Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Intuitiv und praxisnah

569 Pages·2017·10.397 MB·German

by  Bertil Haack, Ulrike Tippe, Michael Stobernack, Tilo Wendler (auth.)

Bertil Haack · Ulrike Tippe
Michael Stobernack · Tilo Wendler
Mathematik für
Wirtschafts-
wissenschaftler
Intuitiv und praxisnah
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
(cid:2) (cid:2)
Bertil Haack Ulrike Tippe
(cid:2)
Michael Stobernack Tilo Wendler
Mathematik für
Wirtschaftswissenschaftler
Intuitiv und praxisnah
BertilHaack MichaelStobernack
Wildau,Deutschland Brandenburg,Deutschland
UlrikeTippe TiloWendler
Wildau,Deutschland Berlin,Deutschland
ISBN978-3-642-55174-1 ISBN978-3-642-55175-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-55175-8
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Einleitung
Bestimmtkennen Sie eine Person in Ihrem Umfeld, die anlässlich der Fußball-Europameisterschaft
2016inFrankreichPanini-Bildergesammeltunddamitversuchthat,ihrFußballalbummitdenFotos
derNationalspielerzufüllen:
„Millionen von Menschen sind weltweit im Panini-Fieber, das kurz vor der Fußball-WM in Brasi-
lien noch mal stark ansteigt. Es ist quasi eine Tradition, dass bei großen Turnieren Bilder von den
jeweiligenMannschaftengesammeltwerden.
SeitderWM1970inMexikoproduziertdasitalienischeUnternehmenPaniniFußballalbenundAb-
ziehbildchenmitdemKonterfeiderNationalspieler.ErwachsenesammelnebensowieKinder.Inmehr
als 100 Ländern vertreibt Paniniseinekleinen Tütchen. In diesem Jahrgibtes hierzulande640Sti-
cker zum Sammeln.“ (http://www.welt.de/wirtschaft/article128718984/Forscher-entschluesseln-die-
geheime-Panini-Formel.html;Zugriff:06.07.2014)
BestimmtkennenSiedannauchdiedurchaushäufigergeäußerteVermutung,dassdieBildereiniger
Superstarsbesondersseltensind,dassPaniniseinGeschäftdamitverbessert,ausgewählteAbziehbild-
chen bewusst zu verknappen. „Aber stimmt das wirklich? Gibt es gar eine geplante Verknappung?
Paninisagt,dassdieStickeringleichenMengenproduziertundzufälligaufdiePäckchenverteiltwer-
den.“(http://www.welt.de/wirtschaft/article128718984/Forscher-entschluesseln-die-geheime-Panini-
Formel.html;Zugriff:06.07.2014)
WiekanndieseVermutungbewiesenoderwiderlegtwerden?
Sieahnenesbereits:MathematikistimSpiel.
Tatsächlich haben sich zwei Mathematiker der Universität Genf der Vermutung angenommen
und mit Hilfsmitteln der Statistik nachgewiesen, dass Panini nicht trickst. So sind im Mit-
tel 931 Tütchen mit je fünf Bildern erforderlich um das Schweizer Panini-Album mit seinem
Platz für 660 Sticker zu füllen – vorausgesetzt, die Lieferungen von Panini enthalten kei-
ne doppelten Bilder. (http://www.welt.de/wirtschaft/article128718984/Forscher-entschluesseln-die-
geheime-Panini-Formel.html;Zugriff:06.07.2014)
Bei60CentjeTütchenistdaseinteurerSpaß:„Fürdieersten550BilderbenötigtderSammler233
Päckchen,fürdienächsten90[beziehungsweise]17beziehungsweisedreiBilderjeweils233weitere
Päckchen. Die letzten drei fehlenden Sticker sind somit die teuersten – sie kosten rein rechnerisch
160 Euro. Durchschnittlich müsste der Sammler also insgesamt 558,60 Euro ausgeben. [...] Öko-
nomensprechen[...]vomSammelbilderproblem.“(http://www.welt.de/wirtschaft/article128718984/
Forscher-entschluesseln-die-geheime-Panini-Formel.html;Zugriff:06.07.2014)
DiesesBeispieldeutetaufeinPhänomeninderheutigenWelthin:DieMathematikistüberall.
FraglosspieltdieMathematiketwaimBereichderTechnikunddortbeispielsweisebeiderKonstruk-
tionvonMaschinenoderBrückeneinewichtigeRolle.
