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Prof. Dr Gerhard Berendt Prof. Dr Evelyn Weimar-Wood~ Freie LJnl\ersitiil Berlin Fachbereich Mathematik Arnimallee 1 - 6 1000 Berlin 33 Da~ vorliegende Werk \\urde sorgfiiltig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren. Herausgeber und Verlag für die Richtigkeit von Angaben. Him\ei~~n und Ratschliigen sO\\ie für eventuelle Druckfehler keine Haftung. 1. Auflage 1983 2. . bearbeitete Auflage 1990 Lektorat. Walter Greulich Herstellerische Betreuung: Dipl.-Ing. (FH) Hans ]örg Maier Cl P-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek: Berendl. Gerhard: Mathematik für Physiker Gerhard Berendt. bel) n Weimar. - Weinheirn: VCH. NE: Weimar. belyn: Bd. 1 Analysis und lineare Algebra. - 2. . bearb. Aufl. - 1990. ISBN 3-527-2g077-4 ( VCH Verlagsgesellschaft mbH. 0-6940 Weinheim (Federal Repuhlic of German) I. 1990 Gedruckt auf siiurefreiem Papier Alle Rechte. insbesondere die der Übersetzung in andere Sprachen. vorbehalten. Kein Teil diese~ Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgende:ner I--orm - durch Photo kopie. Mikro\erfilmung oder Irgendein anderes Verfahren - reproduziert oder in eine von Maschinen. insbesondere von Datemerarbeitung~ maschinen. verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt \\erden. Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen. Handelsnamen oder sonstigen Kennzeichen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme. dal.l diese \ on jedermann frei benutzt \\erden dürfen. Vielmehr kann es ,ich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschützte Kennzeichen handeln. \\enn sie nicht eigen~ ab solche markiert sind. All righb resened lincluding those of translation into other languagesl. No part of this book nw) be reprllduced in an; form - b) phlltoprinting. microfilm. or an) other means -' nor transmilted or translated into a machine language \\ithout \\ rillen permission from the publishers. Registered name~. trademarks. etc. used 111 this booL e\en \\hen not specificall) marked as such. are not to be considered unprotected b) la\\ Satz und Druck: Krebs-Gehlen Druckerei GmbH & Co. KG. 0-6944 Hemsbach Buchbinder' J. Schüffer GmbH & Co. KG. 0-6711< Grünstadt Printed in the hderal Republic of German) Vertrieb: VCH. Postfach 101161. 0-6940 Weinheim fBundesrepublik Deutschland) Sclmeiz: VCH. Postfach. CH-4020 BaseIISch\\eiz) ünited Kingdom und Irland. VCH. 1< \Vellington Court. Wellingtun Street. Cambridge CB 11HZ (England) USA und Canada VCH. Suite 909. 220 East 23rd Street. Ne\\ York. NY 10010-4606 (LSAI ISBN 3-527-2g0n-4 Vo rwort zur zweiten Auflage Das zwei bändige Werk "Mathematik für Physiker" wurde in der zweiten Auflage von den Druckfehlern und inhaltlichen Mängeln befreit, die den Autoren bis zum Zeitpunkt der Neuauflage bekannt wurden. Darüber hinaus wurden an zwei Stellen kleine Ergänzungen eingefügt, nämlich in Kapitel 2 des ersten Bandes ein Abschnitt über das "klassische" Lö sungsverfahren für lineare Gleichungen, den Gaußsehen Algorithmus in seiner einfachsten Form und in Kapitel 3 des gleichen Bandes ein kurzer Abriß der Trapezregel als einem der ältesten Verfahren zur numerischen Integration. Auf weitergehende Änderungen wurde angesichts der un veränderten Zielsetzung des Werkes bewußt verzichtet. Da die Elimination von Druckfehlern und die Verbesserung von For mulierungen Teile eines kontinuierlichen dynamischen Prozesses sind, würden sich der Verlag und die Verfasser über Bemerkungen zu Fehlern lind Vorschläge zur Verbesserung der Darstellung nach wie vor freuen. Berlin. im Sommer 1989 Gerhard Berendt Evelyn Weimar-Woods Vo rwort zur ersten Auflage Seit mehr als 10 Jahren wird an der Freien Universität Berlin ein speziel ler Mathematikkurs für Physiker und Studierende anderer Nebenfächer angeboten. Er umfaßt zur Zeit 6 Semesterwochenstunden (SWS) Vor lesung plus 6 SWS Übungen in den ersten beiden Semestern und 2 SWS Vorlesung plus 2 SWS Übungen in den bei den folgenden Semestern. An der Einführung, Gestaltung und Durchführung dieses Kurses waren und sind wir intensiv beteiligt. Dieser Band "Mathematik für Physiker Analysis und Lineare Algebra" behandelt ausführlich den Stoff der ersten bei den Semester. Als Grundlage dienten die Vorlesungsmanu skripte von E. W. Fragt man Physiker und Mathematiker, wie eine "Mathematik für Phy siker" aussehen soll, so reicht die Skala der Antworten von einer Art Rezeptsammlung, die in knapper und einsatzbereiter Form das notwen dige Handwerkszeug bereitstellt, bis hin zu einer mathematisch strengen und modernen Darstellung, die sich von einer "Mathematik für Mathe matiker" höchstens durch einige Auslassungen und Ergänzungen unter scheidet. Wir haben uns daher bemüht, einen - wie wir hoffen brauchbaren Komprorniß zu finden, ohne jedoch auf mathematische Strenge mehr als unbedingt erforderlich zu verzichten. Mathematische Begriffe und Inhalt Vorbereitung, Zahlen ................................ . 1.1 Vorbereitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 .1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Die Menge fN der natürlichen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Abbildungen........................................ 