Mathematik für Physiker Band 3: Variationsrechnung - Differentialgeometrie - Mathematische Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie

416 Pages·2013·3.625 MB·German

by  Helmut Fischer, Helmut Kaul (auth.)

Helmut Fischer
Helmut Kaul
Mathematik
für Physiker
Band 3
Variationsrechnung – Diff erential-
geometrie – Mathematische Grundlagen
der allgemeinen Relativitätstheorie
. Aufl age
Mathematik für Physiker Band 3
(cid:2)
Helmut Fischer Helmut Kaul
Mathematik für Physiker
Band 3
Variationsrechnung - Differential-
geometrie - Mathematische
Grundlagen der allgemeinen
Relativitätstheorie
3., überarbeitete Auflage
HelmutFischer HelmutKaul
Tübingen,Deutschland Univ.Tübingen
Tübingen,Deutschland
ISBN978-3-658-00474-3 ISBN978-3-658-00475-0(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-00475-0
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Vorwort
DieserBandgliedert sichin Variationsrechnung,Differentialgeometrie undma-
thematischeGrundlagenderAllgemeinenRelativit¨atstheorie.Errichtetsichan
Studierende der Physik im Grund– und Hauptstudium sowie an alle, die sich
n¨ahermitVariationsrechnungundRelativit¨atstheoriebefassen wollen.AlsEin-
stiegsvoraussetzung reicht im Wesentlichen derin Band1 behandelteStoff.
Gegenstand der klassischen Variationsrechnung sind Variationsintegrale F(v),
wiez.B.dasWirkungsintegralderMechanik,dieBogenl¨ange oderderFl¨achen-
inhalt, wobei v eine Funktionenklasse V von Kurven bzw. Fl¨achen durchl¨auft.
Gefragt wird nachnotwendigen undhinreichendenBedingungen dafu¨r,dassei-
ne Funktion u ∈ V ein Minimum von F in V liefert. Notwendig hierfu¨r ist
das Verschwinden der ersten Variation von F an der Stelle u, δF(u) = 0.
Aus dieser Stationarit¨at von u ergibt sich eine Differentialgleichung fu¨r u, die
Euler–Gleichung. In §2 stellen wir die Euler–Gleichungen fu¨r einige klassische
Variationsprobleme auf.
Fu¨r viele Gebiete der theoretischen Physik ist es m¨oglich und zweckm¨aßig, ein
Wirkungsprinzip der Form δF(u) = 0 zur Formulierung der Grundgesetze an
die Spitze zu stellen. Das ist meistens der einfachste und sicherste Weg, die
grundlegenden Gleichungen aufzustellen; daru¨berhinaus lassen sich aus Inva-
rianzeigenschaften des Wirkungsintegrals auf systematische Weise Erhaltungs-
gr¨oßen gewinnen. Demgem¨aß spielen Variationsprinzipien in allen Teilen dieses
Buches eine wichtige Rolle, z.B. in der Punkt– und Kontinuumsmechanik, in
der geometrischen Optik, fu¨r Minimal– und Kapillarit¨atsfl¨achen, fu¨r Geod¨ati-
sche auf Fl¨achen und fu¨r die Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen
Relativit¨atstheorie.
InderAllgemeinenRelativit¨atstheoriewirdGravitationalsgeometrischeEigen-
schaft einer vierdimensionalen Raum–Zeit–Mannigfaltigkeit beschrieben. Der
fu¨r diese Theorie ben¨otigte Apparat (Mannigfaltigkeiten, Tensoren, Lorentz–
Geometrie) wird in§8und§9bereitgestellt. AlsVorbereitunghierfu¨rkannder
Abschnitt §7 u¨ber Fl¨achen im 3 dienen, in dem die grundlegenden Begriffe
(cid:0)
derDifferentialgeometriemitgeringemtechnischenAufwandeingefu¨hrtwerden
undder Anschauungzug¨anglich sind.
