Mathematik fur Physiker und Mathematiker: Analysis im Mehrdimensionalen und Einfuhrungen in Spezialgebiete, Volume 2, 2. Auflage

717 Pages·2002·22.76 MB·English

by  Prof. Dr. rer. nat. Rainer Wust(auth.)

Rainer Wust
Mathematik
fur Physiker und Mathematiker
Band 2
Rainer Wust
Mathematik
fur Physiker und Mathematiker
2., uberarbeitete Auflage
Band 2:
Analysis im Mehrdimensionalen und
Einfuhrungen in Spezialgebiete
Prof. Dr. rer. nat. Rainer Wiist
Institut fir Mathematik an der
Technischen Universitat Berlin
StraBe des 17. Juni 136
10623 Berlin
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Umschlag: Tafelbild, Rainer Wiist
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0W ILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, 2002
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Inhalt sverzeichnis
Band 2
16 Abbildungen aus dem Rm in den 581
R"
16.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
16.2 Die Topologie des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
R"
16.3 Grenzwerte und Stetigkeit bei Abbildungen aus dem Rn" in den R" . . . . 596
17 Differentiation bei Abbildungen aus nach 610
R" R"
17.1 Differenzierbarkeit von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
17.2 Partielle Differentiation und Kriterienfur Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . 616
17.3 Rechenregeln fur die Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
17.4 Gradient Richtungsableitung Bemerkungen zu ,,Differentialen'. ein Mittel-
~ ~
wertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
17.5 Hohere partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
17.6 Umkehrabbildungen implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
~
17.7 Der Gradient in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
18 Kurvenintegrale 687
18.1 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
18.2 Definition von Kurvenintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
18.3 Lange von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
18.4 Wegunabhangigkeit .k onservative Felder - Potentialfelder . . . . . . . . . . . 713
18.5 Rotation von Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724
19 Integration im R" 746
19.1 Definition von Integralen uber Quadern im Rm (Mehrfachintegrale) . . . . . . 746
19.2 Integration uber Jordan-Bereichen, Berechnung von Integralen durch iterierte
Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
19.3 Uneigentliche Integrale in1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784
R"
19.4 Transformation von lntegralen im R" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
20 Oberflachenintegrale
833
20.1 Hyperflachen im Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833
R" ~
20.2 Flacheninhalt Integrale uber Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
~
20.3 Orientierte Flachen - FlufS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855
VI Inhaltsverzeichnis
21 Integralsatze 860
21.1 Divergenz und GauD’scher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860
21.2 Stokes’scher Satz im und . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891
B2 R3
22 Funktionentheorie
904
22.1 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
22.2 Konforme Abbildungen - Mobius-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . 911
22.3 Integralsatze der Funktionentheorie - Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922
22.4 Potenzreihen- und holomorpher Funktionen . . . 932
Laurent-Reihendarstellungen
22.5 Berechnung von Integralen mit der Residuenmethode . . . . . . . . . . . . . . 948
22.6 Matrix-wertige holomorphe Abbildungen - Jordan-Normalform von Matrizen . 956
23 Gewo.. hnliche Differentialgleichungen: Losungen und Losungsmethoden 979
23.1 Losung“ einer Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
23.2 Richtungsfeld - Maximal fortgesetzte Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981
23.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 984
23.4 Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung - Bernoulli-Differentialgleichung . 993
23.5 Die exakte Differentialgleichung - Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 998
23.6 Die lineare Differentialgleichung 2 . Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
24 Existenz und Eindeutigkeit von Losungen von Anfangswertproblemen 1012
24.1 Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Differentialgleichungssysteme . . . 1012
24.2 GleichmaDige Konvergenz und Banach-Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018
24.3 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz - Banach’scher Fixpunktsatz . . . . . . . 1025
24.4 Abhangigkeit der Losungen von den Anfangswerten . . . . . . . . . . . . . . . 1033
.
25 Lineare Differentialgleichungssysteme Ordnung 1037
1
25.1 Existenz und Eindeutigkeit von Losungen - Struktur der Losungsgesamtheit . 1037
25.2 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . 1052
26 Hilbert .W eierstraD .F ourier 1070
26.1 Funktionenraume als Pra-Hilbert- und Hilbert-Raume . . . . . . . . . . . . . . 1070
26.2 Orthonormalsysteme (Pra-) Hilbert-hum-Basis . . . . . . . . . . . . . . . . 1075
.
