Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: I Lineare Algebra PDF
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Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler I Lineare Algebra Von T. Gal, H.-J. Kruse, B. Vogeler, H.Wolf Dritte, verbesserte Aufiage Mit 59 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Professor Dr. Dr. Tomas Gal Dr. Hermann-Josef Kruse Dipl.-Math. Bernhard Vogeler Dr. Hartmut Wolf Fachbereich Wirtschaftswissenschaft Fernuniversitiit Gesamthochschule Postfach 9 40 D-5800 Hagen ISBN-13: 978-3-540-53735-9 e-ISBN-13: 978-3-642-76469-1 DOl: 10.1 007/978-3-642-76469-1 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Uber setzung, des Nachdruckes, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendun gen, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenver arbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfliltigung dieses Werkes odervon Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Be stimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland yom 9. September 1965 in der Fassung yom 24. Juni 1985 zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterlie gen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1983, 1987, 1991 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk be rechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen im Sinne der Wa renzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher vonjederrnann be nutzt werden diirften. 214217130-543210 Vorwort Das vorliegende Buch iiber Mathematik fUr Wirtschaftswissenschaftler basiert auf langjahrigen Erfahrungen mit einem gleichnamigen Kurs der Fernuniversitat Hagen, der seit dem WS 1975 am Fachbereich Wirt schaftswissenschaft eingesetzt worden ist. Eine erste Kurs-Version (1975 -1980) wurde aufgrund von Diskussionen mit Studenten der Wirt schaftswissenschaften und den Mentoren an den Studienzentren iiberar beitet und didaktisch neu gestaltet. Sie wurde hinsichtlich ihres Inhaltes - gestiitzt auf Gesprache mit den Professoren des Fachbereiches Wirt schaftswissenschaft - den Anforderungen nahezu aller wirtschaftswis senschaftlichen Studienfacher angepaBt. Das vorliegende Buch stellt eine Uberarbeitung dieser zweiten Kurs-Version (1980-1983) dar. Wir zitie ren aus der Einleitung zu diesem Kurs: "Der Hauptgrund fUr die Erstel lung eines neuen Kurses ist - wie im menschlichen Leben - die Entwick lung und die Sammlung neuer Erfahrungen. Der Fachbereich Wirt schaftswissenschaft hat sich in den lahren seit Griindung der Fernuni versitat entwickelt und stabilisiert, und es wurden Erfahrungen mit den wirtschaftswissenschaftlichen Kursen gesammelt. Dabei steHte sich her aus, daB einer der Grundpfeiler der Wirtschaftswissenschaften, namlich die Mathematik fUr Wirtschaftswissenschaftler, in der Gewichtung seiner Inhalte nicht optimal den Erfordernissen der Kurse im wirtschaftswissen schaftlichen Studium an der Fernuniversitat entsprach. Urn den Stu denten beim Studium der Kurse insbesondere des Hauptstudiums even tuelle Schwierigkeiten zu ersparen, die zum Teil nur aus mangelnder Kenntnis bestimmter Teile der Mathematik entstehen, haben sich 1978 aile Professoren des Fachbereichs Wirtschaftswlssenschaft zusammen gesetzt und erortert, welche Teile der Mathematik fUr die einzelnen Kur se benotigt werden, welche Teile mehr und welche weniger betont wer den sollen." Die didaktische Neugestaltung besteht darin, daB jedes Kapitel (bis auf Kap. 6, Abschnitt 7.1 und Kap. II) zweigeteilt ist. 1m ersten Teil ist der behandelte Stoff anschaulich dargestellt, im zweiten Teil dann formal aufgebaut. Wir haben in einer Einleitung zu diesem Buch, in der