Wirhabenunsbemu¨ht,denZugangzudenangesprochenenThemenzuerleich-
ternundwichtigeKonzeptegutzumotivieren.BeiderVariationsrechnung,der
Hamiltonschen Mechanik, der geometrischen Optik und der Differentialgeome-
trie von Fl¨achen im 3 wird die Notation der Vektoranalysis zugrunde gelegt
(cid:0)
und die Verwendung von Differentialformen vermieden. In der Differentialgeo-
metrie und der Relativit¨atstheorie (§8–§11) wird vor allem bei der Einfu¨hrung
von Begriffen nach M¨oglichkeit die invariante Schreibweise verwendet. Diese
kommt der Notation der Vektoranalysis am n¨achsten und l¨asst den geometri-
schen Gehalt deutlicher hervortreten als der Koordinatenkalku¨l. Jedoch stellen
6 Vorwort
wir allen wichtigen invariant formulierten Rechnungen die entsprechende Ko-
ordinatenversion zur Seite, um den an die Koordinatenschreibweise gew¨ohnten
Leserinnen undLesern entgegen zu kommen.
In der dritten Auflage wurde die geometrische Optik in eine u¨bersichtlichere
Gestalt gebracht und dem Standardmodell der Kosmologie eine breitere theo-
retische Grundlage gegeben.
Fu¨rwertvollekritischeAnmerkungendankenwirunserenKollegenFrankLoose
(§§5,10,11)undHerbertPfister(§§10,11)sehrherzlich.FrankLooseverdanken
wir auch einen einfachen Zugang zu den hyperbolischen R¨aumen. Unser ganz
besonderer Dank gilt Ralph Hungerbu¨hler fu¨r die drucktechnische Gestaltung
der ersten beiden Auflagen und fu¨r das Erstellen der Figuren. Ohne seinen
Einsatz, seine Sachkenntnis, seine Hilfsbereitschaft und seine Geduld mit den
Autoren h¨attedieses Buch nicht entstehen k¨onnen.
Tu¨bingen, Februar2013 H.Fischer, H.Kaul
Zum Gebrauch. Ein Querverweis wie z.B. auf §3:3.4(a) bezieht sich auf §3,
Abschnitt3,Unterabschnitt3.4,Teil(a).Innerhalbvon§3wirddiebetreffende
Stellenurmit 3.4(a) aufgerufen.Literaturverweise wiez.B. auf[7]Giaquinta,
M., Hildebrandt, S.:Calculusof Variations, Vol.I,Ch.6, 2.4Prop.1 erfolgen
nach dem Muster
[7, I], Ch.6, 2.4 Prop.1.
oder auch
[Giaquinta–Hildebrandt]I, Ch.6, 2.4 Prop.1.
DurchdasSymbol U¨A (U¨bungsaufgabe)werdendieLeserinnenundLeserauf-
gefordert, RechnungenoderBeweisschritte selbst auszufu¨hren.Mit *markierte
Abschnittek¨onnen bei derersten Lektu¨reu¨bergangen werden.
Wegweiser. Fu¨r die Anwendungen der Variationsrechnung auf die Mechanik
undaufdieOptikgenu¨gtes,neben§1dieerstendreiAbschnittevon§2zulesen
unddasHauptergebnis§3:3.4zurKenntniszunehmen.DieDifferentialgeome-
trie von Fl¨achen (§7) ist von den vorangehenden Abschnittenunabh¨angig; nur
bei derKennzeichnungvon geod¨atischen Kurvenals lokal ku¨rzesteLinien wird
ein Ergebnis aus §5 verwendet. Fu¨r einen ersten orientierenden Einstieg in die
Relativit¨atstheorie wird zu Beginn von §10 ein Leitfaden gegeben.
Bezeichnungen,SymboleundAbku¨rzungenorientierensichimerstenTeil
diesesBuchesandenvorangehendenB¨anden;imSymbolverzeichnisistnurneu
Hinzugekommenesaufgefu¨hrt. Ab§8passen wirunsderin derDifferentialgeo-
metrie u¨blichen Notation an.
Fehlermeldungenund Verbesserungsvorschl¨agevonunserenLesernneh-
men wir dankbarentgegen [email protected].
