Mathématiques L1 L2 Statistique et probabilités en 30 fiches

160 Pages·1.752 MB·French

by  Daniel Fredon, Myriam Maumy-Bertrand, Frédéric Bertrand

Daniel FREDON
Myriam MAUMY-BERTRAND
Frédéric BERTRAND
Mathématiques
Statistique
et probabilités
en 30 fiches
m p r e n d r e
C eot s ’ e n t r a î n e r
m e n t
f a c il e
© Dunod, Paris, 2009
ISBN 978-2-10-054257-4
Avant-propos
L’organisation en crédits d’enseignement entraîne des variations entre les Universités.
Les deux premières années de licence (L1 et L2) ont cependant suffisamment de points
communs pour proposer des livres utiles à tous.
Avec la collection Express,vous allez vite à l’essentiel.
Pour aller vite,il faut la taille mince et le prix léger.
Il faut aussi une organisation en fiches courtes et nombreuses pour vous permettre de
ne retenir que les sujets du moment,semestre après semestre.
Il faut avoir fait des choix cohérents et organisés de ce qui est le plus couramment
enseigné lors des deux premières années des licences de mathématiques,informatique,
mais aussi de sciences physiques et dans les cycles préparatoires intégrés.
Il faut un index détaillé pour effacer rapidement un malencontreux trou de mémoire.
Dans la collection Express,il y a donc l’essentiel,sauf votre propre travail. Bon cou-
rage !
Toutes vos remarques,vos commentaires,vos critiques,et mêmes vos encouragements
seront accueillis avec plaisir.
élit.
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un [email protected]
est [email protected]
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orisé [email protected]
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Avant-propos 1
Table
des matières
Partie 1 : Analyse combinatoire
Fiche 1 Le langage des ensembles 4
Fiche 2 Analyse combinatoire 8
Fiche 3 Fonctions génératrices 16
Fiche 4 Compléments sur les séries et les intégrales 20
Partie 2 : Probabilités
Fiche 5 Introduction aux probabilités 27
Fiche 6 Espaces probabilisés 33
Fiche 7 Probabilité conditionnelle et indépendance en probabilité 37
Fiche 8 Variables aléatoires réelles. Variables aléatoires discrètes 44
Fiche 9 Moments et fonctions génératrices d’une v.a. discrète 48
Fiche 10 Couples de variables aléatoires discrètes. Indépendance 56
Fiche 11 Lois discrètes usuelles finies 62
Fiche 12 Lois discrètes usuelles infinies 68
Fiche 13 Variables aléatoires continues 72
Fiche 14 Loi normale ou de Laplace-Gauss 80
Fiche 15 Lois dérivées de la loi normale 85
Fiche 16 Lois continues 90
Fiche 17 Simulation d’une expérience aléatoire 97
Fiche 18 Convergences. Théorèmes limites. Approximations 99
Fiche 19 Vecteurs aléatoires gaussiens 105
2 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches
Partie 3 : Statistique
Fiche 20 Vocabulaire de la statistique 109
Fiche 21 Statistique descriptive univariée.
Représentations graphiques 111
Fiche 22 Diverses caractéristiques 116
Fiche 23 Statistique descriptive bivariée 121
Fiche 24 Échantillonnage. Modèles statistiques 125
Fiche 25 Estimateur et propriétés d’un estimateur 127
Fiche 26 Méthode du maximum de vraisemblance 131
Fiche 27 Estimation par intervalle de confiance 133
Fiche 28 Tests d’hypothèse 137
Fiche 29 Tests du χ2 139
Fiche 30 Régression linéaire par MCO 143
Tables 145
Index 154
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Table des matières 3
1
FICHE Le langage
des ensembles
I Opérations sur les ensembles
– Réunion. La réunion des deux ensembles A et Best notée A∪B et est définie
par:
x ∈ A∪B ⇔(x ∈ Aoux ∈ B).
– Intersection. L'intersection des deux ensembles A et B est notée A∩B et est
définie par :
x ∈ A∩B ⇔(x ∈ Aetx ∈ B).
Deux ensembles A et Bsont disjointssi A∩B =∅.