NaheliegendscheintdasauchinanderenFachgebietenwiez.B.derUltraschalltechnikoderderCom-
putertomografiezusein,dienurdankmathematischerInstrumentebrillanteAufnahmenvonKindern
imMutterleibodervonEntzündungsherdeninKnochengelenkenliefern.
OffenbarkannsichdieMathematikaberauchbeiökonomischenFragestellungenwiederPanini-Ver-
mutungalssehrnützlicherweisen!Siehilftdabeinichtnur,wirtschaftswissenschaftlicheAufgabenzu
analysieren,sondernauch,Lösungenfürsiezuentwickeln.SohabendiebeidenSchweizerMathemati-
keraufgrundihrerobenskizziertenErgebnisse„sogareineStrategieentwickelt,wiemanameffektivs-
teneinevollständigeSerievon660Bildernerhält.“(http://www.welt.de/wirtschaft/article128718984/
V
VI Einleitung
Forscher-entschluesseln-die-geheime-Panini-Formel.html; Zugriff: 06.07.2014) Konkret empfehlen
Sie,dieBilderteilweisezukaufenundteilweisemitneunanderenSammlernzutauschen.Wirddas
vorgegebene Rezept eingehalten, muss der Sammler nur noch maximal 125 Euro ausgeben, um zu
einemkomplettenPanini-Albumzukommen!
EslohntsichalsoauchundgeradeimBereichderWirtschaftswissenschaften,mathematischeBegriffe,
MethodenundVerfahrenzukennenundmitdiesensosicherwiemöglichumgehenzukönnen.Dabei
kommtesnichtaufdiereinmathematischeSichtaufdieDingean!Wichtigiststattdesseneinerseits,
einewirtschaftswissenschaftlicheFragestellungineinmathematisches„Bild“umsetzenundmitden
MittelnderMathematikbearbeitenzukönnen,umdasgewonneneErgebnisdannandererseitswieder
indenursprünglichenökonomischenKontextzurücktransformierenunddortzueinerAntwortaufdie
eigentlichewirtschaftswissenschaftlicheFragestellungkommenzukönnen.
DiesesVorgehenverlangteinenintuitivenundpraxisnahenUmgangmitderMathematik.Esbeschreibt
gleichermaßendasHauptanliegendesvorliegendenBuchessowiediedahergewählteArtderDarstel-
lungderMathematik.
EbensowiemitdemPanini-BeispielgehenwiraufjedenderfürSiealsStudierendederWirtschafts-
und „artverwandter“ Wissenschaften wie etwa der Soziologie relevanten Bereiche der Mathematik
anhand von Beispielen aus der Praxis zu. Wir zeigen Ihnen, wie Sie wirtschaftswissenschaftliche
Fragestellungenmathematischmodellieren,mitmathematischerArgumentationlösenundmitdenge-
fundenenErgebnissenbeantwortenkönnen.DazumachenwirSiezunächstmiteinemGrundschema
zumModellierenökonomischerThemenstellungenundzumUmgangmitdengefundenenmathemati-
schenModellenvertraut,umunsdannaufdieBereichederMathematikzukonzentrieren,dieinIhren
Studiengängenrelevantbzw.alsmathematischeBasishierfürwichtigsind.Konkretbehandelnwirdie
Themenkomplexe
ReelleZahlen
Gleichungen
Funktionen
DifferenzialrechnungeinerVariablen
Integralrechnung
DifferenzialrechnungmehrererVariablen
LineareAlgebra
Finanzmathematik
DeskriptiveStatistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
SchließendeStatistik
Dabei gehen wir ausdrücklich davon aus, dass Ihr Weg zum Studium nicht über ein Abitur geführt
habenmuss,sondernwirhabenunsereDarstellungbewusstsogewählt,dassSiedieMathematikauch
dannverstehenkönnen,wennSie beispielsweisedenmittleren Schulabschluss,eineabgeschlossene
LehreundmehrereJahreBerufserfahrunghaben.Wirgehenbewusstauchsovor,dassSieeinenWeg
zurMathematikfindenkönnen,wennSieschonlängereZeitvonderSchulbankwegundberufstätig
warenodersindundbeispielsweiseberufsbegleitendstudieren!Schließlichsindwirdavonüberzeugt,
dassSieunserBuchanjederHochschulart–FachhochschuleoderUniversität–mitGewinnnutzen
können.
Für den Fall, dass Ihnen die aufgezählten Bereiche der Mathematik „wenig sagen“, haben wir jede
KapitelüberschriftmiteinerpassendenFrageergänzt,dieIhnenhelfensoll,daszuIhrereigentlichen
AufgabenstellungpassendeKapitelmöglichstleichtzufinden.SoheißtdasKapitel„Gleichungsleh-
re“ eben nicht einfach „Gleichungslehre“, sondern„Gleichungslehre – Wie wir unbekannteGrößen
berechnenkönnen“.
DiesefürklassischeMathematikbüchereherungewöhnlichenÜberschriftensollenIhnendieGrobna-
vigationhinzudenfürSiemöglicherweisespannendenKapitelnunseresBucheserleichtern.Einmal
ineinemKapitelangekommen,gehtesdannumdieFeinnavigationindiesemKapitel.Dabeistellen
sichimmerwiederdreiFragen:
WorumgehtesindiesemKapiteleigentlich?
WaskannichamEndedesKapitels?
MussichdasKapitelüberhauptdurcharbeiten?
Einleitung VII
UmhieraufAntwortenfindenzukönnen,verdeutlichenwirdeninhaltlichenKernjedesKapitelsmit
einem passendenökonomischenBeispiel aus der Praxis. Wirbeschreiben dann die Ziele des jewei-
ligen Kapitels, indemwir darlegen, überwelche Kenntnisse,Fertigkeiten und KompetenzenSie am
EndedesjeweiligenKapitelsverfügenkönnensollten.Natürlichkannessein,dassSiediesebereits
vor der Befassung mit dem Kapitel haben. Um dies prüfen zu können, legen wir Ihnen am Beginn
jedes Kapitels Aufgabenvor. Können Sie diese lösen,haben Sie guteGründe, das Kapitel zu über-
springen. Falls Ihnen die Aufgaben Schwierigkeiten bereiten oder unklar sind, empfehlen wir, das
entsprechendeKapiteldurchzuarbeiten.AufIhremWegdurchdasKapitelwerdenIhnendieAufga-
benvomKapitelbeginnnacheinanderbegegnen.WirhabensiealsBeispieleindenTextaufgenommen
undanpassenderStelleausführlichgelöst.SiekönnendieseLösungendazunutzen,IhreaktuelleEx-
pertiseimThemengebietzuprüfen.SiekönnensieaberauchalsMusterlösungenverwendenundsie
ganzoderteilweiseaufandere,mehroderwenigerverwandteFragestellungenübertragen.
Anders als klassischeMathematikbüchernähernwir unsjedem Themaimmerausdrücklichvonder
praktischen ökonomischen Fragestellung und versuchen, diese in einer Art gedachten Dialogs mit
Ihnen gemeinsam zu bearbeiten. Wenn Sie uns auf diesem Weg folgen, kommen wir zusammen zu
wichtigen Begriffen, Formeln oder anderen mathematischen Gesetzmäßigkeiten. Diese heben wir
durchdenHinweis„Merksatz“hervor.DamitandereErkenntnisse,diefürdendirektenGedankengang
nichtsobedeutend,insgesamtaberdochinteressantseinkönnen,nichtverlorengehen,kennzeichnen
wirdieseals„Gutzuwissen“.GrößereAbschnittedesBuchesendenimmermiteiner„Zusammenfas-
sung“,dieIhneneffektivesundeffizientesNachschlagenermöglichensollen.
AmEndejedesKapitelsbestehtdieMöglichkeit,dasGelerntezurekapitulieren.WirlegenIhnendazu
einekomplexeAufgabeausdemjeweiligenThemengebietvor,dieSiemitdenzuvorbereitgestellten
mathematischenMittelnbearbeitenundlösenkönnensollten.
Wirhabenunsweiterhinganzbewusstdafürentschieden,gänzlichohnemathematischeBeweiseaus-
zukommen.Stattdessenhabenwirangestrebt,anhandvonaussagefähigenBeispielendieMathematik
„intuitiv“ erfassbar zu machen und auf das praktische Anwenden und Üben zu fokussieren. In den
KapitelnüberWahrscheinlichkeitsrechnungundStatistikwirdbeiderBearbeitungvonökonomischen
ProblemenzusätzlichaufdieweitverbreiteteStatistiksoftwareSPSSzurückgegriffen.