7 1.1.4 Relationen .......................................... 8 1.1.5 Ungleichungen....................................... 9 1.1.6 Beweismethoden ..................................... 10 1.2 Reelle Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 1.2.1 Natürliche (positive ganze) Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 1.2.2 Negative ganze Zahlen, Null. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 1.2.3 Rationale Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 1.2.4 Reelle Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20 1.2.5 Potenzen, \Vurzeln, Logarithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28 1.3 Die Topologie der Menge IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30 1.3.1 Einige topologische Grundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30 1.3.2 Topologische Eigenschaften der Menge IR . . . . . . . . . . . . . . .. 35 1.4 Folgen und Reihen ................................... 37 1.4.1 Folgen reeller Zahlen ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38 1.4.2 Unendliche Reihen ................................... 42 1.5 Komplexe Zahlen .................................... 48 2 Vektorräume endlicher Dimension ..................... . 51 2.1 Vektoren im 51 2.2 Vektorräume endlicher Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59 2.3 Lineare Abbildungen ................................. 71 2.4 A1atrizen, Determinanten, Lineare Gleichungssysteme . . . .. 85 2.4.1 Matrizen ........................................... , 85 2.4.2 Determinanten....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96 2.4.3 Lineare Gleichungssysteme ............................ 107 3 Analysis einer reellen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 116 3.1 Funktionen. Stetigkeit. Funktionen-, insbesondere Potenzreihen 116 3.1.1 Funktionen .......................................... 116 3.1.2 Stetigkeit ............................................ 120 3.1.3 Potenzreihen ......................................... 130 3.2 Differentiation ....................................... 141 3.2.1 Die Ableitung von Funktionen ........................... 141 3.2.2 Differentiation von Funktionen-, speziell Potenzreihen ....... 152 3.2.3 Ableitungen höherer Ordnung. Taylorreihen .............. , 154 3.3 Integration .......................................... 163 3.3.1 Definition des bestimmten Riemann-Integrals .............. 163 VIII Inhalt 3.3.2 Das Lebesgue-Integral 168 3.3.3 Eigenschaften des bestimmten Riemann-Integrals ........ , 171 3.3.4 Das unbestimmte Riemann-Integral. Der Hauptsatz der Integralrechnung ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 174 3.3.5 Spezielle Integrationsmethoden ......................... 179 3.3.6 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184 4 Analysis mehrerer reellen Veränderlicher. Vektoranalysis . .. 189 4.1 Topologie des [Rn n > 1 ............................. 189 4.2 f: [Rn --10 fR n > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 192 4.2.1 Stetigkeit ........................................... 193 4.2.2 Partielle Ableitungen ................................. 195 4.2.3 Extremwerte ........................................ 209 4.2.4 Integration .......................................... 215 4.3 f: fR --10 [Rn n > 1 ................................... 225 4.3.1 Kurven ............................................. 225 4.3.2 Kurvenintegrale (Linienintegrale) ....................... 227 4.3.3 Vektorfunktionen .................................... 237 4.4 f: [Rn --10 [Rn n > 1 .................................. 241 4.4.1 Gebietstransformationen. Funktionaldeterminante ........ 241 4.4.2 Vektorfelder. Gradient, Divergenz, Rotation ............. 248 4.4.3 Krummlinige orthogonale Koordinaten ................. , 257 4.4.4 Integralsätze ........................................ 268 5 Euklidische und unitäre Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 289 5.1 Vektorräume mit Skalarprodukt ........................ 289 5.1.1 Funktionenräume .................................... 289 5.1.2 Skalarprodukt ....................................... 293 5.1.3 Orthogonale Polynomsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 299 5.2 Approximation in euklidischen (unitären) Räumen ........ 302 5.2.1 Vollständige Funktionensysteme ........................ 302 5.2.2 Distributionen. Diracsche 8-Funktion ................... 310 5.2.3 Vollständigkeit der orthogonalen Polynomsysteme ........ 319 5.3 Fourierreihen. Fourierintegral .......................... 324 5.3.1 Fourierreihen ....................................... 324 5.3.2 Fourierintegral ...................................... 334 5.4 Lineare Operatoren in euklidischen (unitären) Räumen . . . .. 341 5.4.1 Symmetrische (hermitische) Matrizen .................... 342 5.4.2 Orthogonale (unitäre) Transformationen ................ 347 5.4.3 Tensoren ........................................... 355 5.4.4 Eigenwerte. Eigenvektoren. Diagonalisierung ............. 365 Zitate .............................................. 381 Register ............................................ 383