Mathématiques et Technologie PDF
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Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology Directeursdecollection JonathanM.Borwein HelgeHolden ComitédeLecture LisaGoldberg ArminIske PalleE.T.Jorgensen StephenM.Robinson Christiane Rousseau Yvan Saint-Aubin Mathématiques et Technologie Avec la participation d’HélèneAntaya et d’IsabelleAscah-Coallier 123 ChristianeRousseau YvanSaint-Aubin Départementdemathématiques Départementdemathématiques etdestatistique etdestatistique UniversitédeMontréal UniversitédeMontréal C.P.6128,SuccursaleCentre-ville C.P.6128,SuccursaleCentre-ville Montréal,QuébecH3C3J7 Montréal,QuébecH3C3J7 Canada Canada [email protected] [email protected] Directeursdecollection JonathanM.Borwein HelgeHolden FacultyofComputerScience DepartmentofMathematicalSciences DalhousieUniversity NorwegianUniversityScienceand Halifax,NovaScotiaB3H1W5 Technology Canada AlfredGetzvei1 [email protected] NO-7491Trondheim Norway [email protected] ISBN:978-0-387-69212-8 e-ISBN:978-0-387-69213-5 LibraryofCongressControlNumber:2007942237 MathematicsSubjectClassi(cid:30)cation (2000):00-01,03-01,42-01,49-01,94-01,97-01 ©2008SpringerScience+BusinessMedia,LLC Allrightsreserved.Thisworkmaynotbetranslatedorcopiedinwholeorinpartwithoutthewrittenpermissionofthe publisher(SpringerScience+BusinessMedia,LLC,233SpringStreet,NewYork,NY10013,USA)andtheauthor, exceptforbriefexcerptsinconnectionwithreviewsorscholarlyanalysis.Useinconnectionwithanyformofinformation storageandretrieval,electronicadaptation,computersoftware,orbysimilarordissimilarmethodologynowknownor hereafterdevelopedisforbidden. Theuseinthispublicationoftradenames,trademarks,servicemarksandsimilarterms,eveniftheyarenotidenti(cid:30)ed assuch,isnottobetakenasanexpressionofopinionastowhetherornottheyaresubjecttoproprietaryrights. Tousdroitsréservés.Aucunepartieduprésentouvragenepeutêtretraduiteoureproduitesansl’autorisationécritede l’éditeur(SpringerScience+BusinessMedia,LLC,233SpringStreet,NewYork,NY10013,USA),exceptionfaitede courtsextraitsdanslecadred’unecritiqueoud’unouvragesavant.Sonexploitationpartoutprocédédestockageet d’extractiondedonnées,d’éditiqueoudetraitementinformatique,oupartoutautremoyen,semblableoudifférent, connuouàvenir,eststrictementinterdite. Danscettepublication,l’emploid’appellationscommerciales,demarquesdecommerceoudeserviceetd’autres termesdemêmenaturenereprésentepasl’expressiond’unavissurleurassujettissementpotentielàdesdroitsde propriétéintellectuelle. Printedonacid-freepaper./Imprimésurpapiernonacide. 987654321 springer.com Pr´eface A` quoi serventles math´ematiques? Tout n’a-t-ilpas´et´e trouv´een math´ematiques? Voicidesquestionsbiennaturellespourde jeunes´etudiantsuniversitaires.Lesr´eponses de leurs professeurs sont, la plupart du temps, rapides. En effet, les cours, structur´es et charg´es, s’accomodent mal de digressions qui permettraient de donner des exemples d’applications. Lesmˆemesquestionssontpos´eesdansles´ecolesd’enseignementsecondaire,parplus d’´etudiants et avec plus d’insistance. Les maˆıtres de ces ´ecoles ont ´evidemment la vie plus dure que les professeurs d’universit´e. S’ils savent r´epondre de fac¸on comp´etente `a ces questions, c’est peut-ˆetre qu’ils l’ont appris aupr`es de ceux qui les ont form´es. Et s’ils ne le savent pas, `a qui la faute? La gen`ese du livre Il est impossible d’introduire le pr´esent livre sans pr´esenter le