Mathematik Neu Denken: Impulse für die Gymnasiallehrerbildung an Universitäten

223 Pages·2011·1.892 MB·German

by  Albrecht Beutelspacher, Rainer Danckwerts, Gregor Nickel, Susanne Spies, Gabriele Wickel

Albrecht Beutelspacher | Rainer Danckwerts
Gregor Nickel | Susanne Spies | Gabriele Wickel
Mathematik Neu Denken
Albrecht Beutelspacher | Rainer Danckwerts
Gregor Nickel | Susanne Spies | Gabriele Wickel
Mathematik
Neu Denken
Impulse für die Gymnasiallehrerbildung an Universitäten
3., aktualisierte Auflage
Mit 328 Abbildungen
STUDIUM
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Prof. Dr. Dr. h. c. Albrecht Beutelspacher Prof. Dr. Rainer Danckwerts
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Mathematisches Institut Department Mathematik
Arndtstraße 2 Didaktik der Mathematik
35392 Gießen Walter-Flex-Str. 3
57068 Siegen
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Prof. Dr. Gregor Nickel Susanne Spies | Gabriele Wickel
Universität Siegen Universität Siegen
Department Mathematik Department Mathematik
Funktionalanalysis und Philosophie Didaktik, Philosophie und Geschichte
der Mathematik der Mathematik
Walter-Flex-Str. 3 Walter-Flex-Str. 3
57068 Siegen 57068 Siegen
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Das Projekt MATHEMATIK NEU DENKEN wurde von der Deutschen Telekom Stiftung unterstützt.
Dieses Buch fasst die Ergebnisse ausführlich und kommentiert zusammen.
1. Auflage 2011
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Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach
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ISBN 978-3-8348-1648-1
Vorwort
DiesesBuchmarkiertden(vorläufigen)AbschlussdesProjektsMathematikNeuDen-
ken,einesTandemprojektsandenUniversitätenGießenundSiegenzurNeuorientie-
rung der universitären Lehrerbildung im Fach Mathematik für das gymnasiale Lehr-
amt (Projektleitung: Prof. Dr. A. Beutelspacher (Gießen), Prof. Dr. R. Danckwerts,
Prof. Dr. G. Nickel (beide Siegen)). Im Buch spiegeln sich die Erfahrungen aus dem
mehrjährigen Pilotprojekt zur Erprobung der Neugestaltung des ersten Studienjahrs
ebensowiderwiedieprogrammatischeArbeitanEmpfehlungenzurNeuorientierung
dergesamtenuniversitärenPhase.
Die Universitätsleitungen und die beteiligten Fachbereiche haben die Durchführung
der Pilotphase ermöglicht und nach Kräften unterstützt. Diese Praxisphase wäre un-
denkbargewesenohnedieengagierteMitwirkungallerbeteiligtenwissenschaftlichen
und studentischen Mitarbeiter und der Studierenden an beiden Standorten. Ein be-
sondererDankgiltProf.Dr.W.Hein(UniversitätSiegen),derdieStartphasedesPro-
jektsmaßgeblichunterstütztunddieersteAnalysis-Vorlesungübernommenhat.
DieEmpfehlungenzurNeuorientierungderuniversitärenLehrerbildungimFachMathe-
matik für das gymnasiale Lehramt (vgl. Empfehlungen 2010), die konzeptionell eine
BasisdervorliegendenPublikationbilden,sind2009/10inintensivemAustauschmit
folgendenKolleginnenundKollegenausderMathematikundihrerDidaktikentstan-
den: Prof. Dr. L. Hefendehl-Hebeker (Universität Duisburg-Essen), Prof. Dr. J. Sjuts
(UniversitätOsnabrückundStudienseminarLeer),Prof.Dr.H.-O.Walther(Universi-
tätGießen)und(assoziiert)Prof.Dr.M.Neubrand(UniversitätOldenburg).Darüber
hinaushabenProf.Dr.B.Artmann(UniversitätGöttingen),Prof.Dr.T.Bauer(Univer-
sität Marburg) und Prof. Dr. N. Henze (Universität Karlsruhe) die Arbeit der Gruppe
durchihreExpertisebereichert.IndiesemSinnehabenalleGenanntenanTeilendie-
ses Buches mitgewirkt. Wir möchten allen für die produktive und inspirierende Zu-
sammenarbeitherzlichdanken.
DasgesamteProjektwurdevonderDeutschenTelekomStiftungingroßzügigsterWei-
segefördert.WirdankendemVorsitzendenderStiftung,HerrnDr.KlausKinkel,dass
erdasProjektinitiiertundwährenddergesamtenLaufzeitmitgroßempersönlichen
Einsatzbegleitethat.
GießenundSiegen
imAugust2011
AlbrechtBeutelspacher
RainerDanckwerts
GregorNickel
SusanneSpies
GabrieleWickel
Inhalt
1 MathematiklehrerbildungNeuDenken! 1
2 AusgangslageundZiele 5
2.1 EmpirischeBefunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Desiderate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 DenAnfangandersmachen!–Projekterfahrungen 21
3.1 Schul-undBerufsfeldbezugvonAnfangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 HistorischeundmathematikphilosophischeElemente . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 MethodischeNeuorientierunginderPraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 IdeenundMaterialienzueinerSchulanalysisvomhöherenStandpunkt 31
4.1 ErstesBeispiel:DerAbleitungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 ZweitesBeispiel:DerThemenkreisExtremwertprobleme . . . . . . . . . . . 41
4.3 DrittesBeispiel:DieVollständigkeitderreellenZahlen . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Epilog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Analysis–HistorischeundphilosophischeAspekte 51
5.1 BeispielefürAufgabenzumhistorischenoderphilosophischenKontext . . 52
5.2 InfinitesimalmathematikinAntikeundMittelalter . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 DieGenesedesBegriffsdergleichmäßigenKonvergenz . . . . . . . . . . . . 74
5.4 DieMengenlehreGeorgCANTORs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 IdeenundMaterialienzurAnalytischenGeometrieundLinearenAlgebra 91
6.1 KlassischeThemenanderspräsentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Inhaltereflektierenundvernetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3 Software-PraktikumzurAnalytischenGeometrieundLinearenAlgebra . . . 104
viii Inhalt
7 ElementareGeometrieundAlgebra 111
7.1 ElementareGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2 ElementareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8 MethodenNeuDenken 149
8.1 DieuniversitäreLernumgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 KooperativeÜbungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.3 ArbeiteninPräsenzübungsphasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.4 ErweiterungderuniversitärenLernumgebung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.5 NeuorientierungderLeistungsbeurteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9 ErfolgederProjektidee 175
9.1 ExterneEvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.2 InterneDokumentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10 DasvolleStudiumimBlick–Empfehlungen 187
10.1ÜbergreifendeZiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.2ElementeeinesidealtypischenStudienplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.3Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Ausblick 207
Materialien 209
Literatur 213
1 Mathematiklehrerbildung Neu
Denken!
Mathematik gehört zu den Schlüsseltechnologien unserer hoch technisierten Gesell-
schaft. Ob es um die Optimierung von Transportsystemen, um Wahlprognosen, Mo-
delle für den Klimawandel oder Fragen der Datensicherheit geht, bei allen Anwen-
dungenist–auchjenseitsdesbürgerlichenRechnens–hochentwickelteMathematik
imSpiel.
Mathematik war aber auch bereits seit Beginn der Kulturgeschichte eine Weise des
Weltverstehens. Ohne mathematische Begriffe und Methoden wäre etwa die Ent-
wicklung der Astronomie, des Kalenderrechnens oder der Landvermessung nicht
vorstellbar.
In der griechischen Antike hat die Mathematik ihren Status als einzigartige Wissen-
schafterhalten.DamalsvollzogsicheinQualitätssprungvonempirischgestützterEr-
kenntnis zum Anspruch rein theoretischer Begründung. Damit war die Mathematik
alsargumentativeWissenschaftetabliert.
Beide Wesenszüge – Mathematik als Schlüsseltechnologie und als Kulturgut – sind
in der Öffentlichkeit kaum präsent. Erfolge der Mathematik werden entweder über-
haupt nicht wahrgenommen oder „dem Computer“ zugeschrieben. Mehr noch: Man
kannsogarmitBeifallrechnen,wennmanöffentlichbekennt,vonMathematiknichts
zuverstehenund„inMatheimmerschlecht“gewesenzusein.
NunwirdmathematischeBildung–imUnterschiedzuanderenFächernwieSprachen,
Musik, Kunst oder Sport – fast ausschließlich über schulischen Unterricht vermittelt.
Zwar haben sich in den letzten Jahren immer mehr populäre Formate wie Bücher,
Filme, Ausstellungen und Wettbewerbe entwickelt, aber dennoch findet fast das ge-
samtemathematischeLerneninderSchulestatt.
DamitspielendieLehrerinnenundLehrerdieentscheidendeRollebeiderVermittlung
vonMathematik!
