Mathématiques appliquées à la gestion

243 Pages·2012·4.14 MB·French

Sciences de gestion
Synthèse
&
de cours
exercices
corrigés
Mathématiques
appliquées
à la gestion
Cours et exercices adaptés aux besoins
des gestionnaires et des économistes
Approche progressive illustrée de
nombreux exemples
Corrigés détaillés de tous les problèmes
et exercices
Collection
synthex
Jeremy DUSSART, Natacha JOUKOFF,
Ahmed LOULIT, Ariane SZAFARZ
http://fribok.blogspot.com/
Sciences de gestion
Synthèse & Exercices
de cours corrigés
Mathématiques
appliquées
à la gestion
Jeremy DUSSART
Natacha JOUKOFF
Ahmed LOULIT
Ariane SZAFARZ
Direction de collection : Roland Gillet
professeur à l’université Paris 1 Panthéon-Sorbonne
Collection
synthex
http://fribok.blogspot.com/
ISBN : 978-2-7440-7374-8
ISSN : 1768-7616
© 2009 Pearson Education France
Tous droits réservés
CompositionsousLATEX:ScripTEX
Toutereproduction,mêmepartielle,parquelqueprocédéquecesoit,estinterditesansautori-
sationpréalable.Unecopieparxérographie,photographie,film,supportmagnétiqueouautre,
constitueunecontrefaçonpassibledespeinesprévuesparlaloi,du11mars1957etdu3juillet
1995,surlaprotectiondesdroitsd’auteur.
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ÀCécile,Céline,Sylvain,Cédric,YasminaetClara,enespérantqu’unjourilsapprofondiront
cettematièrefascinantequileuraprisunpeudutempsdeleursparents.
À Emerson, pour l’encourager à découvrir ce domaine que son grand frère a pris plaisir à
investiguer.
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Sommaire
Les auteurs VII
Introduction IX
Chapitre 1 • Rappels et définitions 1
Chapitre 2 • Suites réelles 31
Chapitre 3 • Les fonctions d’une seule variable 51
Chapitre 4 • Optimisation des fonctions d’une seule variable 101
Chapitre 5 • Les matrices 121
Chapitre 6 • Les fonctions de plusieurs variables réelles 161
Chapitre 7 • Optimisation des fonctions de plusieurs variables 201
Références bibliographiques 235
Index 237
Sommaire V
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Les auteurs
JeremyDussartestingénieurdegestiondelaSolvayBusinessSchool(SBS)del’Université
LibredeBruxelles(ULB).IlestchercheurenstratégieauCentreEmileBernheim(CEB)
etenseignelesmathématiquesenprivilégiantlesapplicationspratiquesàcedomaine.
Natacha Joukoffestmathématiciennediplôméedel’ULB.Passionnéeparlapédagogie,
elle enseigne les mathématiques à la SBS, elle participe aussi activement aux cours pré-
paratoiresàdestinationdesfutursétudiantsetauxcoursdesoutienorganiséspourceux
qui,enpremièreannéedesciencesdegestion,ontdesdifficultésàs’adapteraurythmede
l’enseignementdesmathématiques.
Ahmed Loulit est titulaire d’un DEA de sciences de gestion (SBS) et d’un doctorat de
mathématiques(ULB),obtenusousladirectionduprofesseurJean-PierreGossez.Ilest
enseignant en mathématiques (SBS) et chercheur au CEB. Il prépare actuellement une
thèseenmodélisationfinancièresousladirectionduprofesseurAndréFarber.
Ariane Szafarz est professeur de mathématiques et de finance à l’ULB. Elle y dirige le
Centre Emile Bernheim (CEB) et est membre du Département d’économie appliquée
(DULBEA).Diplôméeenphilosophiedessciences,ellearédigéunethèsededoctoratde
mathématiquessouslasupervisionduprofesseurChristianGouriéroux(CREST,Paris),
avecquiellearégulièrementcollaboré.Présidentedel’Écoledoctoraleengestiondel’ULB
(SBS),elleparticipeàdiversprojetsscientifiques,nationauxetinternationaux,etencadre
plusieursdoctorantsdudépartementdefinancedontelleassumelaresponsabilitéavecles
professeurs ArianeChapelleetAndréFarber.Enfin,elleestl’auteurdenombreuxlivres
etd’articlesscientifiquesenéconométriefinancière.
Les auteurs VII
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Introduction
L’objectifprincipaldecetouvrageestd’apporterauxétudiantsensciencesdegestionles
basesmathématiquesnécessairespouraborderlesdiversesbranchesdeleurdiscipline.À
cettefin,ilproposeuncompromisentreunevisionmathématiqueabstraitequiignorerait
lesaspectspratiquesetunedémarchestrictementutilitaristequimasqueraitlafécondité
etl’esthétiqueduraisonnementmathématique.
Selonleprincipedelacollection,chaquechapitrecommenceparunesynthèsedecours
illustrée de nombreux exemples, remarques pratiques et commentaires. Ceci exclut les
démonstrations (qui peuvent être trouvées dans les ouvrages de référence) au profit
d’explicationsmettantenévidencelalogiquedelasuccessiondesmatières.Cesacrifice,
difficile à consentir pour un mathématicien, est compensé par des définitions précises,
deshypothèsesexplicitesetdesrésultatsrigoureux.
Lesexercicesetproblèmes,quioccupentlasecondeetmajeurepartiedechaquechapitre,
se répartissent entre applications directes des résultats théoriques et formalisation des
questionsposéesparlessciencesdegestion.Toussontaccompagnésdessolutionsdétaillées
quimentionnent,lecaséchéant,l’existenced’autresapprochespossibles.
Lessciencesdegestionsontjeunesetdynamiquesetleurscontoursthéoriquesfluctuent.
Dresser l’inventaire détaillé des outils mathématiques qu’elles emploient constitue une
missionpérilleuse.Nousavonschoisilavoie,pluscommode,delacohérencemathéma-
tique thématique, quitte à délaisser certaines matières, qui, comme les intégrales ou les
applications linéaires, apparaissent moins souvent dans les applications, mais sont tout
aussipassionnantes.Ilrestedoncmatièreàunsecondvolume.
Celivreestorganisédelamanièresuivante.Lepremierchapitreintroduitlesnotionsde
baseetlesnotationsquiserontutiliséestoutaulongdespagesquisuivent.Ilvacependant
au-delà des simples rappels en présentant notamment la résolution d’équations dans
l’ensembledesnombrescomplexes.Lechapitre2étudielessuitesréellesquipermettent
decaractériserl’évolutionetlaconvergencedeprocessusdéterministesentempsdiscret.
Le chapitre 3 développe la théorie des fonctions d’une variable tandis que le chapitre 4
estdédiéàladéterminationdesextremadecesfonctions.Lechapitre5estconsacréaux
notions fondamentales relatives aux matrices et à la résolution de plusieurs problèmes
d’algèbre linéaire. Le chapitre 6 présente les fonctions de plusieurs variables dont les
applicationspratiquesàlagestionsontmultiples.Logiquement,lechapitre7approfondit
larecherchedesextremadetellesfonctions.
**
*
Introduction IX
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Il y a près d’un an, le professeur Roland Gillet nous a proposé de rédiger cet ouvrage.
Nous avons saisi avec enthousiasme cette opportunité de transmettre notre expérience
del’enseignementdesmathématiquesauxgestionnaires.Eneffet,notreéquipedispense
depuisplusieursannéescetypedecoursàlaSolvayBusinessSchooldel’UniversitéLibre
deBruxelles.Arrivésautermedelarédaction,nousluisommestrèsreconnaissantsdela
confiancequ’ilnousatémoignéeetdesbonsmomentspassésensacompagniequinous
ontpermisd’appréciersarigueurintellectuelle,sonsensdel’organisationetsonhumour
communicatif.
Ilconvientdesoulignerlesoutienefficaceetlesencouragementsrépétésquenousapro-
diguésPearsonEducationFrance,ettoutspécialementPascalePernetetAntoineChéret,
avec qui nous avons pris un grand plaisir à travailler. Ils conserveront probablement le
souvenirquelesmatheuxsontdesgenscertespointilleux,maisrespectantlesdélais.
Nous remercions également Martine Anciaux-Mundeleer pour sa patiente relecture et
sescommentairesjudicieux,sansoublierlesgénérationsd’étudiantsetd’élèves-assistants
qui nous ont aidés à ajuster le contenu de notre enseignement et à affiner l’approche
pédagogiqued’unedisciplinequisusciteparfoisunecertaineappréhension.
Enfin,nousformulonsl’espoirqueleslecteursdécouvrirontaufildecetouvragequeles
mathématiquesconstituentnonseulementunoutilprécieuxpourlessciencesdegestion,
maisaussiunsavoirfascinantdontl’apprentissageprocuredesjoiesinsoupçonnées...