Aus dem eigenen Studium sowie durch unsere Arbeit als Hochschullehrer haben wir die Erfahrung
gewonnen,dassdieMathematikbeiallen Versuchen,siesopraxisnahundintuitivwiemöglichdar-
zustellenundfür dieAnwendungaufökonomischeThemenstellungenaufzuschließen,durchausein
hohes Maß an Frustpotenzial in sich birgt. Das kann sich im Laufe jedes Kapitels aber insbeson-
dereauchbeider„Komplexaufgabe“amEndejedes Kapitelszeigen.Um etwaigenEnttäuschungen
vorzubeugen, versuchen wir, Sie innerhalb der Textteile unseres Buches im oben bereits erwähnten
gedachten Dialog gedanklichmitzunehmen und Ihnen dabei Ansätze und speziell auch Rezepte für
mathematischesDenkenundHandelnnahezubringen,diesiedannauchbeianderenFragestellungen
ausprobierenkönnen.
In diesem Sinne bemühen wir uns, Ihnen aufzuzeigen, dass die Mathematik nur für die wenigsten
KoryphäenvomTyp„Aufgabegesehen–Lösunggeschrieben“ist.DerNormalfallbestehtdarin,dass
mansichaneinerAufgabeähnlichwieeinStabhochspringeran einerbestimmtenHöheimmerund
immer wieder versuchen muss. Ähnlich wie dieser benötigen wir Training und Übung, um relativ
zuverlässig und sicher mit den mathematischen Hilfsmitteln zur Bearbeitung ökonomischer Frage-
stellungenumgehenzukönnen–und:wirbenötigenFeedback,obwiraufdemrichtigenWegsind.
EntsprechendfindenSiefürjedekomplexeAufgabeam KapitelendeeinenLösungsvorschlagsowie
weitereÜbungsaufgabenmitLösungen.MitBlickaufdenStabhochspringerempfehlenwirIhnen,die
Aufgabenselbstzu lösenzu versuchen undunserenLösungsvorschlagerst beigrößeren Schwierig-
keitenalsHilfestellungodernachderLösungalsVergleich(Feedback)zunutzen.
Weiterhin ist uns bewusst, dass die hier behandelte Mathematik umfangreich, aber sicher nicht
vollständig ist. Wir haben die Inhalte des Buches so gewählt, wie sie in einem großen Teil wirt-
schaftswissenschaftlicher und artverwandter Studiengänge von Bedeutung sind. Dabei konnten wir
unsu.a.auchaufunsereUnterrichtsmaterialienstützen,diesichimVerlaufemehrererStudierenden-
generationenals „kampferprobt“erwiesen haben.WermehrDetailswissenmöchte,demempfehlen
wir,weitereMathematikbücherzuRatezuziehen.EinigeguteWerkehabenwirIhnenamjeweiligen
Kapitelende genanntund hoffen in diesen Fällen, dass wir Ihnen mit unserem Buch zumindestden
WegzumVerständnisfürdieMathematikebnenkönnenbzw.konnten.
VIII Einleitung
Natürlichgehenwirnichtdavonaus,dassdasvorliegendeBuchfehlerfreiist.Hierfürübernehmenwir
dieVerantwortung.SolltenSieFehleroderUnklarheitenentdeckthaben,scheuenSiesichbittenicht,
[e-mail],wennaus
demgedachtenaucheinrealerDialogwird.
Selbstdann,wennman„vomFach“ist,schreibtsichein Buchwiedasvorliegendenichtvonallein
undkommtauchnichtvonalleinindervorliegendenFormindierealenundvirtuellenVerkaufsräume
undBibliotheken.IndiesemSinndankenwirunserenFamiliensowieHerrnHeineundFrauMechler
(beideSpringerVerlag)fürdieguteZusammenarbeitundfürIhrVerständnis,dasseinBuchZeit–in
derRegelFreizeit–kostet.
Lastbutnotleast:AufgrundderbesserenLesbarkeithabenwirunsbeiderAbfassungderTextefür
diemännlicheFormentschiedenundbeziehendieweiblicheFormdamitgleichermaßenein.
Berlin,imApril2016
BertilHaack,MichaelStobernack,UlrikeTippe,TiloWendler
P.S.AndieserStelleistesmireinpersönlichesBedürfnis,michposthumbeimeinemVater,Prof.Dr.
JürgenTippe,vonHerzenzubedanken.SeineBegeisterungfürdieMathematikundseineFähigkeit,
komplizierte Zusammenhänge „einfach“ darzustellen, waren und sind für mich nach wie vor stets
VorbildundAnspornzugleich.VieleseinerIdeenausseinemmathematischenNachlasshabenmich
beiderArbeitandiesemBuchinspiriertundsonachhaltigeSpurenineinigenKapitelnhinterlassen.
