Mathématiques Informatique Physique: Au fil des TIPE PDF
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SCOPOS 19 Springer Berlin Heidelberg New York Hong Kong Londres Milan Paris Tokyo L. Decreusefond A. Maruani Mathématiques Informatique Physique Au fil des TIPE Laurent Decreusefond École Nationale Supérieure des Télécommunications 46,rue Barrault 75634 Paris Cedex 13 Alain Maruani École Nationale Supérieure des Télécommunications 46,rue Barrault 75634 Paris Cedex 13 Volume réalisé sous la direction de Nicolas Puech ISBN-10 :2-287-22305-3 Springer Paris Berlin Heidelberg New York ISBN-13 :978-287-22305-1 Springer Paris Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction,de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays.La loi de 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit,sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause,est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer-Verlag France est membre du groupe Springer Science+ Business Media springeronline.com © Springer-Verlag Paris 2005,2006 Imprimé en France Maquette de couverture:Jean-François Montmarché SPIN:11753667 Preface En 1996 apparait dans I'arrete de publication des programmes des Classes Preparatoires aux Grandes Ecoles scientifiques (CPGE) un nouvel acronyme « TIPE » signifiant Travaux d'Initiative Personnelle Encadres. Nouvelle pour les eleves, mais aussi nouvelle pour les enseignants, cette activite d'un carac- tere pedagogique original a ete imaginee par ses createurs pour repondre aux nombreuses critiques faites a la formation des « Taupins » jugee trop theo- rique et ne favorisant pas la creativite des futurs cadres de I'industrie frangaise voire Internationale. La plupart des directeurs des grandes ecoles d'ingenieurs ont immediatement approuve I'idee de ce nouveau type de formation, et en concertation avec les organisations de concours, decide de I'evaluer au moyen d'une epreuve de conception differente des interrogations ecrites ou orales traditionnelles proposees par dans les differents concours d'entree. A nouvelle epreuve, nouvelle organisation ? Dans un souci d'economie, mais encore plus de rationalisation et d'efficacite, les responsables de quatre grands concours (Mines - Ponts, Centrale - Supelec, Concours Communs Polytechni- ques et Banque PT) deciderent pour la premiere fois d'unir leurs forces pour organiser une epreuve commune avec pour souci principal de tester la capacite d'analyse, de synthese, mais aussi de curiosite, de creativite et d'esprit critique des candidats. L'epreuve commune de TIPE etait nee. Ayant fait partie du groupe des concepteurs, j'ai eu I'honneur d'en etre le premier president avec le concours et la complicite de deux vice-presidents, de quatre responsables pedagogiques et d'une secretaire. Cette petite equipe, competente, enthousiaste, efficace mais egalement tres sympathique, a laquelle ont participe les auteurs de cet ouvrage, a mis en place tout le dispositif qui a permis d'accueillir, durant quatre semaines en juin et juillet 1997, douze mille candidats, deux cent cinquante interrogateurs et une cinquantaine de collaborateurs charges de I'organisation materielle. Nous avons ete beaucoup critiques, mais nous avons aussi ete beaucoup soutenus et encourages. L'epreuve existe, elle a fait ses preuves, I'activite qui lui correspond en classes preparatoires a change, je I'espere, les relations enseignants - eleves et peut-etre modifie les methodes de travail de chacun. Si ce n'etait pas le cas la formation en Ecoles d'ingenieurs et le travail professionnel dans I'industrie se chargeraient rapidement de rappeler a I'ordre les recalcitrants. Depuis, les TPE sont nes dans le secondaire; sont-ils les enfants naturels des TIPE ? Je partage pleinement I'initiative des auteurs de cet ouvrage qui n'ont pas voulu faire un livre de recettes pour bien reussir son epreuve, mais plutot un ouvrage de reflexion sur la maniere d'aborder puis de trailer un theme scienti- fique dont on ne possede pas obligatoirement tons les elements, mais dont on dispose des outils pour I'analyser, le comprendre et ensuite le presenter et le defendre devant un jury competent mais pas for cement specialiste. Je me suis passionne pour cette experience, Laurent DECREUSEFOND, Alain MARUANI et bien d'autres aussi, et je souhaite bonne chance a tons les futurs candidats qui la tenteront. Professeur Bernard HEULIN Ancien President de I'Epreuve commune de TIPE Ancien Directeur de I'Ecole Europeenne de Chimie, Polymeres et Materiaux de Strasbourg Conseiller pour la Science et la Technologic, Ambassade de France en Espagne Avant-propos Nee en 1997 apres une longue gestation, I'epreuve de Travaux d'Initia tive Personnelle Encadres est une epreuve scientifique ambitieuse et novatrice, qui concerne chaque annee quinze mille candidats postulant a une centaine d'ecoles d'ingenieurs. Elle complete revaluation fournie par les epreuves ecrites et or ales en valorisant 1'aptitude a la communication et au dialogue, I'esprit d'initiative et I'esprit critique. La phase D de I'epreuve necessite chaque an nee la constitution d'environ cent soixante dossiers scientifiques nouveaux en informatique, mathematiques, physique, chimie et sciences industrielles. Ces dossiers sont etudies, presentes au jury et enfin discutes avec lui. Disparates dans leurs contenus, leurs niveaux, leurs longueurs et leurs objectifs, ces textes sollicitent les connaissances et la sagacite des candidats (et aussi celles des