 190
Corrigésdesexercices 15 Corrigésdesexercices 193
2. Algèbrebilinéaire 38 7. Convergenceset approximations 217
Lesméthodesàretenir 39 Lesméthodesàretenir 217
Énoncésdesexercices 41 Énoncésdesexercices 218
Dumalàdémarrer? 47 Dumalàdémarrer? 224
Corrigésdesexercices 50 Corrigésdesexercices 227
3. Intégralessur unintervalle 8. Estimation, statistique 243
quelconque 66
Lesméthodesàretenir 244
Lesméthodesàretenir 66 Énoncésdesexercices 245
Énoncésdesexercices 70 Dumalàdémarrer? 254
Dumalàdémarrer? 79 Corrigésdesexercices 257
Corrigésdesexercices 84
9. Algorithmique 276
4. Fonctionsnumériquesde plusieurs
Lesméthodesàretenir 276
variablesréelles 116
Énoncésdesexercices 281
délit Lesméthodesàretenir 117 Dumalàdémarrer? 290
un Énoncésdesexercices 120 Corrigésdesexercices 293
est Dumalàdémarrer? 126
e
orisé Corrigésdesexercices 129 10. Problèmesde révision 312
ut
a
n Énoncésdesexercices 313
o 5. Variablesaléatoiresdiscrètes,
n
n Dumalàdémarrer? 332
o vecteursaléatoiresdiscrets 150
ucti Corrigésdesexercices 338
d
pro Lesméthodesàretenir 151
utere Énoncésdesexercices 154 Index 378
To
d.
o
n
u
D
©
III
Pour bien utiliser cet ouvrage
Lapaged’entréedechapitre
Elle propose un plan du chapitre, les
thèmes abordés dans les exercices, ainsi
qu’unrappeldespointsessentielsducours
pourlarésolutiondesexercices.
Lesméthodesàretenir
Cette rubriqueconstitueunesynthèsedesprin-
cipales méthodes à connaître, détaillées étape
parétape,etindiquelesexercicesauxquelselles
serapportent.
IV
Pourbienutilisercetouvrage
Énoncésdesexercices
Denombreuxexercicesdedifficultécroissante
sontproposéspours’entraîner.Ladifficultéde
chaque exercice est indiquée sur une échelle
de1à4.
Dumalàdémarrer?
Des conseils méthodologiques sont proposés
pourbienaborderlarésolutiondesexercices.
délit
n
u
eest Corrigésdesexercices
utorisé Touslesexercicessontcorrigésdefaçondétaillée.
a
n
o
n
n
o
cti
u
d
o
pr
re
ute
To
d.
o
n
u
D
©
V
Remerciements
Noustenonsiciàexprimernotregratitudeauxnombreuxcollèguesquiontacceptéderéviserdespartiesdumanuscrit:
Pascal Alessandri, Jean-Philippe Berne, Gérard Bourgin,Frédérique Christin, Jean-Paul Christin, Sophie Cohéléach,
Carine Courant, Sylvain Delpech, Hermin Durand, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, André Laffont, Tewfik
Lahcène,HadrienLarome,IbrahimRihaoui,RenéRoy,Marie-DominiqueSiéfert,Marie-PascaleThon,AudreyVerdier.
VI
11
Réduction
CHAPITRE
des endomorphismes
et des matrices carrées
Plan
Thèmes abordés dans les exercices
Lesméthodesàretenir 2
• Déterminationdes valeurspropreset des sous-espacespropresd’unendomor-
Énoncésdesexercices 4
phismeoud’unematricecarrée
Dumalàdémarrer? 12 • Étudedeladiagonalisabilitéd’unendomorphismeoud’unematricecarrée,ob-
tentiond’unediagonalisation
Corrigésdesexercices 15
• Calculdespuissancesd’unematricecarrée
• Résolutiond’équationsmatricielles.
KdésigneRouC Points essentiels du cours
pour la résolution des exercices
Parcommodité,onutilise
lesabréviationssuivantes: • Définitionde:valeurpropre,vecteurpropre,sous-espacepropre
evpour:espacevectoriel
• Matrices de passage, formules de changement de base, matrices carrées sem-
sevpour:sous-espacevectoriel
blables
vppour:valeurpropre
• Définitiondeladiagonalisabilité,d’unediagonalisation
SEPpour:sous-espacepropre.