Die Frage nach der Qualität des Mathematikunterrichts geriet schlagartig ins Zen-
trum des öffentlichen Interesses, als ab Mitte der 1990er Jahre die Ergebnisse der
internationalenVergleichsstudienTIMSSundPISAbekanntwurden,beidenendeut-
sche Schülerinnen und Schüler nur mittelmäßig abgeschnitten hatten. Die TIMSS-
StudiegabAnlass,denetabliertenMathematikunterrichtzuüberdenken.Dieswurde
schon damals von den einschlägigen Fachverbänden klar benannt (vgl. DMV, GDM
und MNU 1997, S. 12): Es zeigte sich, dass in Deutschland viel Wert gelegt wurde
aufdasroutinemäßige,oftschematischeLöseninnermathematischerStandardaufga-
ben, dagegen fanden das selbstständige Problemlösen, das verstehensorientierte Ar-
gumentieren und der verständige Umgang mit mathematikhaltigen Situationen aus
A. Beutelspacher et al., Mathematik Neu Denken, DOI 10.1007/978-3-8348-8250-9_1,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
2 1 MathematiklehrerbildungNeuDenken!
derLebensweltvielzuwenigBeachtung.DurchdienachfolgendenPISA-Studienwur-
dedieserBefundweitgehendbestätigt,underist–trotzbeachtlicherAnstrengungen
undErfolgezurWeiterentwicklungdesMathematikunterrichts–inderGrundtendenz
bisheuteaktuell.
Demgegenüber hat guter Mathematikunterricht vor allem drei Dinge im Blick: Er
ist verstehens- und vorstellungsorientiert (in Abgrenzung zur mechanischen Beherr-
schung von Rechenverfahren), er fördert den „mathematischen Blick“ auf die Welt
(komplementär zu einer rein innermathematischen Perspektive), und er schafft pro-
duktiveLernumgebungenzureigenaktivenKonstruktiondesWissens(imUnterschied
zurreinenInstruktiondurchdieLehrperson).
EinsolcherMathematikunterrichtbrauchtLehrerinnenundLehrer,dieeinepositive,
aktiveBeziehungzurMathematikhaben.DiesschließtdenErwerbeinesgültigenBil-
des der Wissenschaft Mathematik ein. Darüber hinaus sollen sie den Bildungswert
derMathematikermessen,mitSchulmathematikkompetentumgehenundmathema-
tischeLernprozesseunterstützenkönnen.
EineguteLehrerbildungmussdiesesAnforderungsprofilimBlickhabenunddenStu-
dierendenentsprechendeAngebotemachen.DasberührtinersterLiniedieuniversi-
tärePhasederAusbildung,indereingrundsätzlichesUmdenkennotwendigist.Hier
liegtderDreh-undAngelpunkt.
DerneuralgischeBereichistdasStudiumfürdasgymnasialeLehramt.Dortgelingtes
traditionellkaum,dieKluftzwischenderWissenschaftMathematikunddemBerufs-
bild des Mathematiklehrers zu überbrücken. Dies führt in der Regel dazu, dass die
angehendenLehrerinnenundLehrersichnurschwachmitihremFachidentifizieren.
Lehramtsstudierende sind mit ihrem Studium deutlich unzufriedener als reine Fach-
studierende, und sie fühlen sich schlecht vorbereitet auf ihren Beruf. Trotz großer
AnstrengungbeiStudierendenwieDozentenbleibthäufigEnttäuschungzurück.Ob-
jektivistdieSituationunbefriedigend.
WirsehenÄnderungsbedarfsowohlaufderSeitederStudieninhaltealsauchbeiden
Lehr-undLernformen.DiessindunseredreiKernthesenfüreineNeuorientierungder
universitärenLehrerbildungimFachMathematikfürdasgymnasialeLehramt:
Erstens:ZumFach. AngehendeMathematiklehrerinnenund-lehrerfürdasGymna-
sium müssen während des Studiums eine aktive Beziehung zur Mathematik als Wis-
senschaft in Theorie und Anwendung sowie als Kulturgut entwickeln, um das Fach
im Mathematikunterricht und darüber hinaus souverän vertreten zu können. Dazu
gehörtzunächsteinesolidefachmathematischeGrundbildung.Darüberhinausmuss
die Fachmathematik nach unserer Auffassung eine starke elementarmathematische
Komponenteenthalten,dienachMöglichkeitanschulmathematischeErfahrungenan-
knüpftundauchwissenschaftlichesArbeiten„imKleinen“ermöglicht.Danebenmuss
es verbindliche Veranstaltungen zur historisch-genetischen oder philosophischen Re-
flexionüberMathematikgeben.UndschließlichmussdiefachmathematischeAusbil-
dungErfahrungenmiteiner„SchulmathematikvomhöherenStandpunkt“alsSchnitt-
stellezwischenFachwissenschaftundFachdidaktikermöglichen.