auch ei nige technische Fragen erlautert werden, diese Zweiteilung eingehender beschrieben und begriindet (vgl. Abschnitt 0.2.1). Das vorliegende Buch besteht aus 3 Banden. Band 1 beinhaltet Line are Algebra, Band 2 Analysis und Band 3 Lineare Optimierung. Es muB natiirlich gleich hier gesagt werden, daB in diesem Buch - wie auch in anderen Lehrbiichern der Wirtschaftsmathematik - nur ausgewahlte Tei Ie der jeweiligen Gebiete behandelt werden konnen. Details sind in der Einleitung, Abschnitt 0.2.2, zu finden. Es gibt viele Griinde, weshalb man sich ein Mathematik-Buch kauft und es liest (besser gesagt - studiert). Das vorliegende Buch diirfte iiber all dort Interessenten tinden, wo im Zeitalter der EDV immer neue tech nisch-wissenschaftliche Errungenschaften zwangslaufig die Nachfrage nach mathematischen Kenntnissen auslosen. Insbesondere gilt dies fUr das Studium der Wirtschaftswissenschaften (oder eines anderen Faches), das ohne Mathematik einfach undenkbar ist. VI Vorworl Dieses Buch baut auf gymnasialem OberstufenstotT auf. FUr die Le ser, die einen groBeren (zeitlichen) Abstand von der Schule haben oder sogar nie in den GenuB einer entsprechenden Ausbildung kamen, berei ten einige der Autoren dieses Buches unter dem Arbeitstitel "BrUcken kurs" ein weiteres Buch im gleichen Verlag vor. Dieser "BrUckenkurs" beinhaltet aile diejenigen grundlegenden Teile der Mathematik, deren Kenntnis zum VersHindnis der Inhalte des vorliegenden Buches notwen dig sind (vgl. Einleitung, Abschnitt 0.3). "Obung macht den Meister" gilt allgemein, also auch beim Studium der Mathematik. Daher bereitet ein anderer Teil der Autoren eine Auf gabensammlung vor, die auch demnachst im gleichen Verlag erscheinen wird. Die Aufgabensammlung beinhaltet zu jedem Kapitel des vorlie genden Buches eine Reihe von Obungsaufgaben mit Losungen. Die Mathematik kommt nicht ohne die Benutzung von verschiede nen Symbolen aus. Damit der Leser die im Laufe des Studiums eventuell vergessenen Sym bole schnell finden und inhaltlich wiederholen kann, ist jedem Band ein Symbolverzeichnis vorangestellt. Urn dem Leser darUber hinaus eine schnellere Orientierung zu ermoglichen, wenn er gewisse Be griffe sucht, ist jedem Band ein Sachverzeichnis beigefUgt. Es ist eine arigenehme Ptlicht der Autoren, all denen einen Dank aus zusprechen, die zur Entstehung dieses Buches ihren Teil beigetragen ha ben. FUr einen ersten Bearbeitungsvorschlag der einzelnen Kapitel dan ken wir Herrn Dr. G. Bleimann-Gather (Kap. 8), Herrn Dr. E. Ernst (Kap. 4), Frau Dr. U. Gather (Kap. 9), Herrn R. Hock (Kap. 10), Herrn Dr. P. Langkamp (Kap. 7) und Herrn Dr. N. Pyhel (Kap. II). Eine Reihe von Anregungen und Korrekturen verdanken wir Herrn D. Sippel. Ohne die detaillierte, grUndliche und sorgfaltige Kontrolle des Textes und der Gestaltung von Tabellen und Abbildungen durch Herrn G. Sossidis konnten sich die Autoren die Erstellung dieses Buches gar nicht vorstel len; daflir gehort Herrn Sossidis unser besonderer Dank. Ebenso moch ten wir uns bei Frau I. Krause flir das sorgfaltige Tippen der Manuskript Texte bedanken, wobei wir auch gerne erwahnen mochten, daB sie die Texte nach unseren Korrekturen und Verbesserungen wiederholt mit groBer Aufopferung getippt hat. Vorwort zur 2. Auflage Bei dieser Neuauflage handelt es sich urn einen nahezu unveranderten Nach druck der 1. Ausgabe. Wir haben lediglich uns bekanntgewordene Druck fehler korrigiert und bedanken uns auf diesem Wege bei den Lesern flir ihre Hinweise. Hagen, im Februar 1987 Die Autoren Vorwort zur 3. Auflage Auch bei dieser Neuauflage handelt es sich urn einen nahezu unveranderten Nachdruck der vorhergehenden Auflagen. Wir haben wieder einige, immer noch vorhandene Druckfehler korrigiert und bedanken uns auf diesem Wege bei den aufmerksamen Lesem flir ihre Hinweise. Hagen, im Januar 1991 Die Autoren Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichnis . . x Abkiirzungsverzeichnis XIII Einleitung . . . 