cours d’ou` il tire ses origines. Le cours Math´ematiques et technologie a ´et´e cr´e´e `a l’Universit´e de Montr´eal et donn´e pour la premi`ere fois au trimestre d’hiver 2001, pour pallier le fait que trop peu d’applications r´eelles ´etaient pr´esent´ees dans nos cours. Depuis le d´ebut, le cours Math´ematiques et technologie de l’Universit´e de Montr´eal s’adresse principalement aux futurs maˆıtres au secondaire, quoiqu’il soit ´egalement ouvert `a tous les ´etudiants de math´ematiques. Il n’existait pas de manuel appropri´e pour ce que nous voulions r´ealiser. Ceci nous a incit´e, dans un premier temps, `a ´ecrire des notes de cours. Nous nous sommes pris au jeu, si bien que ce livre contient maintenant plus de mat´eriel que ce qui peut ˆetre enseign´eenunseultrimestre.Et,quoiquenoussoyonstousdeuxdesmath´ematiciensde carri`ere,nousdevonsavouerquenousneconnaissionspasoupeulesd´etailsdeplusieurs des applications qui sont d´ecrites dans les chapitres qui suivent. VI Pr´eface Les objectifs d’un cours Math´ematiques et technologie Les objectifs d’un tel cours sont de montrer le caract`ere vivant des math´ematiques et leur omnipr´esence dans le d´eveloppement des technologies, et d’initier l’´etudiant au processus de mod´elisation conduisant au d´eveloppement de certaines applications des math´ematiques. Quoique quelques-uns des sujets couverts sortent maintenant du cadre strict des technologies, nous esp´erons faire comprendre que, oui, les math´ematiques servent, et elles servent dans plusieurs applications de la vie de tous les jours. De plus, certains des sujets abord´essont en plein d´eveloppementet permettent donc aux´etudiants de se rendre compte, souvent pour la premi`ere fois, que les math´ematiques sont en´evolution et que de nombreuses questions demeurent ouvertes. Puisquelecoursaccueilleunnombreimportantdefutursmaˆıtresausecondaire,ilest important de souligner que le but n’est pas de leur fournir des exemples d’applications qu’ils pourront enseigner directement a` leurs ´el`eves, mais bien de leur pr´esenter des exemples tangibles d’applications et de leur donner des outils pour qu’ils puissent eux- mˆemes, plus tard, pr´eparer des exemples d’applications `a l’intention de leurs ´el`eves.Ils doivent sentir qu’ils enseigneront une mati`ere d’une grande beaut´e, certes, mais dont les applications ont fa¸conn´e l’environnement humain et sa compr´ehension. Le choix des sujets Enchoisissantlesapplications,nousavonsport´euneattentionparticuli`ereauxpoints suivants. • Les applications sont modernes ou touchent le quotidien des ´etudiants. De plus, contrairement aux math´ematiques muˆres enseign´ees dans les autres cours, les math´ematiquesutilis´eesiciappartiennentparfoisa`deschapitresr´ecentsoumˆeme, encore en d´eveloppement. • Les math´ematiques demeurent relativement ´el´ementaires et, si elles d´epassent les premiers cours du premier cycle (calcul, alg`ebre lin´eaire, probabilit´es) et les math´ematiques du secondaire, les aspects manquants sont couverts dans le cadre du chapitre. Un effort sp´ecial est fait pour donner aux math´ematiques du secon- daire,enparticulierlag´eom´etrie,une placede choix.Lebagagemath´ematiquede baseestune boˆıte`aoutilsremarquable,a`conditiondebienconnaˆıtreetmaˆıtriser cesoutils,deselaisseraller`aexplorerleurpolyvalenceet,souventpourlapremi`ere fois,ded´ecouvrircombienilsdeviennentpuissantslorsqu’ilssontutilis´esensemble. • Lesapplicationschoisiesfontressortirlapuissancedel’outilmath´ematique:pour