Mathematik im Betrieb: Praxisbezogene Einführung mit Beispielen

309 Pages·1991·13.332 MB·German

by  Heinrich Holland, Doris Holland (auth.)

Heinrich Holland/Doris Holland· Mathematik im Betrieb
HOLLAN D/ HOLLAN D
MATHEMATIK
IMBETRIEB
PRAXISBEZOGENE
EINFOHRUNG
MIT BEISPIELEN
GRUNOLAGEN . FUNKTIONEN . OIFFERENTIAL
RECHNUNG ·INTEGRALRECHNUNG· MATRIZEN
RECHNUNG· LlNEARE OPTIMIERUNG· FINANZ
MATHEMATIK· KOMBINATORIK· FALLSTUOIE
2., OBERARBEITETE UNO ERWEITERTE AUFLAGE
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Die Deutsche Bibliothek - CIP Einheitsaufnahme
Holland, Heinrich:
Mathematik im Betrieb: praxisbezogene Einfuhrung mit
Beispielen / Heinrich Holland; Doris Holland. - 2., Überarb.
und erw. Aufl. - Wiesbaden: Gabler, 1991
NE: Holland, Doris:
Der Gabler Verlag ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1991
Ursprünglich erschienen bei Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler, Wiesbaden 1991
Lektorat: Ulrike M. Vetter
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ISBN 978-3-409-22000-2 ISBN 978-3-663-13180-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-13180-9
Vor~ort
Das vorliegende Buch deckt den Stoff der Vorlesung Wirt
schaftsmathematik im Grundstudium einschlieBlich der Finanz
mathematik ab. Es legt damit die mathematischen Grundlagen,
die im weiteren Verlauf des Studiums benotigt werden.
Die mathematischen Verfahren werden mit ihren Anwendungsmog
lichkeiten in der betrieblichen Praxis dargestellt. Dabei wird
bewuBt weitestmoglich auf eine mathematisch-wissenschaftliche
Fachsprache verzichtet. Nicht die mathematische Eleganz steht
im Vordergrund, sondern die praktische Umsetzung der Ver
fahren. Mathematische Beweise und Herleitungen sind an den
Stellen enthalten, an denen sie zum Verstandnis des Stoffes
beitragen.
Das Buch hat das Ziel, dem Leser durch diese pragmatische Dar
stellungsweise die Anwendungsmoglichkeiten der Mathematik
nahezubringen. Ubersichtlich strukturierte Schemata geben da
bei eine Hilfestellung.
Aus diesem Grund wird ein besonderer Wert darauf ge legt, in
jedem Kapitel den Stoff anhand von Beispielaufgaben, die aus
dem Bereich der Wirtschaft stammen, zu erlautern und zu ver
tiefen.
Weitere Aufgaben mit Musterlosungen machen es moglich, den
Stoff selbst zu erarbeiten. Sie konnen zur Selbstkontrolle und
zur Prlifungsvorbereitung genutzt werden.
Herrn Dr. Bernhard Enge I vom ZDF danken wir flir seine Hi lfe
bei der Erstellung der zahlreichen Abbildungen in diesem Buch.
Flir die jetzt vorliegende zweite Auflage wurden einige Fehler
berichtigt, die sich in den Text eingeschlichen hatten.
Erganzend haben wir eine Fallstudie in das Buch aufgenommen,
die den behandelten Stoff anhand einer betriebswirtschaft
lichen Unternehmenssituation wiederholt. Die Fallstudie zeigt
die Verbindung zwischen der Wirtschaftsmathematik und der Be
triebswirtschaftslehre auf und wird durch eine ausflihrliche
Losung im Anhang vervollsUindigt. Flir die Hi lfe bei der Er
stellung dieser Fallstudie dank en wir Frau Brigitte Seifried,
Studentin an der Fachhochschule Mainz.