1 0.1 Bedeutung der Mathematik flir Wirtschaftswissenschaftler . 1 0.2 Didaktische Aufbereitung und Inhaltsiibersicht 1 0.2.1 Didaktische Aufbereitung . . . 1 0.2.2 Inhaltsiibersicht. . . . . . . . 2 0.2.3 Gestaltung der einzelnen Kapitel 3 OJ Vorkenntnisse . . . . . . . . 3 1 Vektorrechnung.. 5 1.1 Grundbegriffe . . 5 1.1.1 Rechenoperationen 5 1.1.2 Geometrische Interpretationen von Vektoren 14 1.1.3 Betrag von Vektoren, Orthogonalitat und Projektionen 16 I Vektorrechnung............. 21 1-1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . 21 1.2 Linearkombinationen, lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit. . . . . . 28 1.2.1 Geometrische Interpretation . . . . . . 32 IJ Lineare Teilraume . . . . . . . . . . 38 1.4 Basis, Dimension und Basistransformation 42 1.4.1 Geometrische Interpretation . . . . . . 44 I Vektorrechnung (Fortsetzung) 47 1-2 Linearkombinationen, line are Abhangigkeit und Unabhangigkeit . . . . . . . . . . . . 47 1-3 Lineare Teilraume .. . . . . . . . . . 49 1-4 Basis, Dimension und Basistransformationen 53 2 Geometrie im Rn .... 59 2.1 Punktmengen des Rn 59 2.1.1 Punkte und Punktmengen 59 2.1.2 Beispie1e flir Punktmengen 63 2.2 Eigenschaften von Punk ten und Punktmengen 74 2.2.1 Eigenschaften von Punkten 74 2.2.2 Eigenschaften von Punktmengen 76 II Geometrie im Rn . . . . 81 II -1 Punktmengen des Rn . . 81 II -1.1 Punkte und Punktmengen 81 VIII Inhaltsverzeichnis 11-1.2 Beispiele fUr Punktmengen ........ 82 11-2 Eigenschaften von Punkten und Punktmengen 85 II-2.1 Eigenschaften von Punkten 85 II-2.2 Eigenschaften von Punktmengen . . . . . . 86 3 Matrizenrechnung....... 89 3.1 Elementare Matrizenoperationen 89 3.2 Die inverse Matrix 103 3.3 Der Rang einer Matrix .... 116 III Matrizenrechnung.... 121 111-1 Elementare Matrizenoperationen . 121 III-2 Die inverse Matrix 128 III-3 Der Rang einer Matrix . . . . . 132 3.4 Determinanten. . . . . . . . . . . 135 III Matrizenrechnung (Fortsetzung) . 142 III-4 Determinanten . . . . . . . . 142 4 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . 146 4.1 Geometrische Interpretation und Begriff eines linearen Gleichungssystems. . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.2 Die Eliminationsmethode . . . . . . . . . . . .•. 153 4.3 Zusammenhang mit der linearen Abhangigkeit von Vektoren und dem Rang einer Matrix 165 4.4 LOsbarkeitskriterien und die Inverse 168 4.5 Basislosung und Basistausch . . . 173 4.6 Aquivalente Transformationen . . 178 IV Lineare Gleichungssysteme 181 IV-l Begriffund Losbarkeit eines linearen Gleichungssystems . 181 IV-l.l Grundbegriffe . . . . . . . 181 IV-1.2 LOsbarkeit . . . . . . . . 182 IV-l.3 Homogene Gleichungssysteme 186 IV-2 Die Anwendung des Eliminationsverfahrens auf lineare Gleichungssysteme .... 187 IV-3 Cramersche Regel . . . . . . . . 190 4.7 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 192 4.8 Quadratische Formen . . . . . . . . . . 194 IV Lineare Gleichungssysteme (Fortsetzung) 197 IV-4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen . 197 IV-5 Quadratische Formen. . . . . . . . . . . 199 5 Lineare Ungleichungssysteme und konvexe Polyeder 201 5.1 Lineare Ungleichungssysteme. . . . . . . . . ... 201 5.1.1 LOsungsraume von linearen Ungleichungsystemen . . 201 5.1.2 Die kanonische Form eines linearen Ungleichungssystems . 