• CNSdediagonalisabilitéfaisantintervenirlasommedessous-espacespropres
• CNSdediagonalisabilitéfaisantintervenirlasommedesdimensionsdessous-
espacespropres
• Condition suffisante de diagonalisabilité : n valeurs propres deux à deux dis-
tinctesendimensionn
• Polynômesd’endomorphisme,polynômesdematricecarrée,polynômesannu-
lateursd’unendomorphisme,polynômesannulateursd’unematricecarrée
délit • Toutematricesymétriqueréelleestdiagonalisable.
n
u
est
e
orisé
ut
a
n
o
n
n
o
cti
u
d
o
pr
re
ute
To
d.
o
n
u
D
©
1
Chapitre1 •Réductiondesendomorphismesetdesmatricescarrées
Les méthodes à retenir
Essayerl’unedestroisméthodessuivantes:
• calculer,pourtoutλ ∈ K,lerangdelamatriceA−λIn enfonction
deλ;λestvaleurpropresietseulementsirg(A−λI )<n
n
➥
Exercices1.1a),b),c),e),f),1.4b),1.6b)2),1.10a),1.11a),
1.35b)
• revenir à la définition, c’est-à-dire résoudre l’équation f(x) = λx,
Pourdéterminer d’inconnueλ∈K,oùx∈E\{0},oul’équationAX =λX,d’inconnue
lesvaleurspropres λ∈K,oùX ∈M (K)\{0}
n,1
d’unendomorphisme f
➥
Exercices1.26b),1.34
d’unespacevectorielE
oud’unematricecarrée AdeM (K) • faireintervenirlanotiondepolynômeannulateur,si f ouAsatisfait
n
uneéquationassezsimple.
➥
Exercices1.2b),1.5a),1.16d),1.18a),1.19,1.32,1.33b)
Serappelerquelesvaleurspropresd’unematricetriangulaireselisent
sursadiagonale.
➥
Exercices1.1d),1.8c),1.13c),1.15a),1.20a),1.25d)2),
1.33a).
Appliquerladéfinition:
Pourdéterminer SEP(f,λ )=Ker(f −λ Id )={x∈ E; f(x)=λ x},
0 0 E 0
lesous-espacepropre (cid:2) (cid:3)
SEP(A,λ )= X ∈M (K); AX =λ X ,
associéàunevaleurpropreλ 0 n,1 0
0
d’unendomorphisme f c’est-à-dire résoudre l’équation f(x) = λ x, d’inconnue x ∈ E ou
0
oud’unematricecarrée AdeMn(K) l’équationAX =λ0X,d’inconnueX ∈Mn,1(K).
➥
Exercices1.1,1.5b),1.10b),1.20a),1.25d)2),1.33a).
Essayerde:
• déterminer d’abord les valeurs propres de f ou de A, par une mé-
Pourdéterminer
thodevueplushaut,puis,pourchaquevaleurpropre,déterminerle
lesvaleurspropres
sous-espacepropreassociéparlaméthodevueplushaut
etlesvecteurspropres
➥
d’unendomorphisme f Exercice1.1
d’unespacevectorielE • résoudrel’équation f(x) = λx, d’inconnuesλ ∈ K, x ∈ E \{0}ou
oud’unematricecarrée AdeMn(K) l’équationAX =λX,d’inconnuesλ∈K, X ∈M (K).
n,1
➥
Exercices1.3b),1.6b)1),1.14b),1.27,1.28b).
DéterminerlesvaleurspropresdeA:
Pourétudierladiagonalisabilité
• siAadmetnvaleurspropresdeuxàdeuxdistinctes,alors,d’aprèsle
d’unematricecarrée AdeM (K)et
n cours,Aestdiagonalisable
éventuellementpourdiagonaliser A
➥
Exercices1.1a),b),1.6c),1.9,1.11a),1.27d)
2
Lesméthodesàretenir
• si A n’admet qu’une seule valeur propre α et si A (cid:2) αIn, alors A
n’estpasdiagonalisable,commeonlemontreenraisonnantparl’ab-
surde.
➥
Exercices1.1d),1.8c),1.9,1.13c)
• sinon,déterminerlessous-espacespropresdeApuislesdimensions
dessous-espacespropresdeA;d’aprèslecours,Aestdiagonalisable
sietseulementsilasommedesdimensionsdessous-espacespropres
deAestégaleàn
➥
Exercices1.1c),e),1.2c),1.5c),1.8c),1.10b),1.17,
1.25d)2),1.26c)
(suite)
• si A est diagonalisable, en notant D la matrice diagonale formée
(surla diagonale)parlesvaleurspropresde A(présentesautantde
fois que la dimension du sous-espace propreassocié), et en notant
PlamatricedepassagedelabasecanoniquedeM (K)àunebase
n,1
de vecteurs propresde A (associés aux valeurs propres de A, dans
l’ordre),onobtientunediagonalisationA=PDP−1deA
➥
Exercices1.1a),b),c)
• serappelerquetoutematricesymétriqueréelleestdiagonalisable.
