Mathématiques appliquées à la topographie - niveau 1

56 Pages·2006·0.52 MB·French

VILLE DE LIEGE

INSTITUT DE TRAVAUX PUBLICS
Enseignement de promotion sociale

Mathématiques
appliquées à la
topographie - niveau 1

Notes de cours provisoires

Jean-Luc Becker
Trigonométrie plane
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
1. Nombres trigonométriques des angles aigus

Soit un angle aigu quelconque. Construisons un triangle rectangle contenant cet angle.
B
α
C
A
1.1. Définitions

On appelle SINUS d’un angle aigu α le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse,
COSINUS de cet angle α le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse, TANGENTE le
rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à l’angle, et COTANGENTE le rapport
entre le côté adjacent à l’angle et le côté opposé à l’angle.
En résumé :
coté opposé coté adjacent coté opposé
sin α = cosα = tgα =
hypotenuse hypotenuse coté adjacent

On peut facilement montrer à l’aide des triangles semblables que ces nombres sont
indépendants du triangle rectangle choisi. Ces nombres ne dépendent donc que de l’angle α ( ou de
son amplitude ) et son appelés nombres trigonométriques de l’angle aigu α.

Avec les notations du triangle ci-dessus, on a donc
c b c b c b
sinC$ = cosC$ = tgC$ = sinB$ = cosB$ = tgB$ =
a a b a a c
1.2. Propriétés

En observant les définitions et le tableau des valeurs ci-dessus, on voit de suite que :
( ) ( )
sinB$ =cosC$ =cos 90°−B$ sinC$ =cosB$ =cos 90°−C$

Le théorème de Pythagore a une conséquence remarquable appelée relation fondamentale de
la trigonométrie. En effet, on a
AB²+AC²=BC²
AB² AC²
+ =1
BC² BC²
2 2
⎛AB⎞ ⎛AC⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⎝BC⎠ ⎝BC⎠
( )2 ( )2
sinα + cosα =1

ce que les mathématiciens écrivent souvent
sin²α+cos²α =1

3
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
2. Unités de mesure des angles

2.1. Le degré

Le degré est par définition la nonantième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a pour
mesure 180°. Le degré est subdivisé en 60 minutes et une minute en 60 secondes : 1° = 60’, 1’ =
60’’, donc 1° = 3600’’. Notons cependant qu’en pratique, on utilise de moins en mois les degrés-
minutes-secondes au profit des degrés décimaux.

2.2. Le grade

Le grade est par définition la centième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a pour
mesure 200 g. Le grade est subdivisé décimalement comme beaucoup d'autres unités du système
international. Notons cependant un sous-multiple du grade souvent utilisé en topométrie : le
décimilligrade ( dmg) qui vaut bien entendu un dix-millième de grade :
1
1dmg= g=10−4g= 0,0001g
10000

2.3. Relation entre les unités

La relation entre ces deux unité découle d'une simple règle de trois. En effet, on a

10
100 g = 90° ⇔ 1 g = 0,9° ⇔ 1° = g
9

3. Formulaire

3.1. Triangles rectangles
A$ + B$ + C$ + = 200g
B b
sin B$ = = cos C$
a
c
a sin C$ = = cosB$
c a
b
tg B$ = = cot g C$
C c
A b
c
tg C$ = = cot g B$
b
a2 = b2 + c2

3.2. Triangles quelconques
A A$ +B$ +C$ =200g
a b c
= =
c b sinA$ sinB$ sinC$
a2 =b2 +c2 −2bccosA$
b2 =c2 +a2 −2cacosB$
B a C c2 = a2 +b2 −2abcosC$
4
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
4. Exercices

1/ Un point O est situé à 5 m au-dessus du plan horizontal α passant par le pied d’une tour.
De 0, on voit le sommet de la tour sous un angle de 55 g au-dessus de l’horizontale passant par O et
le pied sous un angle de 11 g au-dessous de la même horizontale. Calculer la hauteur de la tour.
?
H
5
5
g
0 g
0 11
5,

2/ Un observateur est à 30 m du pied d’une tour verticale de 25 m de hauteur. On demande
sous quel angle il voit la tour, son œil étant à 1 m 50 du sol supposé horizontal.
0
0
,
5
2
?
0
5
,
1
30,00