Inhalt
Kapitel I Variationsrechnung
§1 U¨bersicht
1 Beispiele fu¨r Variationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Problemstellungen undMethoden derVariationsrechnung. . . . . . 13
§2 Extremalen
1 Das Zweipunktproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 L¨osung derEuler–Gleichungen in Spezialf¨allen . . . . . . . . . . . . 26
3 DerRegularit¨atssatz fu¨relliptische Variationsprobleme . . . . . . . 35
4 Mehrdimensionale Variationsprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Isoperimetrische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Legendre–Transformation undHamilton–Gleichungen . . . . . . . . 60
§3 Minimaleigenschaften von Extremalen
1 Notwendige Bedingungen fu¨r lokale Minima . . . . . . . . . . . . . 64
2 DieBedingung von Jacobi fu¨r lokale Minima . . . . . . . . . . . . . 67
3 HinreichendeBedingungen fu¨r lokale Minima . . . . . . . . . . . . . 73
§4 Hamiltonsche Mechanik
1 Bewegungsgleichungen bei Zwangsbedingungen, Hamilton–Prinzip . 91
2 Legendre–Transformation undHamilton–Gleichungen . . . . . . . . 97
3 Symmetrien undErhaltungsgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4 DieMethode von Jacobizur L¨osung der Hamilton–Gleichungen . . . 111
§5 Geometrische Optik und parametrische Variationsprobleme
1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2 Parametrische Variationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3 Grundkonzeptedergeometrischen Optik . . . . . . . . . . . . . . . 142
§6 Die direkte Methode der Variationsrechnung
1 Existenzvon Minimumstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3 Regularit¨at von Minimizern undExtremalen . . . . . . . . . . . . . 184
Kapitel II Differentialgeometrie
§7 Kurven und Fl¨achen im 3
(cid:0)
1 Kru¨mmungvon Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
2 Fl¨achen im 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
(cid:0)
3 Kru¨mmungvon Fl¨achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4 KovarianteAbleitungund Theorema egregium . . . . . . . . . . . . 206
5 Geod¨atische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6 Parallelverschiebung undWinkelexzess . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8 Inhalt
§8 Mannigfaltigkeiten, Tensoren, Differentialformen
1 Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . 230
2 Tangentialraum und Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
3 Vektorfelderund 1–Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
5* Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
§9 Lorentz– und Riemann–Mannigfaltigkeiten
1 Minkowski–R¨aume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
2 Lorentz– undRiemann–Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 279
3 KovarianteAbleitungund Kru¨mmung. . . . . . . . . . . . . . . . . 285
4 Parallelverschiebung von Vektorfeldern und Geod¨atische . . . . . . 304
5 Jacobi–Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6* Isometrien undRaumformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7* DerGaußsche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Kapitel III Mathematische Grundlagen der Allgemeinen Relati-
vit¨atstheorie
§10 Grundkonzepte der Relativit¨atstheorie
1 DieGeometrie des Gravitationsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
2 DieFeldgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
3* Variationsprinzipien fu¨r die Feldgleichung . . . . . . . . . . . . . . . 356
4* DerEnergieimpuls isolierter Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
§11 Raumzeit–Modelle
1 Schwarzschild–Raumzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
2 Robertson–Walker–Raumzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Namen und Lebensdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
Literaturverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
Symbole und Abku¨rzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
Kapitel I
Variationsrechnung
§1 U¨bersicht
1 Beispiele fu¨r Variationsprobleme
1.1 Bahnen ku¨rzester Laufzeit
(a) Ein Teilchen bewege sich in der x,y–Ebene so, dass seine Geschwindigkeit
in jedem Punkt (x,y) einen vorgegebenen Wert v(x,y) annimmt. Zu zwei ge-
gebenen Punkten A=(α,a), B =(β,b) betrachten wir alle Verbindungswege
C, die Graph einer C1–Funktion u:[α,β] sind. Die Laufzeit l¨angs einer
→R
solchen Bahn C ist
β
ds 1+u′(x)2
(u) = = dx.
T v v(x,u(x))
Z Z p
C α
Gefragt wird nach einem Minimum von (u) in der Klasse aller C1–diffe-
T V
renzierbaren Funktionen u:[α,β] mit u(α)=a, u(β)=b.
