Mathématiques : Méthodes et exercices BCPST 1e année PDF
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9782100549252-Begyn-lim.qxd 12/07/10 13:04 Page I Mathématiques Méthodes et exercices BCPST 1re année Arnaud Bégyn Professeur agrégé de mathématiques en classe préparatoire BCPST au lycée Pierre de Fermat (Toulouse) Guillaume Connan Professeur agrégé de mathématiques au lycée Jean Perrin (Rezé) 9782100549252-Begyn-lim.qxd 12/07/10 13:04 Page II © Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-055636-6 9782100549252-Begyn-Tdm.qxd 12/07/10 7:44 Page III Table des matières Table des matières 1. Logique, théorie des ensembles 7. Dérivabilité des fonctions et calcul formel 1 numériques et continuité 149 Les méthodes à retenir 2 Les méthodes à retenir 149 Énoncés des exercices 4 Énoncés des exercices 152 Du mal à démarrer? 7 Du mal à démarrer? 158 Corrigés des exercices 8 Corrigés des exercices 160 2. Nombres complexes 8. Intégration sur un segment et trigonométrie 15 et équations différentielles linéaires 183 Les méthodes à retenir 15 Énoncés des exercices 18 Les méthodes à retenir 183 Du mal à démarrer? 21 Énoncés des exercices 186 Corrigés des exercices 23 Du mal à démarrer? 191 Corrigés des exercices 193 3. Suites réelles 37 9. Dénombrement Les méthodes à retenir 38 et calcul des probabilités 213 Énoncés des exercices 41 Du mal à démarrer? 45 Les méthodes à retenir 213 Corrigés des exercices 47 Énoncés des exercices 216 Du mal à démarrer? 222 4. Systèmes linéaires Corrigés des exercices 223 et calcul matriciel 61 10. Variables aléatoires 241 Les méthodes à retenir 62 Énoncés des exercices 63 Les méthodes à retenir 241 Du mal à démarrer? 68 Énoncés des exercices 242 Corrigés des exercices 69 Du mal à démarrer? 246 Corrigés des exercices 247 5. Espace vectoriel Kn et applications linéaires de Kp dans Kn 83 11. Vecteurs aléatoires 257 Les méthodes à retenir 84 Les méthodes à retenir 257 élit. Énoncés des exercices 88 Énoncés des exercices 259 n d Du mal à démarrer? 94 Du mal à démarrer? 265 u est Corrigés des exercices 95 Corrigés des exercices 266 e é utoris 6. Fonctions usuelles, polynômes 12. Géométrie 285 a on en une indéterminée et continuité pie n des fonctions numériques 121 Les méthodes à retenir 285 co Énoncés des exercices 290 o ot Les méthodes à retenir 121 h Du mal à démarrer? 296 p d. La Énoncés des exercices 126 Corrigés des exercices 298 o Du mal à démarrer? 131 n u D © Corrigés des exercices 133 III 9782100549252-Begyn-DP.qxd 13/07/10 8:49 Page IV Pour bien utiliser cet ouvrage La page d’entrée de chapitre Elle propose un plan du chapitre, les thèmes abordés dans les exercices, ainsi qu’un rappel des points essentiels du cours pour la résolution des exercices. Les méthodes à retenir Cette rubrique constitue une synthèse des prin- cipales méthodes à connaître,détaillées étape par étape,et indique les exercices auxquels elles se rapportent. IV 9782100549252-Begyn-DP.qxd 13/07/10 8:49 Page V Énoncés des exercices De nombreux exercices de difficulté croissante sont proposés pour s’entraîner.La difficulté de chaque exercice est indiquée sur une échelle de 1 à 4. − #∗ !− " − ! −" −−! −" − !" − Du mal à démarrer ? Des conseils méthodologiques sont proposés #−$ − pour bien aborder la résolution des exercices. − − !− "− ! " Corrrigés des exercices ! " Tous les exercices sont corrigés de façon détaillée. ! " × − −− − −− −− − − V 9782100549252-Begyn-int.qxd 13/07/10 7:43 Page VI Introduction Ce livre est un recueil d’exercices destinés aux élèves de première année de classes préparatoires BCPST,mais aussi à des étudiants en Licence de SVT. Il sera aussi plus qu’utile aux élèves de seconde année souhaitant réviser le pro- gramme de première année avant les concours. Nous nous sommes principalement inspirés d’annales d’oraux du concours Agro-Véto. Afin d’offrir une gamme d’exercices plus large,et de difficulté parfois plus importante,nous avons aussi cherché dans les annales d’oraux du concours Escp-Eap (ouvert aux élèves de classes préparatoires ECS). Dans chaque chapitre nous présentons d’abord les principales méthodes qui permettent de résoudre efficacement la plupart des exercices. Chaque méthode est détaillée et est associée à un ou plusieurs exercices où elle peut être utili- sée. Les exercices sont ensuite présentés par ordre de difficulté