Mathematik für Physiker: Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik PDF
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Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Lehrbuch Band 1 Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen tür das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch 2 Bände Leitprogramm 3 Bände Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch Band 1 verfaßt von Klaus Weltner, Hartmut Wiesner, Paul-Bernd Heinrich, Peter Engelhardt, Helmut Schmidt 9., verbesserte Auflage IJ Vleweg Dr. Klaus Weltner ist Professor für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik. Dr. Hartmut Wiesner ist Akademischer Rat am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt. Dr. Paul-Bernd Heinrich ist Professor für Mathematik an der Fachhochschule Mönchengladbach. Dipl.-Phys. Peter Engelhardt war wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt. Dr. Helmut Schmidt ist Professor für Didaktik der Physik an der Universität Köln. 1. Auflage 1975 2., durchgesehene Auflage 1977 3., unveränderte Auflage 1978 4., durchgesehene Auflage 1980 5., verbesserte Auflage 1981 6., durchgesehene Auflage 1983 7., durchgesehene Auflage 1984 8., verbesserte Auflage 1987 9., verbesserte Auflage 1990 Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien VIIIesbaden 1990 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1990 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechts gesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikrover filmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Peter Morys, Salzhemmendorf ISBN 978-3-528-83051-9 ISBN 978-3-662-30314-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-30314-6 - 5 - Aus DEM VORWORT ZUR I. AUFLAGE Das Lehrbuch (2 Bände) und die Leitprogramme (3 Bände) 'Mathematik für Physiker' sind in erster Linie für Studienanfänger des ersten und zweiten Semesters ge schrieben. Es werden diejenigen Mathematikkenntnisse vermittelt, die für das Grundstudium der Experimental physik benötigt werden. Das Lehrbuch kann unabhängig von den Leitprogrammen benutzt werden. Die Leitpro gramme sind neuartige Studienhilfen und haben nur Sinn im Zusammenhang mit dem Lehrbuch. Lehrbuch und Leitprogramme eignen sich vor allem zur Unterstützung des Selbststudiums, zur Vorbereitung des Studiums und als Grundlage für einführende mathematische Ergän zungsveranstaltungen neben der Experimentalphysik Vorlesung. In der Einleitung werden diese Gedanken weiter ausgeführt. Lehrbuch und Leitprogramme wurden im regulären Stu diengang in drei Studienjahren verwendet und auf grund der Erfahrungen und Rückmeldungen der Studen ten gründlich revidiert. Besonders bei der Entwicklung der Leitprogramme waren die Anregungen der Studenten hilfreich. Natürlich sind weitere Verbesserungen möglich; nie mandem ist dies klarer als den Autoren. Konkrete Vorschläge der Leser sind erwünscht und werden bei künftigen Auflagen nach Möglichkeit berücksichtigt. Entwicklung, Abstimmung, Erprobung und mehrfache Re vision sind das Ergebnis einer Teamarbeit. Die Reihen folge der Autoren im Titel berücksichtigt die jeweils eingebrachten Arbeitsanteile. Das Mathematiklehrbuch ist vorwiegend von Physikern geschrieben. Für wertvolle Hinweise und Formulie rungen danke ich Herrn Dr. Mrowka. Bei der Bearbeitung der in die Leitprogramme inte grierten Anleitungen zu Lern- und Studiertechniken unterstützte mich Herr Dipl.-Psych. G. Kanig. Allen hier genannten und vielen nichtgenannten Mitarbeitern danke ich herzlich. Klaus Weltner Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik 1974 - 6 - VORWORT ZUR 8. AUFLAGE In den Neuauflagen seit 1975 ist das Lehrbuch in vielen Details verbessert worden. Die im Vorwort zur ersten Auflage erbetenen Verbesse rungsvorschläge und kritischen Hinweise sind von Lesern und Kollegen eingegangen. Sie sind weit gehend berücksichtigt. Ich danke allen sehr herz lich, die damit geholfen haben, das Lehrbuch les barer, genauer und verständlicher zu gestalten. Neu geschrieben ist das Kapitel 17 über Gleichungs systeme. Hier stehen jetzt die praktischen Elimina tionsverfahren im Vordergrund. Auch das Kapitel 16 über Matrizen ist erheblich erweitert. Was die Autoren bei der Entwicklung der Leitpro gramme erhofften, hat sich bestätigt. Die Verbindung von Lehrbuch und Leitprogramm wird von vielen Studienanfängern als wirksame Hilfe bei der An passung an die Arbeitsformen der Universität ge nutzt. Es hat siqh in vielfältiger Praxis gezeigt, daß die Leitprogramme das selbständige Erarbeiten des Lehrbuches ermöglichen