Mathématiques : Analyse en 30 fiches

162 Pages·2009·1.13 MB·French

by  Daniel Fredon

E Daniel FREDON
X Myriam MAUMY-BERTRAND
P
Frédéric BERTRAND
R
E
S
S
Mathématiques
Analyse
en 30 fiches
Daniel FREDON
Myriam MAUMY-BERTRAND
Frédéric BERTRAND
Mathématiques
Analyse
en 30 fiches
© Dunod, Paris, 2009
ISBN 978-2-10-053933-8
Avant-propos
L'organisation en crédits d'enseignement entraîne des variations entre les Universités.
Les deux premières années de licence (L1 et L2) ont cependant suffisamment de points
communs pour proposer des livres utiles à tous.
Avec la collection Express,vous allez vite à l'essentiel.
Pour aller vite,il faut la taille mince et le prix léger.
Il faut aussi une organisation en fiches courtes et nombreuses pour vous permettre de
ne retenir que les sujets du moment,semestre après semestre.
Il faut avoir fait des choix cohérents et organisés de ce qui est le plus couramment
enseigné lors des deux premières années des licences de mathématiques,informatique,
mais aussi de sciences physiques,et dans les cycles préparatoires intégrés.
Il faut un index détaillé pour effacer rapidement un malencontreux trou de mémoire.
Dans la collection Express,il y a donc l'essentiel,sauf votre propre travail. Bon cou-
rage!
Toutes vos remarques,vos commentaires,vos critiques,et même vos encouragements,
seront accueillis avec plaisir.
élit. [email protected]
d
un [email protected]
est [email protected]
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Avant-propos 3
Table
des matières
Fiche 1 Nombres réels 6
Fiche 2 Généralités sur les fonctions numériques 12
Fiche 3 Limite d’une fonction 16
Fiche 4 Fonctionscontinues 22
Fiche 5 Fonctions dérivables 26
Fiche 6 Compléments sur les fonctions dérivables 32
Fiche 7 Logarithmes et exponentielles 36
Fiche 8 Fonctions circulaires et réciproques 42
Fiche 9 Fonctions hyperboliques et réciproques 46
Fiche 10 Suites numériques 50
Fiche 11 Suites particulières 56
Fiche 12 Intégrales définies 62
Fiche 13 Calcul des primitives 68
Fiche 14 Formules de Taylor 74
Fiche 15 Intégrales généralisées 82
Fiche 16 Équations différentielles du premier ordre 88
Fiche 17 Équations différentielles linéaires
du second ordre 92
Fiche 18 Systèmes différentiels 100
Fiche 19 Séries numériques 104
Fiche 20 Suites de fonctions 110
Fiche 21 Séries de fonctions 114
4 Analyse en 30 fiches
Fiche 22 Séries entières 118
Fiche 23 Séries de Fourier 124
Fiche 24 Topologie de Rn 128
Fiche 25 Fonctions de plusieurs variables 132
Fiche 26 Calcul différentiel 136
Fiche 27 Optimisation d'une fonction de plusieurs variables 142
Fiche 28 Fonctions définies par une intégrale 146
Fiche 29 Intégrales multiples 150
Fiche 30 Intégrales curvilignes 154
Index 159
élit.
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n
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est
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Table des matières 5
1
Nombres réels
FICHE
I Premières propriétés
• Corps ordonné
On dit que l'ensemble R des nombres réels est :
– un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations +et ×,avec toutes les pro-
priétés dont vous avez l'habitude;
– un corps ordonné pour dire que la relation d'ordre (cid:1)est compatible avec +et ×,
c'est-à-dire:
∀a ∈R ∀b∈R ∀c∈R a (cid:1)b (cid:6)⇒ a+c(cid:1)b+c ;
∀a ∈R ∀b∈R ∀c(cid:2)0 a (cid:1)b (cid:6)⇒ ac(cid:1)bc.
• Règles de calcul (x ∈R, y ∈R,n ∈N)
(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4)
(x +y)n =(cid:2)n n xk yn−k où n = n!
k k k!(n−k)!
k=0
(cid:2)n−1
xn −yn =(x −y) xn−k−1yk.
k=0
• Valeur absolue
La valeur absolue d'un réel a,notée |a|,est définie par:
|a|=a si a (cid:2)0 ; |a|=−a si a (cid:1)0.
• Propriétés
∀a ∈R ∀b∈R
|a|(cid:2)0 ; |a|=0 ⇐⇒ a =0 ; |ab|=|a||b| ;
(cid:5) (cid:5)
|a+b|(cid:1)|a|+|b| ; (cid:5)|a|−|b|(cid:5)(cid:1)|a−b|.
• Propriété d'Archimède
Soit a ∈R et b>0. Alors il existe k ∈N tel que bk >a.
• Partie entière
Étant donné un nombre réel x, il existe un plus grand entier relatif, noté E(x) ou