le scientifique, les id´ees sont la chose la plus pr´ecieuse et, derri`ere la plupart des r´eussites technologiques, il y a une id´ee brillante, mˆeme si elle est parfois ´el´ementaire. Lessujetssontchoisistantpourleurint´erˆetintrins`equequepourlesmath´ematiques auxquelles ils font appel. • La droite et le plan apparaissent sous toutes leurs formes (´equation r´eguli`ere, ´equation param´etrique,droite de l’espace), parfois de fa¸con inattendue (les plans Pr´eface VII qui s’intersectent pour permettre la lecture d’un message encod´e `a l’aide du code de Reed–Solomon). • Un tr`es grand nombre de sujets font appel aux d´efinitions g´eom´etriques d’objets g´eom´etriques usuels : le cercle, la sph`ere, les coniques. De plus, le concept de lieu g´eom´etrique revient a` r´ep´etitions,par exemple pour les probl`emes ou` on cal- cule la position d’un objet par triangulation (chapitre 1 sur le positionnement et chapitre 15 des flashs-science). • Les diff´erents types de transformations affines du plan ou de l’espace, en particu- lierlessym´etriesetlesrotationsapparaissentdemani`erer´ecurrente:compression d’images avec les fractales (chapitre 11), frises et mosa¨ıques (chapitre 2), mouve- ment des robots (chapitre 3). • Les groupesfinis apparaissentcomme groupesde sym´etriedes frises etmosa¨ıques (chapitre 2), mais aussi pour les tests de primalit´e en cryptographie (chapitre 7). • Les corps finis apparaissent aussi bien dans le chapitre sur les codes correcteurs d’erreurs (chapitre 6) que dans l’´etude du signal g´en´er´e par les satellites dans le syst`eme GPS (chapitre 1) et dans les g´en´erateurs de nombres al´eatoires (cha- pitre 8). • Lacryptographie(chapitre7)etlesg´en´erateursdenombresal´eatoires(chapitre8) fontappela`l’arithm´etiquemodulon,alorsquel’arithm´etiquemodulo2intervient dans les codes correcteurs d’erreurs (chapitre 6). • Les probabilit´es apparaissent dans des contextes inusit´es : l’algorithme Page- Rank pour le fonctionnement de Google (chapitre 9), ainsi que dans la construc- tion de grands nombres premiers (chapitre 7), alors que leur utilisation dans les g´en´erateursde nombres al´eatoiresest plus classique (chapitre 8). • L’alg`ebre lin´eaire est omnipr´esente : codes de Hamming et de Reed–Solomon (chapitre 6), algorithme PageRank (chapitre 9), robotique (chapitre 3), frises et mosa¨ıques (chapitre 2), fonctionnement du GPS (chapitre 1), standard JPEG (chapitre 12), etc. Le livre comme manuel d’un cours Le livre s’adresse a` des ´etudiants ayant maˆıtris´e les cours de calcul `a plusieurs va- riables, d’alg`ebrelin´eaire et de probabilit´es´el´ementaires,et ayantdes connaissancesde g´eom´erie euclidienne. Nous esp´erons n’avoir rien tenu d’autre pour acquis. La lecture du livre est malgr´e tout un d´efi et requiert une certaine maturit´e scientifique : elle de- mande de pouvoir sortir les acquis math´ematiques des manuels originaux. En effet, la plupartdesapplicationsconsid´er´eesn´ecessitentl’int´egrationd’unemultitudedenotions math´ematiques. Pour cette raison, nous recommandons ce livre pour des ´etudiants de deuxi`eme ou troisi`eme ann´ee universitaire. Le texte se pr´esente sous deux formes : les chapitres principaux, plus longs et d´etaill´es,et les flashs-science (chapitre 15), courts et bien circonscrits. Le lecteur verra une certaine unit´e dans les chapitres plus longs : les premi`eres