JeremyDussart
NatachaJoukoff
AhmedLoulit
ArianeSzafarz
Bruxelles,juin2004
X Introduction
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1
Chapitre
Rappels
et définitions
Ce chapitre présente les notions de base et les
Rappelsetdéfinitions
1. Ensemblesdenombres ............... 2 notations utilisées dans la suite du livre(1), en
2. Relation(cid:54)dansR .................. 3 commençant par les ensembles de nombres. Il évolue
3. Sous-ensemblesconvexesdeR ...... 4
4. FonctionsdeRdansR .............. 4 ensuite vers la structure ordonnée de l’ensemble R des
5. Résolutiond’équationsdansC ....... 6
nombres réels.
5.1 Nombrescomplexes .............. 6
5.2 Plancomplexeetforme De là, les intervalles et autres ensembles convexes de
trigonométrique .................. 7
5.3 Polynômesàcoefficients R sont introduits. Les fonctions réelles dont l’étude
complexes........................9
détaillée apparaît dans les chapitres 3 et 4 sont
6. Topologieetdépendancelinéaire
dansRn ............................ 9 brièvement présentées. La généralisation de
Problèmesetexercices ...... 12
l’ensemble R est abordée selon deux directions. D’une
Relation(cid:54)dansR
etlessous-ensemblesconvexesdeR 12 part, au plan algébrique, les nombres complexes
FonctionsdeR→R ................. 14 permettent la résolution d’équations polynomiales sans
Nombrescomplexes ................... 24
solution réelle. D’autre part, les ensembles den-uples
Topologieetdépendancelinéaire
dansRn ........................... 27 réels constituent la base indispensable à l’examen des
fonctions de plusieurs variables qui font l’objet des
chapitres 6 et 7.
1.Noussupposeronsnéanmoinsacquiseslesnotionsdebaseetlesnotationsdelathéoriedesensemblesetde
l’algèbreélémentaire.
Rappels et définitions 1
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1 Ensembles de nombres
Lesensemblesdenombressontprésentésdupluspetitauplusgrand,partantdeceluides
nombresnaturels,utiliséscommunémentpourdénombrerdesobjets.Lesnombresentiers
sontobtenusenajoutantauxnombresnaturelsleursopposés,quisontmunisd’unsigne
négatif.Lesnombresrationnelspermettentd’introduiretouteslesfractions(divisionde
deuxnombresentiers)àdénominateurnonnul.Enfin,l’ensembledesnombresréelsqui
n’estpasdénombrable,estdéterminéparanalogieaveclespointsd’unedroite,appeléela
droiteréelle.
Notations
• Nestl’ensembledesnombresnaturels 0,1,2,... .
{ }
• Zestl’ensembledesnombresentiers ..., 2, 1,0,1,2,... .
{ − − }
p
• Qestl’ensembledesnombresrationnels p Z,q Z,q 0 .
q : ∈ ∈ (cid:54)=
(cid:26) (cid:27)
• Restl’ensembledesnombresréels,représentéparl’ensembledespointsd’une
droiteorientéemunied’uneorigineetd’uneunité.
• Pour chacun des ensembles cités, on indique l’exclusion du nombre 0 par un
indice inférieur nul ou un astérisque. La restriction aux nombres positifs ou
nuls,ounégatifsounuls,s’effectueàl’aidedusignequiconvientplacéenindice
supérieur. (cid:111)
Exemples
N0 =N∗=N\{0}={1,2,...},R+={x∈R:x(cid:62)0},R−0 ={x∈R:x<0}.
L’équationx2 1n’admetpasdesolution réelle.Afinderésoudrecettedifficulté,on
= −
définitunensembleplusvastequeR,l’ensembledesnombrescomplexes.
Définition C a bi a,b R, i2 1 . (cid:111)
= + : ∈ =−
(cid:8) (cid:9)
Lesdéfinitions etpropriétés relatives à l’ensembleC seront présentées danslasection 5
du présent chapitre.Remarquons que lesinclusions successives N Z Q R C
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
sontstrictespuisque:
• 1 Zet 1 / N.
− ∈ − ∈
1 1
• Qet / Z.
3 ∈ 3 ∈
• π Retπ / Q.
∈ ∈
• 3 2i Cet3 2i / R.
+ ∈ + ∈
L’ensemble R occupe sans conteste une place prépondérante dans les applications pra-
tiques. En effet, les multiples éléments quantitatifs qui émaillent les problèmes de la
gestions’exprimentleplussouventàl’aidedesnombresréels.
Dansledomainedesprocessusévolutifs,deuxapprochesdutempscoexistent.D’unepart,
letempsvucommeunesuccessiond’instantsdissociés(approcheditediscrète)conduit
à une représentation mathématique de dates appartenant à N ou N0 et l’évolution des
2 Rappels et définitions
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