26.3 Der Weierstrai3’sche Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082
26.4 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095
26.5 Fourier-Transformation auf dem Schwartz-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123
Inhaltsverzeichnis VII
27 Lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1141
27.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141
27.2 Die eindiniensionale Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143
27.3 Die Wellengleichung im R3 und im R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157
27.4 Potentialgleichung Green’sche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171
~
27.5 Mittelwerteigenschaften und Maximum-Prinzip harmonischer Funktionen . . . 1185
27.6 Green’sche Funktion und Eigenfunktionen des Laplace-Operators . . . . . . . . 1188
27.7 Warmeleitungsgleichung und Schrodinger-Gleichung, Separationsmethoden . . 1198
Hinweise zu den Aufgaben 1211
Literatur 1225
Symbollist e 1227
Index 1229
VIII Inhaltsverzeichnis
Band 1
Einiges uber Logik 1
-
Relationen Abbildungen 19
Zahlen 29
Der Grenzwertbegriff 61
Differentiation 149
Integration 227
Limesverta uschungen 308
Lineare Algebra
Lineare Raume 343
8
Affine Teilraume 386
9
Lineare Abbildungen und Matrizen 397
10
Determinanten 439
11
Lineare Gleichungssysteme 467
12
13 Transformation von Koordinaten -
Matrixdarstellung linearer Abbildungen 485
14 Dualraume - Multilinearformen - Tensoren 500
Eigenwerte linearer Abbildungen und Matrizen 520
15
Kleines Lexikon mathematischer Grundvokabeln 548
Hinweise zu den Aufgaben 550
Literatur 564
Symbolliste 566
Index 568
Mafhemafik :f ur Physiker und Mathematiker Band 2
Rainer Wust
Copyright 0 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
,,Ah die Sophzsten vieles zu wissen behaupteten, ohne etwas studaert zu haben", sagte er, ,,trat der Sophist
Sokrates hemor mit der arroganten Behauptung, er wisse, daj? er nichts wisse. Man hatte erwartet, da$
er seinem Satt anjugen wiirde: dean auch ich habe nichts studiert. (Um etwas zu wissen, miissen wir
studieren.) Aber er scheint nzcht weitergesprochen zu haben, und vielleicht h.atte auch der UnerrneJliche
Beijall, der nach seznem ersten Satz losbrach und der zweitausend Jahre dauerte. jeden weiteren Satz
verschluckt.
"
Bertolt Brecht
16. Abbildungen aus dem Rm in den R"
16.1 Beispiele
Es geht in diesem Kapitel urn Abbildungen uus dem Rm in den R" (oder auch: aus Rm nach
Rn) (m,n E N). Das sind also Abbildungen
f : G B"
mit geeigneteni G c R"'
Soweit moglich, werden Eigenschaften von ,,gewohnlichen" Funktionen, also reellen Funktionen
von ezner reellen Variablen, auf den Fall obiger Abbildungen verallgemeinert.
Die wichtigsteri Spezialfalle werden spater m = 1 (Abbildungen aus R in den I@'&), n = 1
(Abbildungen aus deni R'" nach I%, auch Funktzonen uon m Veranderlzchen genannt) und
m = n sein.
Wo solche Abbildurigen auftauchen, sei an einigen Beispielen vorgefuhrt.
(1) Ein Teilchen bewege sich im Raum. Bezuglich eines Koordinatensystems seien die Koor-
dinaten der Stelle. an dem sich das Teilchen zur Zeit t (t 2 to, to geeignet) befindet, mit
fi(t).f z(t). f~(tb)ez eichnet. Durch
-
-
f : [to. x)
R3
t f(t)= (fl(t)if Z(t)r f3(t))
ist eine Abbilditng aus R in den definiert (die spater auch Weg im R3 genannt wird).
R3
(2) Gegeben sei viii (physikalischer) Korper K. Nach Wahl eines Koordinatensystems entb
spricht jedeni ..Punkt'. des Korpers ein Punkt im so daB K mit einer geeigneten
B3,
Teilnienge G ideritifiziert werden kann.
C: R3
Sei G.
5 t
In eineni Gedankenexperinieiit schneide man aus K (beziehungsweise G) einen Wurfel
rnit z als Mittelpunkt heraus, wiege ihn und dividiere durch das Volumen, so dai3 man
das niittlere spezifische Gewicht s1 (x) des Wurfels erhalt. Durch Verkleinern des Wurfels
(jeweils so. daG .r der Mittelpunkt bleibt) erhalt man eine Folge {S,(Z)),~~Wv on mittleren
spezifischen Gewichten von Myiirfeln, die sich ,,auf x zusammenziehen" .
Falls
lim s,, (r)
Ti-r
582 16. Abbildungen aus dem R" in den B"
existiert und von der Auswahl der Wiirfel unabhangig ist (vgl. das Problem, ,,Momen-
tangeschwindigkeit" zu definieren, Einleitung zum 5. Kapitel), so wird diese Zahl als das
spezifische Gewicht von K an der Stelle x bezeichnet.
Durch
-
s : G + w
x s(z) := spezifisches Gewicht an der Stelle z
ist dann eine Abbildung aus R3 in definiert.
