Mathematik für Ökonomen: Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab

400 Pages·2015·3.81 MB·German

by  Wolfgang Kohn

Springer-Lehrbuch
Wolfgang Kohn • Riza Öztürk
Mathematik für Ökonomen
Ökonomische Anwendungen der linearen
Algebra und Analysis mit Scilab
3., erweiterte und überarbeitete Auflage
Wolfgang Kohn Riza Öztürk
Fachbereich Wirtschaft und Gesundheit Fachbereich Wirtschaft und Gesundheit
Fachhochschule Bielefeld Fachhochschule Bielefeld
Bielefeld, Deutschland Bielefeld, Deutschland
ISSN 0937-7433
Springer-Lehrbuch
ISBN 978-3-662-47124-1 ISBN 978-3-662-47125-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-47125-8
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Mathematics Subject Classi(cid:191) cation (2010): 9101, 91B02, 91B26, 9701
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FürunsereFamilien
undunsereEltern
Vorwort
Vorwortzur 3. verbesserten Auflage
Inder3.überarbeitetenundergänztenAuflageistdieinhaltlicheStrukturleichtver-
ändertunddasKapitelFinanzmathematikmitdenThemenRenditeberechnungund
Investitionsrechnungbei nicht-flacher Zinssatzstruktur sowie Margenbarwerteines
Kreditsergänzt.
Bielefeld,April2015 WolfgangKohnundRizaÖztürk
Vorwortzur 2. erweiterten und verbesserten Auflage
Wir habenden Text um die Kapitel Mengenlehreund Aussagenlogikerweitert. Es
erschien uns sinnvoll das Buch aufgrund der Erfahrungenaus der Lehre um diese
Grundlagen zu erweitern. Ferner haben wir versucht, den Text an einigen Stellen
besserzuformulieren,klarerzugliedernundFehlerzubereinigen,dieleiderimmer
auftretenkönnen.Wirhoffen,keineneuenerzeugtzuhaben.
Bielefeld,Januar2012 WolfgangKohnundRizaÖztürk
Vorwortzur 1. Auflage
IndiesemBuchhabenwirmathematischeGrundlagenfürÖkonomenzusammenge-
fasst. FormaleDefinitionen,Beweise undmathematischeSätzebefindensichkaum
imText,wohingegeneineHerleitungvonFormelnofterfolgt,diehoffentlichzuih-
rembesserenVerständnisführen.InderAnwendungstehenbetriebswirtschaftliche
AspekteimZentrum.
VIII Vorwort
Zeitgemäß werden aufwändigere Rechnungen mit einem Computerprogramm
durchgeführt. Das hier verwendete opensource Programm Scilab besitzt hervor-
ragendenumerischeEigenschaftenundermöglichtdieeinfacheUmsetzungderFor-
meln,insbesondereinderlinearenAlgebra.IndiesemProgrammkönnenauchVek-
torenoderMatrizenVariablensein.DiesisteingroßerVorteil,wennmandieRech-
nungen nachvollziehen möchte. An geeigneten Stellen im Text werden die Pro-
grammbefehlefür einzelne Berechnungenbeschrieben.Natürlich eignen sich auch
andereProgrammewiezumBeispielExcel,MapleoderMathematicafürdieBe-
rechnungen.Scilab(siehewww.scilab.org)stehtfürverschiedeneBetriebssy-
stemezurVerfügung.
TeilIenthälteinigeGrundlagenderMathematik,TeilIIführtindielineareAlge-
braundderenökonomischeAnwendungenein.InTeilIIIwirddieAnalysismitFi-
nanzmathematik,DifferentialrechnungundIntegralrechnungbehandelt.ImAnhang
(Teil IV) wird kurz das ProgrammScilab beschrieben.Ferner finden sich dortdie
LösungenzudenÜbungenausdenvorangegangenenKapiteln.
Die Kapitel 4 bis 10 und Teile von 11 bilden das Programmfür einen vier Se-
mesterwochenstunden(SWS)umfassendenKursineinembetriebswirtschaftlichori-
entiertenBachelorstudiengangmiteinemArbeitsäquivalentvon5europäischenAr-
beitspunkten(ECTS).DieKapitel3,11und12sindinKombinationmitweiterfüh-
rendenThemenfüreinenMasterstudienganggeeignet.
BesondererDankgebührtDiplom-VolkswirtinCocoRindt,Prof.Dr.RainerLenz
undDr.WolfgangRohde,diemitvielenKorrekturenundgutenVerbesserungenzum
GelingendesBuchesbeitrugen.
Bielefeld,Mai2009 WolfgangKohnundRizaÖztürk
Inhaltsverzeichnis
TeilI Grundlagen
1 MengenlehreundAussagenlogik ................................. 3
1.1 Vorbemerkung ............................................ 3
1.2 Mengen.................................................. 4
1.2.1 Mengenoperationen ................................ 7
1.2.2 Mengengesetze .................................... 10
1.2.3 Zahlenmengen..................................... 12
1.3 Aussagenlogik ............................................ 14
1.3.1 Logikoperatoren ................................... 14
1.3.2 Regeln ........................................... 16
1.3.3 GesetzederLogik.................................. 17
1.4 Fazit..................................................... 20
2 Funktionen .................................................... 21
2.1 Vorbemerkung ............................................ 21
2.2 Funktionsbegriff........................................... 22
2.3 FunktioneninScilab....................................... 25
2.4 BesonderemathematischeFunktionen......................... 27
2.4.1 Summenzeichen ................................... 27
2.4.2 Produktzeichen .................................... 30
2.4.3 Betragsfunktion.................................... 30
2.4.4 Ganzzahlfunktion .................................. 31
2.4.5 Potenz-undWurzelfunktion ......................... 31
2.4.6 Exponentialfunktionen.............................. 34
2.4.7 Logarithmusfunktion ............................... 37
2.4.8 AnwendunginScilab............................... 41
2.5 Fazit..................................................... 42
X Inhaltsverzeichnis
3 Kombinatorik.................................................. 43