3
Zweitens: Zur Fachdidaktik. Die fachdidaktische Ausbildung widmet sich primär
der Aufgabe, wie mathematische Inhalte im Unterricht zugänglich gemacht werden.
DamithatdiestoffdidaktischeDurchdringungderLernbereichebesonderesGewicht.
GleichzeitigsetztdiefachdidaktischeKomponenteeinenstarkenAkzentaufdieSchü-
lerperspektiveundumfasstauchbildungstheoretischeAspekte.
FachdidaktischeReflexionmussvermehrtaufdasVerständnisfürdasmathematische
DenkenvonKindernundJugendlichengerichtetsein,undsiemussverstärktdasdif-
ferenzierteundindividualisierteDiagnostizierenundFördernimBlickhaben.
Drittens:ZurMethodik. Methodischkommtesdaraufan,FormendesLehrensund
Lernens zu etablieren, die die Studierenden in der eigenaktiven Konstruktion ihres
Wissensnachhaltigunterstützen.DaMathematiklernenauchbedeutet,nebenderei-
genen Auseinandersetzung mit dem Thema die Möglichkeit des Austausches mit an-
derenzuhaben,sindauchgeeigneteFormenfürdasgemeinsameLernenanzustreben.
VordemHintergrunddieserDesideratebegann2005einmehrjährigerModellversuch
andenUniversitätenGießenundSiegen,derzunächstaufeineNeuorientierungdes
ersten Studienjahres zielte. Ziel des Pilotprojekts war eine Professionalisierung des
Lehramtsstudiums, die in der Wissenschaft wie in der Perspektive des Berufsfeldes
gleichermaßenverankertist.Lehramtsstudierendesolltenfrüherfahren,wasdasWe-
senunddenBildungswertderMathematikausmacht.
Bereits während der Laufzeit wurden Projektidee und Erfahrungen breit kommuni-
ziert. Inzwischen hat sich die bundesweite Diskussion intensiviert und zu Stellung-
nahmen und Empfehlungen der einschlägigen Fachverbände geführt sowie weitere
Forschungs- und Entwicklungsprojekte an verschiedenen Universitäten angestoßen.
Wirfreuenuns,dassunserProjekteinesogroßeResonanzhervorgerufenhat.
Das vorliegende Buch zum Projekt Mathematik Neu Denken besteht aus drei unter-
schiedlichenTeilen:DenAuftaktbildeteineBeschreibungvonAusgangslageundPro-
jektideeinKapitel2.DieDarstellungderpraktischenUmsetzungdieserIdeeimRah-
mendesPilotprojektsandenUniversitätenGießenundSiegenfolgtinKapitel3.
DerzweiteTeilenthälteineumfangreicheSammlungvoninderPraxiserprobtenund
hierkommentiertenVeranstaltungsmaterialien,dieanderblauenHinterlegungzuer-
kennen sind. Die ausgewählten Aufgabenbeispiele, Exkurse und Vorlesungsauschnit-
te zu den Projektveranstaltungen Schulanalysis vom höheren Standpunkt (Kapitel 4),
AnalysisI/II(Kapitel5)undAnalytischeGeometrieundLineareAlgebra(Kapitel6)so-
wie Vorschläge einer möglichen Ausgestaltung der Themenbereiche Elementare Geo-
metrie und Elementare Algebra (Kapitel 7) konkretisieren die Projektidee inhaltlich
und lassen sie plastisch werden. Die Materialien bieten die Möglichkeit, die fachin-
haltliche Neuorientierung zu erleben, und sollen dazu einladen, die Beispiele in der
LehrezunutzenundetwainbereitsbestehendeVeranstaltungskonzeptezuintegrie-
ren.DiesgiltebenfallsfürdieerprobtenNeuerungenbeidenLehr-undLernformen.
Eine Diskussion vielfältiger Möglichkeiten zur methodischen Öffnung mit Beispiel-
materialien aus der Projektpraxis folgt in Kapitel 8. Der dritte Teil fasst die Ergeb-
nisseundPerspektivenvonMathematikNeuDenkenzusammen.InKapitel9werden