Berlin,imApril2016
UlrikeTippe
Hilfsmittel zur Lösung der Aufgaben
Lösungen und Zusatzmaterial
DasvorliegendeBuchbeinhalteteineVielzahlvonAufgaben.DerenLösungsolldabeiunterstützen,
mathematischeFähigkeitenundFertigkeiten zuerwerben bzw.wiederaufzufrischen. Umden Lern-
prozess so effizient wie möglichzu gestalten, wurde jedes Kapitel in einen Übungs-sowie in einen
Lösungsteiluntergliedert.DieLösungensindinderRegeläußerstdetailliertausgeführt,umeineNach-
vollziehbarkeitfürjedenLeserzugewährleisten.
ZusätzlichmöchtenwirzueinigenAufgabeneineLösungsdateianbieten.Eswerden dazuverschie-
dene,aberallgemeingängigeDateiformategenutzt.DiefolgendeTabellezeigtdieMöglichkeitender
Lösungsunterstützungauf:
LösungenimBuch DieLösungenallerAufgabensindamEndejedesKapitelszufinden.
LösungenimPDF-Format EinigeÜbungenwurdenauchmitdemTabellenkalkulationsprogrammMicrosoftExcel
2013,demComputer-Algebra-SystemMAPLEsowiedemStatistikprogrammSPSS
StatisticsVersion22gelöst.DiePDF-DateienzeigendieseLösungen,sodasssieohne
unüblicheZusatzsoftwaregelesenwerdenkönnen.
MICROSOFTEXCEL- Woimmermöglich,wurdendieLösungenauchimExcel-Formatbereitgestellt.Dies
Lösungen ermöglichtdieeinfacheNachvollziehbarkeit.AuchfindenSieinteressanteAnsätzezur
BewältigungmathematischerProblememitderTabellenkalkulationausdemHause
MICROSOFT.
MAPLE-Lösungen DieseDateienbeinhaltendieLösungenderAufgabenzurNutzunginMAPLE.
SPSSDatendateien ImKap.10werdendieunivariatesowiediebivariateStatistikbehandelt.DieDatensätze
derhierdiskutierenBeispielewerdenalsSPSS-DateiimSAV-Formatbereitgestellt.
Der Download der Dateien erfolgt über http://www.wiwistat.de/springer. Gern stehen Ihnen die
[email protected]ürDiskussionen,RückfragenundAnmerkungenzurVer-
fügung.
Die Dateien werden als ZIP-Archiv zur Verfügung gestellt. Bitte benutzen Sie zum Download das
Passwort“mathespringer2014“.
IX
Inhaltsverzeichnis
1 ModellierenundArgumentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Beispiel: Kauf einer Papierschneidemaschine – Wie wir uns für die
richtigeMaschineentscheidenkönnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Analyse:WiewirdasBeispielgelösthaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Verallgemeinerung:Wiewirwirtschaftswissenschaftliche
Fragestellungengrundsätzlichlösenkönnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Leitplanken auf einer kurvigen Straße: Wie wir uns das Modellieren
undArgumentierenerleichternkönnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Modellieren–aberrichtig!Wiewirzueinempassendenmathematischen
Modellkommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Heurismen für Arbeitsschritt 4 – Wie wir die richtigen Werkzeuge
fürunsereAufgabenstellungentdeckenkönnen . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Empfehlungen für die Arbeitsschritte 5–7: Wie wir unsere Lösung
erklärenkönnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 RechnenmitreellenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 WelchesinddielogischenGrundlageninderMathematik? . . . . . . . . . 34
2.2 WassindMengenimmathematischenSinne? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 MitwelchenZahlenhabenwirzutun?(AufbaudesZahlensystems). . . . 41
2.4 Wierechnen wir mit (allgemeinen) reellenZahlen und worauf müssen
wirdabeibesondersachten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 NochmehrüberreelleZahlen:PotenzenundWurzeln. . . . . . . . . . . . . 50
2.6 ... undnocheinneuerBegriff:derLogarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7 WeiterenützlicheDingezumEinstiegindieMathematik–
oderwaswirschonimmereinmalwissenwollten . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Gleichungslehre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1 Allgemeine Gleichungslehre – Was Gleichungen sind und wie wir
grundsätzlichmitihnenumgehenkönnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten – Wie wir Gleichungen
lösenkönnen,indenendieUnbekannte„einfach“vorkommt . . . . . . . 71
3.3 Quadratische Gleichungen – Wie wir Gleichungen lösen können,
indenendieUnbekanntequadratischvorkommt . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Gleichungen höheren als zweiten Grades – Wie wir mit Gleichungen
umgehen können, in denen die Unbekannte in einer höheren als der
erstenoderzweitenPotenzvorkommt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
XI