3.1 Vorbemerkung ............................................ 43
3.2 FakultätundBinomialkoeffizient............................. 44
3.2.1 Fakultät .......................................... 44
3.2.2 Binomialkoeffizient ................................ 44
3.2.3 DefinitiondesBinomialkoeffizienteninScilab.......... 46
3.3 Permutation............................................... 46
3.3.1 PermutationohneWiederholung...................... 47
3.3.2 PermutationmitWiederholung ....................... 47
3.4 Variation ................................................. 48
3.4.1 VariationohneWiederholung ........................ 48
3.4.2 VariationmitWiederholung.......................... 49
3.5 Kombination.............................................. 50
3.5.1 KombinationohneWiederholung ..................... 50
3.5.2 KombinationmitWiederholung ...................... 51
3.6 Fazit..................................................... 54
TeilII LineareAlgebra
4 Vektoren....................................................... 57
4.1 Vorbemerkung ............................................ 57
4.2 EigenschaftenvonVektoren ................................. 58
4.3 OperationenmitVektoren................................... 60
4.3.1 Addition(Subtraktion)vonVektoren .................. 60
4.3.2 SkalaresVielfacheseinesVektors..................... 60
4.4 GeometrischeDarstellungvonVektoren....................... 61
4.5 LinearkombinationenundlineareAbhängigkeitvonVektoren..... 61
4.6 LinearunabhängigeVektorenundBasisvektoren................ 62
4.7 Skalarprodukt(inneresProdukt).............................. 64
4.8 VektoreninScilab......................................... 67
4.9 Fazit..................................................... 68
5 Matrizen ...................................................... 69
5.1 Vorbemerkung ............................................ 69
5.2 EinfacheMatrizen ......................................... 70
5.3 SpezielleMatrizen......................................... 70
5.4 OperationenmitMatrizen................................... 72
5.4.1 Addition(Subtraktion)vonMatrizen .................. 72
5.4.2 MultiplikationeinerMatrixmiteinemskalarenFaktor ... 73
5.4.3 MultiplikationvonMatrizen ......................... 73
5.5 ÖkonomischeAnwendung .................................. 74
5.6 MatrizenrechnungmitScilab................................ 78
5.7 Fazit..................................................... 79
Inhaltsverzeichnis XI
6 LineareGleichungssysteme ...................................... 81
6.1 Vorbemerkung ............................................ 82
6.2 InhomogenelineareGleichungssysteme ....................... 82
6.2.1 LösungeinesinhomogenenGleichungssystems ......... 83
6.2.2 LinearabhängigeGleichungenimGleichungssystem .... 85
6.2.3 LöseneinesGleichungssystemsmitdemGauß-Algorithmus 88
6.2.4 LöseneinesGleichungssystemsmitScilab............. 94
6.3 RangeinerMatrix ......................................... 94
6.3.1 EigenschaftdesRangs .............................. 95
6.3.2 RangundlinearesGleichungssystem .................. 95
6.3.3 BerechnungdesRangsmitScilab .................... 96
6.4 InverseeinerMatrix........................................ 96
6.4.1 EigenschaftderInversen ............................ 96
6.4.2 BerechnungderInversen ............................ 97
6.4.3 BerechnungvonInversenmitScilab .................. 99
6.5 ÖkonomischeAnwendung:Input-Output-Analyse .............. 99
6.5.1 KlassischeAnalyse................................. 99
6.5.2 Preisanalyse....................................... 102
6.5.3 LösenlinearerGleichungssystememitScilab........... 106
6.6 DeterminanteeinerMatrix .................................. 108
6.6.1 BerechnungvonDeterminanten ...................... 108
6.6.2 EinigeEigenschaftenvonDeterminanten .............. 111
6.6.3 BerechnungvonDeterminanteninScilab.............. 112
6.7 HomogeneGleichungssysteme............................... 112
6.7.1 Eigenwerte........................................ 112
6.7.2 Eigenvektoren ..................................... 113
6.7.3 EinigeEigenschaftenvonEigenwerten ................ 114
6.7.4 ÄhnlicheMatrizen ................................. 114
6.7.5 BerechnungvonEigenwertenundEigenvektorenmit
Scilab............................................ 116
6.8 Fazit..................................................... 117
7 LineareOptimierung ........................................... 119
7.1 Vorbemerkung ............................................ 119
7.2 FormulierungderGrundaufgabe ............................. 120
7.3 GrafischeMaximierung..................................... 123
7.4 Matrix-FormulierungderlinearenOptimierung................. 123
7.5 Simplex-MethodefürdieMaximierung ....................... 125
7.6 InterpretationdesSimplex-Endtableaus ....................... 129
7.7 SonderfälleimSimplex-Algorithmus ......................... 131
7.7.1 UnbeschränkteLösung.............................. 131
7.7.2 Degeneration...................................... 132
7.7.3 MehrdeutigeLösung................................ 133
7.8 ErweiterungendesSimplex-Algorithmus ...................... 133
7.8.1 BerücksichtigungvonGrößer-gleich-Beschränkungen.... 133