Doris und Heinrich Holland
5
Inhalts~erze~chn~e
Seite
1 Mathematische Grundlagen 11
1.1 Zahlbegriffe 11
1.2 Potenzen 12
1.3 Wurzeln 14
1.4 Logarithmen 16
1.5 Exponentialgleichungen 17
1.6 Summenzeichen 17
2 Funktionen mit einer unabhangigen Variablen 22
2.1 Funktionsbegriff 22
2.2 Darstellungsformen 24
2.3 Umkehrfunktionen 26
2.4 Lineare Funktionen 28
2.5 okonomische lineare Funktionen 32
2.6 Nichtlineare Funktionen und
ihre okonomische Anwendung 44
2.6.1 Problemstellung 44
2.6.2 Parabeln 44
2.6.3 Hyperbeln 48
2.6.4 Wurzelfunktionen 50
2.6.5 Exponentialfunktionen 51
2.6.6 Logarithmusfunktionen 53
3 Funktionen mit mehreren unabhangigen Variablen 54
3.1 Begriff 54
3.2 Analytische Darstellung 54
3.3 Tabellarische Darstellung 55
3.4 Graphische Darstellung 56
3.4.1 Grundlagen 56
3.4.2 Lineare Funktionen mit zwei
unabhangigen Variablen 57
3.4.3 Nichtlineare Funktionen mit
zwei unabhangigen Variablen 60
3.5 okonomische Anwendung 64
4 Eigenschaften von Funktionen 70
4.1 Nullstellen, Extrema, Steigung,
Krtimmung, Symmetrie 70
4.2 Grenzwerte 76
4.3 Stetigkeit 80
7
Seite
5 Differentialrechnung bei Funktionen mit einer
unabhangigen Variablen 86
5.1 Problemstellung 86
5.2 Die Steigung von Funktionen und der
Differentialquotient 86
5.3 Differenzierungsregeln 90
5.3.1 Ableitung elementarer Funktionen 90
5.3.2 Differentiation verknUpfter Funktionen 91
5.3.3 Hohere Ableitungen 96
5.4 Anwendungen der Differentialrechnung 97
5.4.1 Extrema 97
5.4.2 Steigung einer Funktion 102
5.4.3 KrUmmung einer Funktion 103
5.4.4 Wendepunkte 104
5.5 Kurvendiskussion 105
5.6 Newtonsches Naherungsverfahren 108
5.7 Wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen
der Differentialrechnung 112
5.7.1 Bedeutung der Differentialrechnung fUr
die Wirtschaftswissenschaften 112
5.7.2 Differentiation wichtiger
wirtschaftlicher Funktionen 113
5.7.2.1 Kostenfunktion 113
5.7.2.2 Umsatzfunktion 115
5.7.2.3 Gewinnfunktion 116
5.7.2.4 Gewinnmaximierung 117
5.7.2.5 Optimale Bestellmenge 122
5.7.2.6 Elastizitaten 125
6 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren
unabhangigen Variablen 130
6.1 Partielle erste Ableitung 130
6.2 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung 133
6.3 Extremwertbestimmung 134
6.4 Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen 136
6.4.1 Problemstellung 136
6.4.2 Variablensubstitution 138
6.4.3 Multiplikatorregel nach Lagrange 139
7 Grundlagen der Integralrechnung 143
7.1 Das unbestimmte Integral 143
7.2 Das bestimmte Integral 145
7.3 Wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen 149
8
Seite
8 Matrizenrechnung 153
8.1 Bedeutung der Matrizenrechnung 153
8.2 Der Begriff der Matrix 153
8.3 Spezielle Matrizen 155
8.4 Matrizenoperationen 157
8.4.1 Gleichheit von Matrizen 157
8.4.2 Transponierte von Matrizen 157
8.4.3 Addition von Matrizen 157
8.4.4 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 159
8.4.5 Skalarprodukt von Vektoren 159
8.4.6 Multiplikation von Matrizen 161
8.4.7 Inverse einer Matrix 166
8.5 Lineare Gleichungss¥steme 170
8.5.1 Problemstellung und okonomische Bedeutung 170