5
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
3/ Deux observateurs, distants de 1750 m sur une horizontale, mesurent au même instant
les angles d’élévation d’un point remarquable d’un nuage, lorsque celui-ci traverse le plan vertical de
la base d’observation; ils trouvent 80 g et 93 g. Quelle est la hauteur du nuage, si celui-ci passe
entre les deux observateurs ?
g
3
8 9
0
g
1750

4/ Une personne placée au bord d’une rivière voit dans une direction perpendiculaire à la
rivière, un arbre planté sur la rive opposée sous un angle de 53 g; elle recule de 50 m et cet angle
n’est plus que de 20 g. Quelle est la hauteur de l’arbre et la largeur de la rivière?
?
g g
3 0
5 2
? 50,00

6
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
5/ Sur un terrain horizontal, on observe une tour sous un angle d’élévation de 78,6434 g. En
reculant de 37,84 mètres, on observe alors la tour sous un angle d'élévation de 31,3733 g. Quelle
est la hauteur de la tour sachant que l’observation a été faite à 1,55 m du sol?
?
g
4 g
3 3
4 3 5
8,6 37 ,5
7 , 1
1
3
37,84

6/ Un bateau quitte son embarcadère pour prendre le large. Sachant que sa plus haute
structure est 42 mètres au dessus du niveau de l’eau et que le rayon de la terre est de 6378 km, à
quelle distance du rivage le paquebot disparaîtra-t-il à l’horizon ?
m
2
4
?
m
k
8
7
3
6

7
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
7/ Du sommet S d’une colline de hauteur H, on observe deux points X et Y dans la plaine.
Déterminer la distance d entre les points X et Y sachant que les lignes de visée SX et SY forment
respectivement des angles α et β avec l’horizontale en S et que SX et SY forment une angle γ.
Calculer la distance d sachant que α = 28,5741 g, β = 26,2957 g, γ = 73,2051 g et H = 290 m.

8/ Un géomètre se trouve sur le bord d’une rivière à 63 m du pied d’un pylône d’un pont
suspendu et observe le sommet de ce pylône sous un angle d'élévation de 44,5254 g par rapport à
l’horizontale. Un pylône identique, situé sur l’autre rive, est vu sous un angle d'élévation de 12,6298
g. Calculer la portée du pont sachant que l’écart entre les deux pylônes se voit sous un angle
horizontal de 84,6377 g.

8
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
9/ Deux observateurs au sol sont situés dans l’axe d’un couloir aérien à une distance de 1 km
l’un de l’autre. A l’approche d’un avion, ces observateurs notent au même moment l’angle d’élévation
de l’avion par rapport à l’horizon ( l’avion n’est pas entre les observateurs). L’observateur le plus
proche de l’avion mesure 62,2875 g tandis que l’autre 34 g. Sachant que l’avion passe au-dessus du
premier observateur 8 secondes plus tard, calculer sa vitesse horaire et son altitude.
6
2
,
3 28
4 7
g 5
g
1 km

10/ D’un point P d’une plaine, on vise les sommets A et B de deux collines. La colline de
sommet A est située au Nord-Ouest de P, a une altitude de 250 mètres et est vue sous un angle
d'élévation de 70,4833 g. La colline de sommet B est située au nord-est de P, a une altitude de 525
mètres et est vue sous un angle d'élévation de 73,7133 g. Quelle est la distance horizontale entre
A et B (estimée d’après une carte) et la distance réelle entre A et B ?

9
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
11/ On observe au NO une antenne de radio. Après avoir progressé vers le NE sur 3055 m,
on observe l’antenne plein ouest sous un angle d'élévation de 8,6403 g. Quelle est la hauteur de
l’antenne si elle est vue à 1,4 m du sol ?

12/ On observe un réservoir sphérique depuis une base AB longue de 53 m. Les visées
horizontales tangentes à ce réservoir issues de A forment avec AB des angles de 33,6313 g et de
63,3547 g; celles issues de B des angles de 43,8206 g et de 79,4406 g. Quel est le volume de ce
réservoir ?
C
g
6
0
3 2 g
6 3 8 6
3 ,6 3, 0
,354 313 4 9,44
7 g 7
A g B
53,00

10