croissante. Les corrections ont été détaillées au maximum afin d’être compréhensibles par tous les élèves,même les plus en dif- ficultés. Nous avons aussi utilisé beaucoup de figures pour rendre les corrections moins indigestes. Voici quelques conseils pour bien utiliser ce livre : • Il est conseillé de passer un moment à réfléchir à l’exercice sans aucune autre aide que votre cours de mathématiques. • Si vous êtes véritablement bloqué,vous trouverez une indication à la suite des énoncés d’exercices. Ceci devrait vous permettre de trouver la solution. • Vous trouverez ensuite une solution détaillée. Rappelons tout de même une évidence :se jeter sur la correction sans réfléchir seul à la solution ne vous apportera rien, même si vous avez compris les raisonnements et calculs présen- tés. Nous avons choisi des exercices qui sont très classiques, c’est-à-dire que beaucoup d’exercices posés aux concours leur ressemblent. Si vous réussissez l’effort de retenir par coeur les méthodes de résolution présentées dans les corrections,vous serez donc beaucoup plus à l’aise et plus en confiance à l’écrit et à l’oral des concours. Un dernier mot sur la rédaction du livre : vous avez entre les mains la toute première version de ce recueil. Malgré tous nos efforts de rigueur et les nombreuses relectures,il se peut qu’il reste des petites erreurs de calculs,des fautes de frappe ou d’impression,ou encore des raisonnements mal rédigés ou trop compliqués. Afin d’améliorer au mieux le contenu,un suivi sera effectué « en temps réel » à l’adresse suivante :http://arnaud.begyn.free.fr/. Vous êtes sincè- rement invités à signaler toute erreur potentielle ou à demander des éclaircissements (par exemple via notre page Facebook ou en envoyant un mail à [email protected]). Nous nous engageons à vous répondre rapidement. Nous tenons à remercier Éric d’Engenières qui nous a fait confiance pour la rédaction de cet ouvrage. Un recueil pour les élèves de seconde année devrait paraître prochainement. Nous vous souhaitons une bonne lecture et une très bonne réussite aux concours ! Arnaud Bégyn VI 9782100549252-Begyn-C01.qxd 7/07/10 9:17 Page 1 11 Logique, théorie CHAPITRE des ensembles et calcul formel Plan Thèmes abordés dans les exercices Les méthodes à retenir 2 • Raisonnements mathématiques Énoncés des exercices 4 • Opérations sur les ensembles • Propriétés générales des applications Du mal à démarrer? 7 • Manipulation des symboles ! et " Corrigés 8 Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Démonstration d'une implication,d'une équivalence • Raisonnement par contraposée • Raisonnement par l'absurde • Raisonnement par récurrence • Démonstration d'une inclusion,d'une égalité entre ensembles • Règles de calcul pour les opérations sur les ensembles • Image directe ou réciproque d'une partie par une application • Injectivité,surjectivité ou bijectivité d'une application • Théorème d'inversibilité pour la loi de composition • Théorème de la bijection pour les fonctions numériques • Règles de calcul avec les symboles ! et " • Règles de calcul sur les coefficients binomiaux • Sommes usuelles :sommes arithmétiques,sommes géométriques,formule du binôme élit. d n u est e é oris ut a n o n e pi o c o ot h p a L d. o n u D © 1 9782100549252-Begyn-C01.qxd 7/07/10 9:17 Page 2 Chapitre 1• Logique,théorie des ensembles et calcul formel Les méthodes à retenir • Pour démontrer que A B on suppose que la propriété A est !⇒ vérifiée et on doit démontrer que la propriété B l'est aussi. !Exercice 1.4 • Pour démontrer l'implication A B,on peut raisonner par contra- !⇒ posée,c'est-à-dire démontrer l'implication non(B) non(A):on Pour démontrer une implication !⇒ suppose que B n'est pas vérifiée et on démontre qu'alors A ne l'est ou une équivalence pas non plus. !Exercice 1.1 • Pour démontrer une équivalence A B on raisonne par double- ⇐⇒ implication : on démontre l'implication A B ainsi que sa réci- !⇒ proque B A. !