205 5.2 Konvexe Polyeder. . . . . . . 208 5.2.1 Der Begriff der Ecke .... 208 5.2.2 Ecken von konvexen Polyedern 211 5.2.3 Ecken und Basislosungen 214 Inhaltsverzeichnis IX 5.3 Kegel und konvexe Polyederkegel . . . . . . . . .. 216 5.3.1 Kegel des Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 216 V Lineare Ungleichungssysteme und konvexe Polyeder. 222 V-I Lineare U ngleich ungssysteme. . . . . . . . .. 222 V-l.l Losungsraume von linearen Ungleichungssystemen 222 V- 1.2 Die kanonische Form eines linearen Ungleichungssystems 224 V-2 Konvexe Polyeder .. . . . 226 V- 2.1 Der Begriff der Ecke .... 226 V-2.2 Ecken von konvexen Polyedern 227 V-2.3 Ecken und Basislosungen 228 V-3 Kegel und konvexe Polyederkegel 229 V-3.1 Kegel des Rn . . . . . 229 V-3.2 Konvexe Polyederkegel . . . . 230 Losungen zu den Ubungsaufgaben 231 Algorithmen mit FluBdiagrammen 290 Li teraturverzeichnis 296 Sachverzeichnis . . . . . . . . 297 Symbolverzeichnis Mengenlehre/Logik x ~ y (bzw. x ~ y) x ist kleiner (bzw. groBer) oder gleich y x<y (bzw.x>*y ) x ist echt kleiner (bzw. echt groBer) y x = y (bzw. x y) x ist gleich (bzw. ungleich) y 7C ~ 3,14 7C ist ungefahr gleich 3,14 () Runde Klammern bei Vektoren, Punkten, Matrizen, offenen Intervallen und geord- net en Paaren [ ] Eckige Klammern bei abgeschlossenen Intervallen <> Spitze Klammern bei erzeugten Teilraumen { } Geschweifte Klammern bei Mengen N (bzw. No) Menge der natiirlichen Zahlen (bzw. einschlieBlich der Null) Menge der ganzen Zahlen Menge der rational en Zahlen Menge der reellen (bzw. positiven reellen) Zahlen Menge der komplexen Zahlen Menge der n-dimensionalen reellen Vektoren X E JI (bzw. x ¢ JI) x ist (bzw. ist nicht) Element von j/ {xix EJI} Die Menge aller x, fUr die x E JI gilt {x EJlI ... } Die Menge aller x aus j/, fUr die ... gilt o Leere Menge d ~ !?ll (bzw. d %, qjJ) .w"ist (bzw. ist keine) Teilmenge von.w de !?ll (bzw. d ct !?ll) dist (bzw. ist keine) echte Teilmenge von Yl du!?ll Vereinigungsmenge (oder: dvereinigt mit.o/J) dn!?ll Schnittmenge (oder: d geschnitten mit JiJ) d\!?ll Differenzmenge (oder: dohne .g(f) Cd Komplementarmenge (oder: Komplement) von d dx!?ll Kartesisches Prod ukt (oder: d kreuz .?iJ') (a, b) Geordnetes Paar p=>q Aus p folgt q (oder: Implikation) p<;::::!>q p gilt genau dann, wenn q gilt (oder: Aquivalenz) pl\q p und q (oder: Konjunktion) pVq p oder q oder beides (oder: Disjunktion) nicht p (oder: Negation) ~p j=l, ... ,n Der Indexj Jauft von 1 bis n Symbolverzeichnis XI n L Summe tiber} von k bis n ± j=k [z. B. aj =a3+a4+as] J=3 n II Produkt tiber j von k bis n j=k n IIj n! n-Fakultat, n! = j=1 Vektoren/Matrizen W X~(XI'" ~ X.)T Spaltenvektor x E Rn XT = (XI, •.. , Xn) Zeilenvektor; der transponierte Vektor x XlJ) ( Indizierter Spaltenvektor xi = ~nj X(i) --(XI'I , •.. , X nl. ) Indizierter Zeilenvektor Xi, Xij i-te Komponente des Vektors x bzw. xj 0=(0, ... , O)T (n-dimensionaler) N ullvektor In =(1, ... , I)T (n-dimensionaler) Einsvektor ei i-ter Einheitsvektor [z. B. e2 =(0, 1,0, O)T E R4] Ixl Betrag des Vektors x dim/F Dimension des Vektorraumes ~ (Xl, ... , xk) Teilraum, der von den Vektoren Xl, ... , xk erzeugt wird m x n-Matrix mit den Elementen aij, i = I, ... , m,j = I, ... , n An = (aij)n n x n-Matrix ~, aU) j-te Spalte bzw. i-te Zeile der Matrix A ! m G ~ Einheiffimatrix [z. B. I, (~ ~ ~), Nullmatrix [z. B. O2,3 = 02=(~ ~)] AT Transponierte Matrix A A-I Inverse Matrix von A rgA Rang von A IA I, detA Determinante von A Aadj Adjungierte Matrix zu A d~t d'!1eu Elemente der Matrix D = (dij) vor bzw. nach 'J' IJ Durchflihrung eines Pivotschrittes
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