und daß sie dem Studenten helfen, ein selbstverantwortetes und selbstgere geltes Studienverhalten aufzubauen. In einer überarbeiteten und erweiterten Form sind Lehr buch und Leitprogramme inzwischen ins Englische über setzt. Auch dies spricht dafür, daß mit der hier ent wickelten Methodik der studienunterstlitzung ein sinn voller Weg beschritten ist. Klaus Weltner Frankfurt, 1986 - 7 - INHALT EINLEITUNG 13 FUNKTIONSBEGRIFF, EINFACHE FUNKTIONEN, TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 19 1.1 Der mathematische Funktionsbegriff und seine Bedeutung für die Physik 19 1.1.1 Zusammenhänge in der Physik und ihre mathematische Beschreibung 19 1.1.2 Der Funktionsbegriff 20 1.2 Koordinatensystem, Ortsvektor 23 1.2.1 Bestimmung der Lage eines Punktes bei gegebenen Koordinaten 24 1.3 Graphische Darstellung von Funktionen 25 1.3.1 Ermittlung des Graphen aus der Funktionsgleichung für die Gerade 27 1.3.2 Bestimmung der Funktionsgleichung einer Geraden aus ihrem Graphen 29 1.3.3 Graphische Darstellung von Funktionen 29 1.3.4 Veränderung von Funktionsgleichungen und ihrer Graphen 32 1.4 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen 34 1.4.1 Einheitskreis 34 1.4.2 Sinusfunktion 35 1.4.3 Kosinusfunktion 43 1.4.4 Zusammenhang zwischen Kosinus- und Sinusfunktion 44 1.4.5 Tangens, Kotangens 45 1.4.6 Additionstheorem, Superposition von trigonometrischen Funktionen 46 Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen 50 Tabelle spezieller Funktionswerte 50 Ubungsaufgaben 51 Lösungen 53 2 POTENZEN, LOGARITHMUS, UMKEHRFUNKTION 56 2.1 Potenzen, Exponentialfunktion 56 2.1.1 Potenzen 56 2.1. 2 Rechenregeln für Potenzen 57 2.1 .3 Exponentialfunktion 59 2.2 Logarithmus, Logarithmusfunktion 63 2.2.1 Logarithmus 63 2.2.2 Rechenregeln für Logarithmen 67 2.2.3 Logarithmusfunktion 70 - 8 - 2.3 Umkehrfunktion (inverse Funktion), mittelbare Funktion 71 2.3.1 Umkehrfunktion oder inverse Funktion, 71 Arcusfunktion 73 2.3.2 Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion 75 der Exponentialfunktion 2.3.3 Mittelbare Funktion, Funktion einer Funktion 75 Ubungsaufgaben 77 Lösungen 79 3 DIFFERENTIALRECHNUNG 80 3.1 Folge und Grenzwert 80 3. 1 . 1 Die Zahlenfolge 80 3.1. 2 Grenzwert einer zahlenfolge 81 3.1. 3 Grenzwert einer Funktion 85 3.2 Stetigkeit 88 3.3 Reihe und Grenzwert 89 3.3.1 Reihe 89 3.3.2 Geometrische Reihe 91 3.4 Die Ableitung einer Funktion 92 3.4.1 Die Steigung einer Geraden 92 3.4.2 Die Steigung einer beliebigen Kurve 92 3.4.3 Der Differentialquotient 95 3.4.4 Physikalische Anwendung: Die Geschwindigkeit 96 3.4.5 Das Differential 98 3.5 Die praktische Berechnung des Differential- quotienten 99 3.5.1 Differentiationsregeln 99 3.5.2 Ableitung einfacher Funktionen 102 3.5.3 Die Differentiation komplizierter Funktionen 107 3.6 Höhere Ableitungen 110 3.7 Maxima und Minima 111 Differentiationsregeln 115 Ableitung einfacher Funktionen 115 übungsaufgaben 116 Lösungen 119 4 INTEGRALRECHNUNG 121 4.1 Die Starnrnfunktion 121 4.1.1 Grundproblem der Integralrechnung 121 4.2 Flächenproblem und bestimmtes Integral 123 4.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die Flächenfunktion als Starnrnfunktion von f(x) 126 - 9 - 129 4.4 Bestimmtes Integral 4.4.1 Beispiele für das bestimmte Integral 131 4.5 Zur Technik des Integrierens 134 4.5.1 Verifizierungsprinzip 134 4.5.2 Stammintegrale 135 4.5.3 Konstanter Faktor und Summe 136 4.5.4 Integration durch Substitution 137 4.5.5 Partielle Integration 139 4.6 Rechenregeln für bestimmte Integrale 140 4.7 Substitution bei bestimmten Integralen 142 4.8 Mittelwertsatz der Integralrechnung 144 4.9 Uneigentliche Integrale 144 4.10 Arbeit im Gravitationsfeld 146 Integrationsregeln und -techniken 148 Tabelle der wichtigsten Grundintegrale 149 übungsaufgaben 150 Lösungen 153 5 VEKTORRECHNUNG I 156 5.1 Skalare und Vektoren 156 5.2 Addition von Vektoren 160 5.2.1 Summe zweier Vektoren: Geometrische Addition 160 5.3 Subtraktion von Vektoren 161 5.3.1 Der Gegenvektor ~ ~ 161 5.3.2 Differenz zweier Vektoren a und b: Geometrische Subtraktion 162 5.4 Komponente und Projektion eines Vektors 163 5.5 Komponentendarstellung im Koordinatensystem 165 5.5.1 Ortsvektor 165 5.5.2 Einheitsvektoren 165 5.5.3 Komponentendarstellung eines Vektors 166 5.5.4 Darstellung der Summe zweier Vektoren in Komponentenschreibweise 168 5.5.5 Differenz von Vektoren in Komponenten schreibweise 170 5.6 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 171 5.7 Betrag eines Vektors 172 übungsaufgaben 174 Lösungen 177
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