→R
Auf diese Problemstellung fu¨hrt z.B. das Fermat–Prinzip fu¨r ein isotropes,
achsensymmetrisches optisches Medium mit Brechungsindex n(x,y) und Ge-
schwindigkeit v(x,y)= c/n(x,y) (c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum). Bei
konstantem Brechungsindex ergibt sich die Frage nach der ku¨rzesten Verbin-
dungslinie zwischen A und B.
(b) EinSpezialfallvon(a)istdasBra-
A b y
chistochronenproblem: Dabei sind
in einer zur Erdober߬ache senkrechten
Ebene zwei nicht u¨bereinander liegen-
dePunkteA,B gegeben;Aliegeh¨oher
als B.
Gesucht ist eine ebene Bahn, auf der
ein Massenpunkt unter dem Einfluss
der Schwere reibungsfrei in ku¨rzester
Zeit von A nach B gleitet. Da die- β B
se aller Voraussicht nach im Punkt A
x
eine senkrechte Tangente haben wird,
w¨ahlenwirdasnebenstehendskizzierte
Koordinatensystem. Nach dem Ener-
giesatz ist dann v(x,y)=√2gx.
H. Fischer, H. Kaul, Mathematik für Physiker Band 3,
DOI 10.1007/978-3-658-00475-0_1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013
10 §1 U¨bersicht
Zu bestimmen ist also eine Bahn mit ku¨rzester Fallzeit
(cid:2)β(cid:4)
1+u(cid:2)(x)2
T(u) = dx
2gx
0
in der Klasse V aller C1–Funktionen u:[0,β]→ mit u(0)=0, u(β)=b.
(cid:0)
1.2 Minimal߬achen
Minimalfl¨achendienenalsmathematischeModellefu¨rSeifenh¨aute.Eineineine
odermehreregeschlosseneKurvendes 3 eingespannteFl¨acheheißtMinimal-
(cid:0)
fl¨ache, wenn sich der Fl¨acheninhalt unterkleinen lokalen Deformationen nicht
verringert.Die Annahmedesabsoluten Minimums desFl¨acheninhalts wird da-
bei nicht gefordert. Die Frage nach der Existenz und den Eigenschaften von
Minimal߬achenbeivorgegebenerBerandungwirdPlateausches Problemge-
nannt. Wir betrachten hier zwei spezielle Situationen; auf das allgemeine Pro-
blem gehen wir in §6:2.3 ein.
(a) Sei Ω⊂ 2 ein beschr¨anktes Gebiet, und g :∂Ω → eine C1–differen-
zierbare Funk(cid:0)tion. Fu¨r eine in die Kurve Γ = {(x,y,g(x,y(cid:0)))|(x,y) ∈ ∂Ω} im
3 eingespannte Graphenfl¨ache, gegeben durch eine Funktion u∈C1(Ω) mit
(cid:0)
u=g auf ∂Ω, ist der Fl¨acheninhalt
(cid:5) (cid:3)
A(u) = 1+(cid:6)∇u(x,y)(cid:6)2 dxdy,
Ω
vergleicheBd.1,§25:2.5(a).WirfragennacheinemMinimumvon A(u) unter
den eben genannten Bedingungen.
(b) Lassen wir den Graphen einer positiven C1–Funktion u : [α,β] → um
(cid:0)
die x–Achse rotieren, so entsteht eine zwischen zwei Kreisringen eingespannte
Rotationsfl¨ache mit Fl¨acheninhalt U¨A
(cid:5)β (cid:3)
A(u) = 2π u(x) 1+u(cid:2)(x)2dx.
α
Wir untersuchen in §2:2.5, unter welchen Bedingungen eine solche Rotations-
߬acheeine Minimal߬ache ist.
1.3 Das Hamiltonsche Prinzip der Punktmechanik
Wir betrachten ein mechanisches System mit m Freiheitsgraden und der La-
grange–Funktion L = T −U, wobei die potentielle Energie U(t,q) von den
Ortskoordinaten q = (q ,...,q ) und der Zeit t abh¨angt und die kineti-
1 m
sche Energie T(t,q,q˙) von den Ortskoordinaten q = (q ,...,q ) und den
1 m
Geschwindigkeitskoordinaten q˙ = (q˙ ,...,q˙ ) und von t. Fu¨r eine beliebige
1 m
C1–Kurve t(cid:7)→q(t) heißt