8.5.2 Lineare Gleichungss¥steme in
Matrizenschreibweise 171
8.5.3 Lineare Abhangigkeit von Vektoren 173
8.5.4 Rang einer Matrix 174
8.5.5 Losung linearer Gleichungss¥steme 175
8.5.6 Losbarkeit eines linearen Gleichungss¥stems 180
8.5.7 Innerbetriebliche Leistungsverrechnung 183
9 Lineare Optimierung 186
9.1 Ungleichungen 186
9.2 Graphische Methode der Linearen Optimierung 189
9.3 Simplex-Methode 198
10 Finanzmathematik 206
10.1 Grundlagen der Finanzmathematik 206
10.1.1 Folgen 206
10.1.2 Reihen 211
10.1.3 Grenzwerte von Folgen 216
10.1.4 Grenzwerte von Reihen 218
10.2 Finanzmathematische Verfahren 220
10.2.1 Abschreibungen 220
10.2.2 Zinsrechnung 226
10.2.2.1 Begriffe der Zinsrechnung 226
10.2.2.2 Einfache Verzinsung 226
10.2.2.3 Zinseszinsrechnung 227
10.2.2.4 Unterjahrige Verzinsung 229
10.2.2.5 Stetige Verzinsung 232
10.2.3 Rentenrechnung 234
10.2.4 Tilgungsrechnung 238
10.2.5 Investitionsrechnung 240
9
Seite
11 Kombinatorik 246
11.1 Grundlagen 246
11.2 Permutation 248
11.3 Kombination 249
12 Fallstudie 261
Losungen der Ubungsaufgaben 269
Losungen zur Fallstudie 297
Stichwortverzeichnis 305
10
1 Mathe~at~eche Grundlagen
1.1 ZahlbeSJ'r~ffe
Die wichtigsten Zahlbegriffe. deren Kenntnis zurn Verstandnis
der mathematischen Methoden notwendig ist. sind im folgenden
in einem Uberblick zusammengestellt:
NatUrliche Zahlen
~
Die Natlirlichen Zahlen sind die Zahlen. mit deren Hilfe belie
bige Objekte gezahlt werden: 1. 2. 3. 4. 5 ....
Sie lassen sich z.B. unterteilen in:
- gerade Zahlen. die ohne Rest durch 2 teilbar sind. 2.4 •...
oder allgemein 2n. wobei n eine beliebige NatUrliche Zahl
ist
- ungerade Zahlen. 1. 3. 5.
oder entsprechend 2n + 1
Z Ganze Zahlen
Wenn die Natlirlichen Zahiell urn die Zahl 0 und die Ganzen nega
tiven Zahlen erweitert werden. erhalt man die Menge der Ganzen
Zahlen:
...• -3. -2. -1. O. 1. 2. 3 •. ,.
Auch die Ganzen Zahlen lassen sich in gerade und ungerade Zah
len aufteilen. wobei allerdings die Einordnung der 0 Probleme
bereitet.
G Rationale Zahlen
Die Rationalen Zahlen urnfassen die Ganzen Zahlen und zusatz
lich solche Zahlen. die sich als Quotient zweier Ganzer Zahlen
ausdrlicken lassen: p/q wobei q ungleich 0 sein mua. da die Di
vision durch 0 nicht definiert ist.
Jede Rationale Zahl kann auch als Dezimalzahl geschrieben wer
den. die entweder endlich (z.B. 5/16 0.3125) oder unendlich
e
aber dann periodisch ist (z.B. 1/3 - 0.3333333 ... = 0.3 oder
2/7 - 0.285714285714285714 ... = 0.285714).
Die Ganzen Zahlen sind in der Menge der Rationalen Zahlen ent
halten. denn. auch sie lassen sich als Bruch schreiben (z.B.
6/3 = 2 oder 32/8 - 4)
Reelle Zahlen
~
Auch bei den Reellen Zahlen setzt sich der hierarchische Auf
bau des Zahlensystems fort. denn auch sie beinhalten wieder
als Tei lmenge die zuvor genannten Rationalen Zahlen. Zusatz
lich treten hier die Irrationalen Zahlen hinzu. die sich nicht
als Quotient zweier Ganzer Zahlen darstellen lassen. Wenn man
Irrationale Zahlen als Dezimalzahl ausdrUckt. erhalt man eine
unendliche und nicht periodische Zahl z.B. ~2 - 1.41421356 ...
11