[x],tel que E(x)(cid:1)x. On l'appelle la partie entière de x.
On a donc,par définition: E(x)(cid:1)x < E(x)+1.
6 Analyse en 30 fiches
1
Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quand x< 0 ;par
− −
exemple E( 4,3)= 5.
II Intervalles
• Définition
Pour a (cid:1)b,le segment,[a,b] est défini par:
[a,b]={x ∈R; a (cid:1)x (cid:1)b}.
On utilise souvent la propriété:
c∈[a,b] ⇐⇒ ∃t ∈[0,1] c=ta+(1−t)b.
On définit de même les autres types d'intervalles:
]a,b[,[a,b[,]a,b],]a,+∞[,[a,+∞[, ]−∞,b[,]−∞,b],]−∞,+∞[=R.
• Propriété caractéristique
Une partie A de R est un intervalle si,et seulement si:
∀a ∈ A ∀b∈ A a <c<b (cid:6)⇒ c∈ A.
• Voisinaged'un point
Soit a ∈R. Une partie V de R est un voisinage de asi elle contient un intervalle
ouvert centré sur a,soit du type ]a−α,a+α[ avec α>0.
• Densité de Q dans R
Tout intervalle ]a,b[ non vide contient au moins un rationnel et un irrationnel.
On dit que Q et son complémentaire R\Q sont denses dans R.
élit. III Ordre dans R
d
n
u
est
e • Majoration,minoration
é
utoris Définitions
a
on Soit A une partie de R. On dit que aest un majorantde A si x (cid:1)apour tout xde A.
n
pie Si,en plus, a ∈ A,alors aest le plus grand élémentde A,noté maxA. Si A admet
o
c un majorant,on dit que A est majorée.
o
hot On définit de même:minorant,plus petit élément,partie minorée.
p
a
L
– Unicité
d
no Si une partie non vide de R admet un plus grand élément,ou un plus petit élément,
u
D il est unique. Mais il peut ne pas exister.
©
FICHE 1 – Nombres réels 7
Surveillez votre vocabulaire:unmajorant, leplus grand élément.
Cas particulier des entiers naturels
Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
Toute partie non vide majorée de N admet un plus grand élément.
• Borne supérieure,inférieure
Définitions
La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des
majorants de A.
La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des
minorants de A.
Caractérisation
Mest la borne supérieure de A si,et seulement si,on a,à la fois:
∀x ∈ A x (cid:1) M,c'est-à-dire que Mest un majorant;
∀ε>0 ∃x ∈ A M −ε<x,c'est-à-dire que M −ε n'est pas un majorant.
m est la borne inférieure de A si,et seulement si,on a,à la fois:
∀x ∈ A m (cid:1)x,c'est-à-dire que m est un minorant;
∀ε>0 ∃x ∈ A x <m+ε,c'est-à-dire que m+ε n'est pas un minorant.
Remarque
Si A admet un plus grand élément,alors c'est la borne supérieure de A.
Si A admet un plus petit élément,alors c'est la borne inférieure de A.
Théorème d'existence
Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieu-
re (resp. inférieure).
8 Analyse en 30 fiches
1
Application
(cid:6) (cid:7)
n− 1
Soit E la partie de R définie par: E = n ; n ∈N∗ .
n+ 1
n
Montrez que E est infinie et bornée.
Déterminez,si elles existent,la borne supérieure et la borne inférieure de E.
Étudiez l'existence d'un plus petit élément,d'un plus grand élément,de E.
Solution
n− 1
Notons u = n· Montrons que les éléments de Esont tous distincts,ce qui prou-
n n+ 1
n
vera que E est infinie. Raisonnons par l'absurde en supposant deux éléments égaux
pour deux entiers strictement positifs n et p :
0 0
n p
u =u ⇐⇒ 0 = 0 ⇐⇒ n = p .
n0 p0 p n 0 0
0 0
1 1 1
On a u (cid:1)1 car n− (cid:1)n+ et 0(cid:1)u car n− (cid:2)0.
n n
n n n
E étant minorée par 0 et majorée par 1,admet une borne inférieure m et une borne
supérieure Mqui vérifient:m (cid:2)0 et M (cid:1)1.
Comme u =0,on a m =0 et 0 est le plus petit élément de E.
1
Montrons que M =1 en montrant que, pour tout ε>0,1−ε n'est pas un majorant
de E. Pour ceci,il faut trouver n ∈N∗ tel que:
1
n− (cid:8) (cid:9)
1−ε< n ⇐⇒ (1−ε) n+ 1 <n− 1
n+ 1 n n
.
n
élit. ⇐⇒ (1−ε)(n2+1)<n2−1
d
n
est u ⇐⇒ εn2 >2−ε
e
orisé Si ε>1,tous les éléments de E s(cid:10)ont supérieurs à 1−ε.
ut 2−ε
n a Si ε(cid:1)1, il suffit de choisir n > pour montrer que 1−ε n'est pas un majo-
no ε
pie rant de E. On a donc bien M =1.
o
oc 1 1
ot Et comme 1 n'appartient pas à Ecar n− =/ n+ ,la partie En'a pas de plus grand
h
p n n
a
L élément.
–
d
o
n
u
D
©
FICHE 1 – Nombres réels 9