⇒ !Exercice 1.6 • Pour démontrer que A est vérifiée :on suppose que A n'est pas véri- Pour raisonner par l'absurde fiée et on en déduit une contradiction évidente du type 1 0,3!2 = etc. !Exercices 1.3 et 1.6 • Pour démontrer que x E,P(x) :on se fixe un x E quelconque ∀ ∈ ∈ et on doit alors démontrer que P(x) est vérifiée pour ce x fixé. !Exercice 1.1 • Pour démontrer que x E/P(x) : on doit donner (au moins) un ∃ ∈ exemple de x Equi vérifie la propriété P(x). Lorsque P(x)est une ∈ Pour démontrer une proposition équation alors x est l'inconnue et on doit trouver (au moins) une logique dépendant de solution. quantificateurs !Exercice 1.5 • Pour démontrer que !x E : on démontre comme précédemment ∃ ∈ que x E/P(x) et,de plus,qu'il ne peut y avoir deux valeurs dis- ∃ ∈ tinctes de xpour lesquelles P(x) est vraie (par exemple à l'aide d'un raisonnement par l'absurde). !Exercice 1.5 • Si la propriété à démontrer, pour tout entier naturel n, vérifie une relation donnée entre le rang n et le rang n 1, on utilise alors le + Pour raisonner par récurrence principe de récurrence. !Exercices 1.2,1.11 et 1.13 2 9782100549252-Begyn-C01.qxd 7/07/10 9:17 Page 3 Les méthodes à retenir • Si la propriété à démontrer, pour tout entier naturel n, vérifie une relation donnée entre les rangs n,n 1 et n 2,on utilise alors le + + principe de récurrence à deux pas. !Exercice 1.2 Pour raisonner par récurrence • Si la propriété à démontrer, pour tout entier naturel n, vérifie une relation donnée entre tous les rangs k tel que k !n,on utilise alors le principe de récurrence forte. !Exercice 1.2 • Pour démontrer l'inclusion E F on démontre l'implication ⊂ x E x F. ∈ !⇒ ∈ !Exercices 1.3,1.6 et 1.8 • Pour démontrer l'égalité E F on raisonne par double-inclusion : Pour démontrer une inclusion ou = on démontre l'inclusion E F et l'inclusion réciproque F E. une égalité entre deux ensembles ⊂ ⊂ !Exercices 1.3,1.6,1.7 et 1.8 • Dans les deux cas, on peut aussi utiliser les opérations sur les ensembles. !Exercices 1.6 et 1.7 • Pour démontrer que f :E F est injective sur E : on se donne −→ (x ,x ) E2 tel que f(x ) f(x ), et on doit alors montrer que 1 2 1 2 ∈ = x x . 1 2 = !Exercices 1.4 et 1.5 Pour démontrer qu'une application est injective ou surjective • Pour démontrer que f :E F est surjective de E sur F : on se −→ donne y F fixé quelconque ,et on doit alors donner (au moins) un ∈ x E tel que y f(x),par exemple en démontrant que l'équation ∈ = y f(x) d'inconnue x a (au moins) une solution dans E. = !Exercices 1.4 et 1.5 • On revient à la définition en démontrant qu'elle est à la fois injecti- ve sur E,et surjective de E sur F. délit. !Exercice 1.4 n u ée est • On démontre les deux en même temps : on se donne y ∈F fixé autoris Pour démontrer qu'une application qexueemlcpolneq eune ,deétm oonn tdraonitt qaluoer sl' émquoanttiroenr yque ∃f!(xx)∈dE'i/ncyon=nufe( xx)a, upnaer n est bijective = no unique solution dans E. e opi !Exercice 1.5 c o ot ph • On utilise le théorème d'inversibilité pour la loi de composition :on a od. L détermine une application g :F−→E telle que f ◦g =idF et n g f id . u E D© ◦ = !Exercice 1.15 3 9782100549252-Begyn-C01.qxd 7/07/10 9:17 Page 4 Chapitre 1• Logique,théorie des ensembles et calcul formel • Dans le cas d'une fonction numérique, on peut utiliser le théorème Pour démontrer qu'une application de la bijection. est bijective !Exercice 1.5 • Pour y F fixé quelconque,f 1(y) est l'unique solution de l'équa- − ∈ tion y f(x) d'inconnue x E. = ∈ Pour déterminer l'application !Exercice 1.5 réciproque d'une bijection • Si on a trouvé g :F E telle que f g id et g f id , F E −→ ◦ = ◦ = alors f 1 g. − = !Exercice 1.15 • On met en facteur les termes ne dépendant pas de l'indice de som- mation,on utilise ensuite les règles de calcul sur les symboles !,et on conclut en faisant apparaître les sommes usuelles (à l'aide de changements d'indice). Pour calculer une somme formelle !Exercices 1.9,1.12,1.13 et 1.14 • Si le résultat final est donné dans l'énoncé,on peut aussi démontrer la formule par récurrence. !Exercices 1.11 et 1.12 Énoncés des exercices 1.1 Exemple de démonstration d'une implication par contraposée Établir que : n N, n2pair npair. ∀ ∈ !⇒ 1.2 Exemples de démonstration par récurrence n n(n 1)(2n 1) a)Établir que,pour tout n N : k2 + + . ∈ = 6 !k 0 = bÉ)taOblnir dqéufei,npito uurn eto usut inte réNell:eu (un)2n∈nN1par( : 1u)0n.=u1=3 et ∀n∈N, un+2=un+1+2un. ∈ n = + + − c)On définit une suite réelle (un)n∈Npar :u0=0,u1=3et 2 n n N , u u . ∀ ∈ ∗ n+1= n !k 0 k = Montrer que,pour tout n N :u 3n. ∈ n = 1.3 Autour de l'image directe d'une application Soit f :E Fune application. Soient A et B deux parties de E. −→ 4
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