sections d´ecrivent l’ap- plicationetleprobl`ememath´ematiquequiestsoulev´e.Suit unedescription´el´ementaire de cas simples pr´ec´ed´ee,si besoin est, des compl´ements math´ematiques.Nous appelons VIII Pr´eface cette partie la th´eorie ´el´ementaire. Enfin, une ou quelques sections couvrent en plus de d´etails les aspects math´ematiques fins ou des d´etails technologiques ou` inter- viennent encore plus de math´ematiques ou, simplement, mettent en relief le fait que les math´ematiques seules ne suffisent pas toujours! Nous avons pris l’habitude d’appe- lercettederni`erepartielath´eorieavanc´ee.Chacunedesapplicationsest´etudi´eependant environcinq heures: d’abordla th´eorie´el´ementaire(une oudeux heures),des exercices (deux heures) et, si le temps le permet, la th´eorie avanc´ee (une ou deux heures). Il ar- rive r´eguli`erementque la partie avanc´ee ne soit qu’effleur´ee. Les flashs-science peuvent ˆetre trait´es en une heure de cours ou donn´es en exercice, sans avoir vu de th´eorie au pr´ealable. Durant un trimestre, en plus de quelques flashs-science, nous parvenons `a couvrir une partie importante de huit a` 12 chapitres. Un autre choix naturel serait de r´eduire consid´erablement le nombre de chapitres couverts et de s’aventurer plus pro- fond´ement dans les parties avanc´ees. Le pr´esent recueil contient trop de mat´eriel pour un cours d’un trimestre : on peut donc se permettre de choisir les sujets pr´ef´er´es, soit en fonction de leur int´erˆet comme tel, soit encore en fonction des math´ematiques qu’ils font travailler. Les chapitres non trait´esoulessectionsdeth´eorieavanc´eepeuventservirdepointded´epartpourunprojet de session. Quant au lecteur qui explorerait ce livre pour parfaire ses connaissances math´ematiques et ´elargir ses horizons, il pourra aller d’un chapitre a` l’autre selon sa fantaisie. Chaque chapitre est (math´ematiquement) ind´ependant (ou presque), et tous les liens avec les autres chapitres sont explicites. Une note, maintenant, pour les professeurs qui utiliseront ce manuel. L’enseigne- ment de ce cours nous a forc´e `a r´eviser nos m´ethodes p´edagogiques : ici, aucun sujet n’est un pr´ealable pour un autre cours, les d´efinitions et th´eor`emes ne sont pas le but ultime du cours, et les recettes ne sont pas suffisantes pour r´esoudre les probl`emes. Touscesfacteurssontsourced’anxi´et´epourles´etudiants.De plus,nousnesommespas des sp´ecialistes des technologies que nous examinons. Nous multiplions les liens aves la technologie. Nous encourageons la participation des ´etudiants; ceci permet de v´erifier leur pr´eparation relativement aux outils math´ematiques utilis´es. Quant aux examens, nous les rassurons d`es le d´epart : ils sont a` livre ouvert, non cumulatifs et limit´es aux parties´el´ementaires.Ilsmettentainsil’accentsurlamod´elisationsimpleetlar´esolution de probl`emes. Nos ensembles d’exercices mettent l’accent sur le d´eveloppement de ces aptitudes.Les´etudiantsmaˆıtrisentdonclapartie´el´ementairetravaill´eeaumoyend’exer- cices,etd´ecouvrent,sanspression,leplaisirdesecultiverenexplorantlapartieavanc´ee. Le livre pour le lecteur solitaire Pendant toutes ces ann´ees d’´ecriture du livre, nous nous sommes pris au jeu de d´ecortiquer et comprendre les math´ematiques sous-jacentes aux applications techno- logiques propos´ees ici et de mettre en lumi`ere la beaut´e et la puissance des outils math´ematiques.Nouscroyonsquecemanuelpeutint´eressertoutlecteur,dujeunescien- tifique