R
-
Analog:
-
T : G R
z T(x): = Temperatur an der Stelle 2
(3) Sei (bei vereinbartem Koordinatensystem) im Punkt xo = (&,3?2, &) ein Massenpunkt
der Masse M. Auf einen anderen Massenpunkt der Masse m am Punkt x = ( ~ 1 ~ x 2 ~ ~ 3 )
(z E R3 \ (20)) wirkt die (Gravitations-) Kraft S in ,,Richtung auf xo" mit einer zum
Quadrat des Abstandes zwischen x und xo umgekehrt proportionalen Starke, als V3-Vektor
geschrieben
mmMM
--77..
1155 -- xxoo1122 1122 -- 550011
2233 -- 5533
(y := Gravitationskonstante),
mit 12 - ZOI := d(x1 - &)2 +.. . + (x3 - &)2 (= euklidischer Abstand).
Verwendet man die Isomorphie zwischen V3 und so ist durch
B3,
s :
R3\{20} + w3
eine Abbildung aus nach definiert, die als die Kraft interpretierbar ist, die auf einen
R3 R3
Massenpunkt der Masse rn an der Stelle (xl5,2 ,23) durch den Massenpunkt der Masse A4
ausgeiibt wird.
1st mit den Bezeichnungen von (3) die Lage zo des Massenpunkts A4 nicht zeitlich konstant,
(4)
sei also -etwa (vgl. (1)) durch
t (at),. . . ,&(t))= xo(t) (t L to)
die Lage des Massenpunktes zur Zeit t (t to) beschrieben,
und ist W := {z I z = zo(t),t 2 to geeignet}, so ist durch
eine Abbildung aus JR4 in definiert, die (nun zeitlich veranderliche) Kraft auf den
R3
Massenpunkt m an der Stelle x zur Zeit t.
16.2 Die Topologie des W" 583
Wir brauchen nun mathematische Begriffe, die, analog zum eindimensionalen Fall, das analytisch
ausdrucken, was es 2.B. heifit, daO ein Teilchen nicht ,,sprunghaft" seine Lage andert (dies fuhrt
zur Ubertragung des Begriffs ,,stetig" auf Abbildungen aus nach W") oder, wie sich 2.B. in
R"
(4) die Kraft S bei ,,fester Zeit von Stelle zu Stelle" oder bei ,,fester Stelle zeitlich" andert (wozu
man ,,partielle Differentiation" braucht). Die Begriffe ,,stetif, ,,differenzierbar", die sich bei der
Beschreibung analoger eindimensionaler Fragen bewahrt haben, erfordern fur ihre Ubertragung
in den mehrdimensionalen Fall zunachst eine entsprechende Verallgemeinerung von Internall,
oflen, abgeschlossen, Betrag usw. Damit ist der nachste Abschnitt ausgefullt.
16.2 Die Topologie des R"
Unter der Topologie des R" versteht man, etwas locker formuliert, die Klarung dessen, was offene
und abgeschlossene Mengen im sind und was Konvergenz im Rn bedeutet.
R"
Wenn diese Begriffe und die damit moglichen Aussagen im eindimensionalen Fall klar geworden
sind, machen die Ubertragungen in den mehrdimensionalen Fall keine Schwierigkeiten. Man mu6
nur die geometrischen Vorstellungen iindern, oder besser: erweitern.
Neu ist Satz 16.4 uber den Abstand einer kompakten zu einer abgeschlossenen Menge, Satz 16.5
uber den Schnitt von (achsenparallelen) Hyperebenen mit offenen Mengen und der Satz von
Heine-Bore1 im (Satz 16.6), dessen Beweis in auch schon nicht ganz einfach war. Wenn die
R" I[$
Zeit fehlt oder die Energie, akzeptiere man die Aussagen auch ohne Beweis.
Es sei daran erinnert, was aus der Linearen Algebra bereits bekannt ist:
Durch
cn
( . , ' ) : iWTL x R" --f R . (x,g ) H (z, y) := Ici yi
i= 1
ist auf R" ein Skahrprodukt definiert, also (. , .)) ein euklidischer Raum.
(R",
IR.
ist dann auf R" eine Norm erklart, euklidzsche Norm genannt (Definition 8.4 (p. 356) und
anschlieaende Beispiele) .
(x R")
t
z=1
und [lxllx := max {[.r11.. . . , lx7Ll} (x E Rn)
sind weitere Normen auf R", die im Fall n > 1j edoch nicht mehr iiber ein Skalarprodukt definiert
werden konnen. (Im Fall n = 1 ist 1x1 = ((z(=(~ ( ( ~ ( 1 (~z E R1 = R).)
Es gilt, wie man einfach beweisen kann: