Mathematik, Logik und Erfahrung PDF
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Library of Exact Philosophy Editor: Mario Bunge, Montreal Co-editors: Sir Alfred Jules Ayer, Oxford Rudolf Carnap, Los Angeles, Calif. Herbert Feigl, Minneapolis, Minn. Victor Kraft, Wien Sir Karl Popper, Penn Springer -Verlag Wien New York Library of Exact Philosophy 2 Victor Kraft Mathematik, Logik und Erfahrung Zweite, neubearbeitete Auflage Springer-Verlag Wien New York 1970 Printing type: Sabon Roman Composed and printed by Herbert Hiessberger, Pottenstein Binding work: Karl Scheibe, Wien Design: Hans Joachim Boning, Wien ISBN-13: 978-3-211-80982-2 (Hardcopy) ISBN-13: 978-3-7091-7127-1 (Softcopy) All rights reserved ISBN-13: 978-3-7091-7127-1 e-ISBN-13: 978-3-7091-7126-4 DOl: 10.1007/978-3-7091-7126-4 No part of this book may be translated or reproduced in any form without written permission from Springer-Verlag © 1947 and 1970 by Springer-Verlag/Wien Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1970 Library of Congress Catalog Card Number 77-140286 Zum Gedenken an Frau und Herrn Professor Kastil in dankbarer Erinnerung an die denkwurdigen Wo chen in Schonbuhel im Fruhjahr 1945 General Preface to the LEP The aim of the Library of Exact Philosophy is to keep alive the spirit, if not the letter, of the Vienna Circle. It will consequently adopt high standards of rigor: it will demand the clear statement of problems, their careful handling with the relevant logical or mathematical tools, and a critical analysis of the assumptions and results of every piece of philosophical research. Like the Vienna Circle, the Library of Exact Philosophy sees in mathematics and science the wellsprings of contemporary intellectual culture as well as sources of inspiration for some of the problems and methods of philosophy. The Library of Exact Philosophy will also stress the desirability of regarding philosophical research as a cooperative enterprise carried out with exact tools and with the purpose of extending, deepening, and systematizing our knowledge about human knowledge. But, unlike the Vienna Circle, the Library of Exact Philosophy will not adopt a school attitude. It will encourage constructive work done across school frontiers and it will attempt to minimize sterile quarrels. And it will not restrict the kinds of philosophical problem: the Library of Exact Philosophy will welcome not only logic, semantics and epistemology, but also metaphysics, value theory and ethics as long as they are conceived in a clear and cogent way, and are in agreement with contemporary science. Montreal, January 1970 Mario Bunge Vorwort Es war mir sehr willkommen, dag mir der Springer-Verlag angeboten hat, eine Neuauflage dieses Hingst vergriffenen Buches zu bringen. Denn es waren an ihm wesentliche Verbesserungen und Erganzungen notwendig, die ich nun in einer eingreifenden Neubearbeitung gege ben habe. Das Buch ist zum gr6geren Teil neu geschrieben. Ich habe mich bemuht, die in der ersten Auflage fehlende Literatur nach zutragen. Fur die Literatur zur Anwendung der Arithmetik in der Naturwissenschaft kann ich auf das ungemein reiche Literatur verzeichnis bei BR. ELLIS, Basic Concepts of Measurement, 1966, S.207-215, verweisen. Gleichwohl finden die letzten Grundlagen der Anwendung sowohl der Mathematik wie der Logik nicht das gebuhrende Interesse. Ich bin Herrn Kollegen Professor B. JUHOS fur die Durchsicht des mathematischen Teiles sehr zu Dank verpflichtet und auch Herrn Dr. R. HINK yom Springer-Verlag fur die groge Miihe, die er sich mit der Herrichtung des Manuskriptes fur den Druck gegeben hat. Wie meine "Erkenntnislehre" zu meinem 80. Geburtstag k6nnte ich diese Neubearbeitung als Festgabe zu meinem 90. nehmen. Hoffentlich errege ich damit aber nicht ein Vorurteil gegen sie. Wien, September 1970 Victor Kraft Inhaltsverzeichnis I. Mathematik und Logik 1 II. Logik und Erfahrung 2 1. Der Wissenschaftscharakter und die Grundlagen der Logik 2 2. Logik und Wahrheit 17 3. Die Anwendungsbedingungen der Logik 21 III. Mathematik und Erfahrung 28 Der Wissenschaftscharakter der Mathematik und das Anwendungs problem 28 A. Die Anwendungsbedingungen der Arithmetik 33 1. Die natiirlichen Zahlen 33 2. Die Anwendungsbedingungen 38 a) Zahlen 39 b) Messen 41 3. Die Grundrechnungsarten 44 4. Die erweiterten Zahlen 48 B. Die Anwendungsbedingungen der Geometrie 54 1. Die mathematischen Geometrien 54 2. Die Bedingungen fUr die Anwendung einer Geometrie 57 IV. Der Konventionalismus und seine Widerlegung 64 1. Der Konventionalismus 64 2. Kritik des Konventionalismus 70 a) Festsetzung - Erfahrung 70 b) Festsetzbarkeit einer Geometrie 72 (X) Geometrie und Messung 72 fJ) Festsetzbarkeit der Messungsgrundlagen 79 c) Die empirische Bestimmung der anwendbaren Geometrie 87 3. Konventionalismus - Empirismus 96 Literaturverzeichnis 98 I. Mathematik und Logik Die Mathematik griindet sich im allgemeinen auf den Beweis, auf die Deduktion. Sie setzt deshalb die Logik voraus. Aber die Ver schiedenheit von Logik und Mathematik wird heute auch negiert. Denn die Mathematik beschrankt sich nicht mehr auf den quantita tiven Gesichtspunkt, weil sie Zweige enthalt, die, wie die Analysis situs, mit diesem nichts mehr zu tun haben. Die Logik wird der Mathematik inkorporiert. So sagt M. COHEN 1: "There is no strictly logical difference between poor mathematical and deductive reason ing. What we usually call formal logic is simply the study of the most general portion of poor mathematics." Wenn so die Mathe matik mit dem Bereich des deduktiven SchlieBens gleichgesetzt wird, so wird damit eine allgemeine Wissenschaft des deduktiven Verfah rens aufgestellt; aber kann nicht ein allgemeinster formaler Teil von den iibrigen Zweigen der Mathematik unterschieden und ihnen als Logik gegeniibergestellt werden? Dann ware doch die Logik die Voraussetzung fiir die iibrigen Zweige der Mathematik. Wenn die Mathematik als eine alles umfassende Grund-Disziplin konstituiert werden solI, dann miiBte sie ohne Voraussetzung der Deduktion, ohne Beweis-Verwendung als eine Kombinatorik von beliebigen Elementen nach frei festgesetzten Regeln aufgebaut werden. Die Logik wiirde dann bereits eine speziellere Form dessen darstellen neben den anderen, den mathematischen Zweigen. Aber sie wiirde dann in einem Kalkiil entwickelt werden, auf Grund willkiirlicher Festsetzungen, und das stiinde in Widerspruch dazu, daB die sinn hafte Logik die unentbehrliche Voraussetzung dafiir bilden muK 1 COHEN (1946), S. 10. Aber die Logik als semantische wiirde doch immer die Grundlage fiir den Aufbau des Kalkiils bilden. 1 LEP 2
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