➥
Exercices1.1b),1.2c),1.3a),1.4a),1.7b),1.12e),1.14a),
1.28a),1.35a).
Déterminerlesvaleurspropresde f :
• si f admetnvaleurspropresdeuxàdeuxdistinctes,alors f estdia-
gonalisable
➥
Exercice1.6
• sinon, déterminer les sous-espaces propres de f, puis éventuelle-
mentlesdimensionsdessous-espacespropresde f
Pourétudier
(cid:4) f estdiagonalisablesietseulementsilasommedessous-espaces
ladiagonalisabilité
propresde f estégaleàE
d’unendomorphisme f
➥
Exercice1.16
d’unespacevectorielE
dedimensionfinie n (cid:4) f estdiagonalisablesietseulementsilasommedesdimensions
dessous-espacespropresde f estégaleàn
délit ➥Exercices1.6,1.25
n
u • onpeutessayerdeserameneràl’étudedeladiagonalisabilitéd’une
eest matricecarrée,enconsidérantlamatricede f dansunecertainebase
orisé deE.
naut ➥Exercices1.7,1.8,1.12,1.29.
o
n
n
o
cti
du Essayer d’utiliser,si possible,une diagonalisation A = PDP−1 de A,
o
uterepr Pourcalculer oOùnDaaelsotrdsi:ago∀nna∈leNet,PAenst=inPvDernsPib−l1e..
To lespuissances
Deplus,AestinversiblesietseulementsiDestinversible,et,dansce
nod. d’unematricecarrée cas,onaalors: ∀n∈Z, An = PDnP−1.
u
D ➥
Exercice1.3c).
©
3
Chapitre1 •Réductiondesendomorphismesetdesmatricescarrées
Énoncés des exercices
1.1 Exemplesd’étudedediagonalisabilitéetdediagonalisationéventuelledematricescarrées
d’ordre3
Pourchacunedesmatricessuivantes,est-ellediagonalisableet,sioui,ladiagonaliser:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a) A=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−−14 36 −−13⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ b) B=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝00 00 11⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ c) C=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝30 −16 −02⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
4 −4 3 1 1 1 4 −12 −3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
d) E=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝10 21 −11⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ e) F =⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝30 −21 21⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ f) G=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−01 10 21⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
0 0 1 −1 1 3 1 −1 1
1.2 Exempledediagonalisationd’unematricecarréed’ordre4,d’aprèsHEC2009
⎛ ⎞
On considère la matrice A=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝111 −111 −111 −−111⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ de M4(R) et on note f l’endomorphisme de R4
1 −1 −1 1
représentéparAdanslabasecanoniqueB =(e , e , e , e )deR4.
0 1 2 3 4
a)Onnotev =(1,1, 0, 0), v =(1, −1,1, 1), v =(1,0, 1, 0).
1 2 3
Calculer f(v)pourtouti∈(cid:3)1; 3(cid:4).
i
b)CalculerA2.Qu’endéduit-onpourlesvaleurspropresdeA?
c)MontrerqueAestdiagonalisabledansM (R)etdéterminerunematricedepassagePdela
4
baseB àunebasedevecteursproprespour f.
0
1.3 Exemplededéterminationdesvaleurspropresetdessous-espacespropresd’unematrice
carréed’ordre5,d’aprèsHEC2006
⎛ ⎞
Onconsidèrelamatrice A=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0100 1010 0101 0010 0001⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠∈M5(R).
0 0 0 1 0
a)Est-cequeAestdiagonalisable?
b)Déterminerlesvaleurspropresetlessous-espacespropresdeA.
1.4 Exempledecalculdespuissancesd’unematricecarréed’ordre3àl’aided’unediagonali-
sation
⎛ ⎞
Onnote A=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝00 01 11 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠∈M3(R).
1 1 1/2
a)MontrerqueAestdiagonalisableetqueAestinversible.
b)DiagonaliserA.
c)Endéduirel’expressiondeAnpourtoutn∈Z.
4