– Partition. Une famille (Ai)i∈I de parties d'un ensemble (cid:5) est une partition de
(cid:5) si
(cid:5)
 A =(cid:5)
i
i∈I

∀(i,j)∈ I2,(i =/ j ⇒ A ∩ A =∅).
i j
– Complémentaire. Soit A une partie d'un ensemble E,le complémentaire de A
dans E est noté Ac et est défini par :
x ∈ Ac ⇔(x ∈ E etx ∈/ A).
– Différence. Soit A et Bdeux parties de E,nous notons A\B l'ensemble défi-
ni par:
x ∈ A\B ⇔(x ∈ Aetx ∈/ B).
Par conséquent,nous avons l'égalité A\B = A∩Bc.
– Différence symétrique. Soit A et Bdeux parties de E,nous notons A(cid:8)B l'en-
semble défini par :
x ∈ A(cid:8)B ⇔[x ∈(Aou B)] et [x ∈/ (Aet B)].
Par conséquent,nous avons l'égalité A(cid:8)B =(A∪B)\(A∩B).
4 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches
1
– Produit cartésien. Le produit cartésien des deux ensembles E et F est noté
E ×F. Il est défini par :
E ×F ={(x,y)/x ∈ E et y ∈ F}.
– Ensemble des parties. L'ensemble des parties d'un ensemble E,noté P(E),est
l'ensemble de tous les sous-ensembles de E.
P(E)={F|F ⊂ E}.
– Règles de calcul. Soit A, Bet C trois parties de E.
1. (A∪B)∩C =(A∩C)∪(B∩C).
2. (A∩B)∪C =(A∪C)∩(B∪C).
3. (Ac)c = A.
4. (A∪B)c = Ac∩Bc.
5. (A∩B)c = Ac∪Bc.
II Ensembles et fonctions
• Images et images réciproques
L'ensemble des applications d'un ensemble Evers un ensemble Fest noté F(E,F)
ou FE. Soit fde FE, A une partie de E et Bune partie de F.
– L’imagede A par fest l'ensemble :
f(A)={y ∈ F/∃x ∈ Atelque y = f(x)}.
– L’image réciproquede Bpar fest l'ensemble :
élit.
d
un f−1(B)={x ∈ E/f(x)∈ B}.
est
e
utorisé – RF.ègles de calcul. Soit fune application de Edans Fet A et Bdeux parties de
a
non 1. f(∅)=∅,f−1(∅)=∅.
pie 2. f−1(A∪B)= f−1(A)∪ f−1(B).
o
photoc (cid:6)43.. ff−−11((AA(cid:7)∩c)B=)(cid:6)=f−f1−(1A()A(cid:7)c)∩oùf −A1(cBe)s.t le complémentaire de A dans F et
La f−1(A) c est le complémentaire de f−1(A) dans E.
–
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FICHE 1 – Le langage des ensembles 5
• Fonction caractéristiqued'une partie
Soit A une partie d'un ensemble E. La fonction caractéristique de A,ou fonction
indicatrice de A, notée 1 , est une fonction définie sur E et à valeurs dans {0,1}
A
par :
1 (x)=1six ∈ A et 1 (x)=0six ∈/ A.
A A
Soit A et Bdeux parties d'un ensemble E et Ac le complémentaire de Adans E.
– Inclusion.
A⊆ B ⇔ ∀x ∈ E, 1 (x)(cid:1)1 (x).
A B
– Complémentaire.
∀x ∈ E, 1 (x)=1−1 (x).
Ac A
– Différence A\B.
∀x ∈ E, 1A\B(x)=1A(x)−1A(x)1B(x).
– Intersection.
∀x ∈ E, 1A∩B(x)=min(1A(x),1B(x))=1A(x)·1B(x).
En particulier
∀x ∈ E, 1A(x)=1A∩A(x)=1A(x)·1A(x)=1A(x)2.
– Réunion.
∀x ∈ E, 1A∪B(x) = max(1A(x),1B(x))
= 1A(x)+1B(x)−1A(x)·1B(x).
– Différence symétrique.