au math´ematicien chevronn´e curieux de comprendre les math´ematiques cach´ees derri`ereles r´ealisationstechnologiques. A` songr´e,ce lecteur peut se promener entre les Pr´eface IX parties´el´ementaireset avanc´ees,tirer partidu fait que les chapitres sontind´ependants, profiter des notes historiques et, qui sait, regarder quelques probl`emes. Les contributions d’H´el`ene Antaya et Isabelle Ascah-Coallier Lechapitre 14surle calculdes variationsa´et´e´ecritparH´el`eneAntayaalorsqu’elle effectuaitunstaged’´et´e`a lafinde sonc´egep.Le chapitre13surl’ordinateura` l’ADN a ´et´e´ecritl’´et´e suivantpar H´el`eneAntayaet Isabelle Ascah-Coallier,alorsd´etentricesde bourses de recherche du premier cycle du Conseil de recherches en sciences naturelles et en g´enie du Canada. Mode d’emploi des chapitres A` peudechosespr`es,leschapitressontind´ependants.Aud´ebutdechacun,uncourt mode d’emploi d´ecrit les connaissances de base utilis´ees ainsi que la d´ependance entre les sections et, s’il y a lieu, leurs difficult´es relatives. Christiane Rousseau Yvan Saint-Aubin D´epartement de math´ematiques et de statistique Universit´e de Montr´eal Mai 2008 Remerciements La gen`ese du cours Math´ematiques et technologie et des notes de cours ayantdonn´e naissance`a celivreremontea`l’hiver2001.Ilnous afalluapprendrede nouveauxsujets que nous ne connaissions pas ou peu, composer des exercices et encadrer des projets d’´etudiants dans des domaines qui nous ´etaient inconnus. Pendant toutes ces ann´ees nous avons pos´e beaucoup de questions et qu´emand´e beaucoup d’explications. Nous voulons remercier les nombreuses personnes qui nous ont support´e scientifiquement. Leur aide aura aussi r´eduit consid´erablement le nombre des impr´ecisions et erreurs; nous demeurons ´evidemment responsables de celles qui demeurent et nous invitons les lecteurs a` nous les rapporter. Nous avons appris beaucoup de Jean-Claude Rizzi, Martin Vachon et Annie Boily, tous d’Hydro-Qu´ebec, sur le suivi des orages, de St´ephane Durand et Anne Bourlioux sur des points fins concernant le GPS, d’Andrew Granville sur les algorithmes r´ecents de factorisation des nombres entiers, de Val´erie Poulin et Isabelle Ascah-Coallier sur le fonctionnement de l’ordinateur quantique, de Pierre L’E´cuyer sur les g´en´erateursde nombresal´eatoires,deMehranSahamisurGoogle,deSergeRobert,JeanLeTourneuxet Anik Souli`eresur les liens entre les math´ematiques et le son musical,de PaulRousseau et Pierre Beaudry sur les circuits fondamentaux des ordinateurs, de Mark Goresky sur les registres `a d´ecalage et les propri´et´es des suites qu’ils g´en`erent. David Austin, RobertCalderbank,BrigitteJaumard,JeanLeTourneux,RobertMoody,PierrePoulin, Robert Roussarie,KaleemSiddiqi et Lo¨ıcTeyssiernous ont fournides r´ef´erenceset des commentaires pr´ecieux. Beaucoup de nos amis et coll`egues ont lu des portions du manuscrit et nous ont fait des commentaires, dont Pierre Bouchard, Michel Boyer, Raymond Elmahdaoui, Alexandre Girouard,Martin Goldstein, JeanLeTourneux, Francis Loranger,Marie Lu- quette, Robert Owens, Serge Robert, Olivier Rousseau. Nicolas Beauchemin et Andr´e Montpetit nous ont aid´es plus d’une fois lors de probl`emes de graphisme et nous ont r´ev´el´e des subtilit´es de TeX. Les conseils typographiques et linguistiques de Mireille Cˆot´e nous ont´et´e fort utiles.
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