examinateurs!). La difficulte principale de I'epreuve D reside dans la tension entre la prise de recul par rapport au texte, pour affirmer son autonomie, et I'adherence au texte, pour exprimer sa comprehension. Get ouvrage presente neuf dossiers de mathematique, d'informatique et de physique, tels qu'ils ont ete proposes ces dernieres annees aux candidats de I'epreuve de TIPE. Le dossier intitule « Equation de la chaleur » avait ete propose sous I'etiquette « Mathematiques », mais nous avons eu le souci de I'enrichir de plusieurs considerations d'ordre physique. Un point commun a tons ces textes est le caractere exigeant de leurs conte nus respectifs. Est-ce a dire, pour autant que ces dossiers ont donne lieu a une epreuve difficile et, pour tout dire, a des resultats plutot faibles? Pas du tout. Chaque candidat aura travaille a son propre niveau. Le niveau de connaissance requis est general, c'est celui que Ton pent attendre avec les connaissances des programmes; les niveaux de comprehension, de traitement et d'initiative sont individualises. Les textes ardus se pretent done mieux a la detection des qualites recherchees. Chaque texte est suivi successivement de : - remarques generales, present ant le dossier et son contexte; - pistes de questions, telles qu'un jury pourrait en poser (en realite, le jury s'adapte aux propos du candidat); - reponses possibles aux questions mentionnees. Ici, on cherche moins a interroger qu'a discuter d'un sujet scientifique, rendu abordable pour les candidats; - suggestion de plan, visant a montrer qu'il n'y a pas une seule maniere de penser le texte, ni maniere unique de le reconstruire, (la reconstruction n'est pas une obligation); - comment aires, reprenant des points forts du texte; - developpements au-dela du texte, qui, sans toujours prolonger ce dernier, explorent quelques voies laterales. Que les candidats, et leurs mentors, ne s'inquietent pas du nombre plutot eleve, de questions accompagnant chaque dossier : aucun candidat ne saurait etre expose a ce questionnement dans son entier. Nous souhaitons montrer que la nature des questions est diversifiee et qu'elle va de la comprehension a I'extrapolation. Ce livre est le fruit de collaborations qui ont toutes contribue aux quali- tes qu'on voudra bien lui trouver; les auteurs revendiquant les imprecisions, erreurs ou defauts qui auraient echappe a la sagacite de tons ces contribu- teurs. Historiquement, les premiers remerciements vont a tons les membres du jury, concepteurs de dossiers exigeants et voues, par I'epreuve, a un ephe- mere ingrat. Les neuf dossiers resultant du choix, terriblement arbitraire, des auteurs rendent mal compte de I'abondance du millier de dossiers produits a ce jour. Le comite de pilotage de I'epreuve, sous les amicales et bienveillantes houlettes de son president Michel BARIBAUD et de son vice-president Jean- Pierre LOWYS a donne aux auteurs I'autorisation de se mettre en chantier. Qu'il en soit remercie. Les Editions Springer, en particulier Catriona BYRNE, Jean-Michel GHIDAGLIA et Nicolas PUECH nous ont accorde leur confiance en nous proposant de publier notre manuscrit; nous les en remercions. Nous souhaitons aussi rendre hommage a Nathalie HUILLERET, du bureau parisien de Springer, qui a suivi les etapes essentielles de la fabrication de cet ouvrage. Les professeurs Christine LEYGNAC et Bruno PETAZZONI, ainsi que Nicolas DAILLY, se sont charges du travail ingrat de relectures. Le docteur Thierry LEHNER a relu et amende I'integralite des textes. Nous leur devons la dispa- rition de plus d'un point imprecis et la presence de plus d'un point eclairant. Enfin, et ce n'est pas le moindre de nos remerciements, nous sommes honores de la bienveillante preface du Pr. Bernard HEULIN, president « historique » de I'epreuve et sous la direction duquel les auteurs ont eu le plaisir de travailler. L. DECREUSEFOND, A. MARUANI Paris, juin 2004. Table des matieres Sujet I Reseaux de Petri LI Tbxte 3 § 1. Motivations 3 §2. Notations et definitions de base 3 §3. Proprietes des SAV 6 §4. UtiHsation de I'algebre lineaire 11 1.2 Presentation et questions 13 §1. Remarques generates 13 §2. Pistes de questions 13 1.3 Comment aires 15 §1. Reponses aux questions 15 §2. Suggestion de plan 17 §3. A propos du texte 17 §4. Au-dela du texte 20 BibHographie 24 Sujet II Les coulisses d'Internet III Tbxte 27 §1. Introduction 27 §2. Analyse mathematique 28 §3. Cas d'un buffer de taille finie 31 §4. Annexes 35 11.2 Presentation et questions 37 §1. Remarques generates 37 §2. Pistes de questions 37 11.3 Commentaires 39 §1. Reponses aux questions 39 §2. Suggestion de plan 42 §3. A propos du texte 42 §4. Au-dela du texte 45 BibHographie 46 Sujet III Pseudo-inverse 111.1 Texte 49 §1. Theorie 49 §2. Annexes 52 111.2 Presentation et questions 55 §1. Remarques generates 55 §2. Pistes de questions 55 111.3 Comment aires 57 §1. Reponses aux questions 57 §2. Suggestion de plan 61 §3. A propos du texte 61 §4. Au-dela du texte 64 Bibliographie 65 Sujet IV Etude de I'equation de la chaleur IV.l Texte 69 §1. Introduction 69 §2. Description du probleme physique 70 §3. Resultats 70 §4. Demonstration du theoreme PCB 71 §5. Applications 75 §6. Conclusion 78 IV.2 Presentation et questions 81 §1. Remarques generates 81 §2. Piste de questions 81 IV.3 Commentaires 83 §1. Reponses aux questions 83 §2. Suggestion de plan 85 §3. A propos du texte 85 §4. Au-dela du texte 88 Bibliographie 103
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