∀x ∈ E, 1A(cid:8)B(x)=1A(x)+1B(x)−2·1A(x)·1B(x).
Proposition:L'ensemble des parties de E,P(E) est en bijection avec l'ensemble
des fonctions de E dans {0,1},F(E,{0,1}).
6 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches
1
Différence symétrique
Soit Xet Ydeux sous-ensembles d’un ensemble E. Montrez que l’égalité suivante est
vraie :
A(cid:8)B =(A∩Bc)∪(Ac∩B).
Solution
Soit x ∈ A(cid:8)B. x appartient à A ou B mais pas à A et B. Ainsi si x ∈ A, x n’appar-
tient pas à Bet de ce fait x ∈ A∩Bc.
De même,si x ∈ B,x n’appartient pas à A et de ce fait x ∈ Ac∩B.
Par conséquent x appartient à (A∩Bc)∪(Ac∩B) et A(cid:8)B ⊂(A∩Bc)∪(Ac∩B).
Soit x ∈(A∩Bc)∪(Ac∩B). Si x ∈ A∩Bc alors x appartient à A et pas à B et si
x ∈ B∩ Ac alors x appartient à B et pas à A. Dans ces deux cas, x ∈ A∪B et
x ∈/ A∩B et par conséquent x ∈ A(cid:8)B et (A∩Bc)∪(Ac∩B)⊂ A(cid:8)B.
Les deux ensembles étudiés sont donc égaux.
Utilisation des fonctions caractéristiques
Soit X,Y et Z trois sous-ensembles d’un ensemble E. À l’aide des fonctions carac-
téristiques de ces ensembles,montrez que :
(X \Y)\Z = X \(Y ∪Z)et X ∩(Y \Z)=(X ∩Y)\(X ∩Z).
Solution
délit. 1(X\Y)\Z = 1X\Y −1X\Y1Z
orisée est un === 111XXX −−−111XXX1(11YYY∪−Z+1=1XZ11XZ−\+(1YY∪11ZX)Z1.)Y1Z
aut Les ensembles (X \Y)\Z et X \(Y ∪Z) sont égaux puisque leurs fonctions carac-
n
o
n téristiques coïncident.
e
pi
oco 1(X∩Y)\(X∩Z) = 1X∩Y −1X∩Y1X∩Z =1X1Y −1X1Y1X1Z
phot = 1X1Y −1X1Y1Z =1X(1Y −1Y1Z)
La = 1X∩(Y\Z).
–
od Les ensembles X ∩(Y \Z) et (X ∩Y)\(X ∩Z) sont égaux puisque leurs fonctions
n
u
D caractéristiques coïncident.
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FICHE 1 – Le langage des ensembles 7
2
FICHE Analyse
combinatoire
I Ensembles au plus dénombrables
• Définitions
– Un ensemble E est dénombrables’il existe une application bijective de E dans
N.
Un ensemble dénombrable est donc infini.
– Un ensemble Eest au plus dénombrables’il existe une application bijective de
E dans une partie de N.
Un ensemble au plus dénombrable est donc un ensemble fini ou un ensemble
dénombrable au sens de la définition précédente.
• Caractérisations :Soit E un ensemble.
– S’il existe une injection de E dans N,alors E est au plus dénombrable.
– S’il existe une surjection de N sur E,alors E est au plus dénombrable.
• Propriétés
– Toute partie infinie A de N est en bijection avec N.
– N est en bijection avec N2.
– Le produit cartésien d’une famille finie d’ensembles dénombrables (resp. au plus
dénombrables) est dénombrable (resp. au plus dénombrables).
– La réunion d’une famille finie d’ensembles au plus dénombrables est au plus
dénombrable. Si l’un des ensembles de la famille finie est dénombrable, la
réunion est dénombrable.
– La réunion d’une famille dénombrable d’ensembles dénombrables (resp. au plus
dénombrables) est dénombrable (resp. au plus dénombrables).
– N,Z,Q,N2,Nn,n (cid:1)1,Q[X] sont dénombrables.
– R,C,P(N),{0,1}N,NN ne sont pas au plus dénombrables.
8 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches