Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: Lineare Algebra und Analysis in R PDF
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Wilhelm Merz Peter Knabner Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler (cid:2) Lineare Algebra und Analysis in Springer-Lehrbuch · Wilhelm Merz Peter Knabner Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler R Lineare Algebra und Analysis in WilhelmMerz PeterKnabner UniversitätErlangen-Nürnberg DepartmentMathematik LehrstuhlAngewandteMathematik1 Erlangen Deutschland ISSN0937-7433 ISBN978-3-642-29979-7 ISBN978-3-642-29980-3(eBook) DOI10.1007/978-3-642-29980-3 MathematicsSubjectClassification(2010):15A03,15A06,15A18,26A06,26A24,26A42 DieDeutscheNationalbibliothek verzeichnet diesePublikation inderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum (cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2013 DiesesWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlich geschützt.JedeVerwertung,dienicht ausdrücklichvomUrheberrechtsgesetz zugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags. Das gilt insbesondere fürVervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und dieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungen usw.indiesemWerkbe- rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE. SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia www.springer-spektrum.de v Vorwort Wir gratulieren zum Kauf dieses Buches. Sie dürfen jetzt schon umblättern. Erlangen, August 2012 vi GeDANKEn zur Entstehung und Struktur MathematischeMethodengehörenseitjeherzumWerkzeugkasteneinesjeden Ingenieurs.GeradeimZeitalterdes rechnergestütztenEntwurfs,beidemim- mer mehr reale Experimente durch„virtuelle“ Experimente auf dem Compu- terersetztwerden,istihreBedeutungenormgestiegen,wobeinebendieklas- sischenanalytischenMethodenverstärktnumerischeMethodenalsGrundlage technischer Simulation treten. Angesichts der großenStofffülle ist es verführerischsich dem Gebiet in Form von„Kochrezepten“nähernzuwollen.DagegensindwirderMeinung,dassein erfolgreicherEinsatzmathematischerMethodennuraufeinemgrundlegenden VerständnisihrerHerleitungundZusammenhängeberuhenkann.Insofernist dervorliegendeTextbeiallerBemühungumVerständlichkeitauchvoneinem Anspruch an Genauigkeit getragen. So werden die meisten Aussagen bewiesen oder zumindest in Form von Be- weisideenverständlichgemacht.DamiteignetsichdiesesLehrbuch,überden Kreis der Studierenden der Ingenieurwissenschaftenhinaus, auch für Studie- rende naturwissenschaftlicher Fächer oder eines Lehramtsstudienganges mit Mathematik. Auch für Studierende von Mathematikstudiengängen ist der hier gewählte, und äußerst beispielbetonte Zugang überaus nützlich. Der vorgelegte Band umfasst den Stoff, wie er allgemein in den ersten bei- den Semestern in einer Ausbildung für Ingenieurstudierende gelehrt wird. Ein weiterer Band für die nächsten Semester wird in Kürze folgen. Darüber- hinaus ist ein Lösungsbuch geplant, das weitere Aufgaben und insbesondere Musterlösungen enthält. Im Rahmen der E-Book-Version der angesproche- nenBändeistaneineneuartigePräsentationvonAufgabenlösungeninForm von Videos gedacht. Die Aufgaben, die sich passgenau an jeden Abschnitt anschließen,sind größtenteilsder umfangreichenlokalenAufgabensammlung entnommen,einigeAufgabenstammenausderAufgabendatenbankderTech- nischenUniversitätDarmstadtodersindausanderenLehrbüchernentliehen. Der letztere Fall ist entsprechend zitiert. Sollte im Lauf der Jahre die Her- kunft einer Aufgabe „vergessen“ worden sein, bitten wir um entsprechende Hinweise. Wir danken der Firma Beratung & Coaching Anja Keitel für pfiffige Ideen, insbesonderefürdie Idee,dieLösungenvonAufgabeninderE-Book-Version per Video zu präsentieren. Danke sagen wir Herrn Ralf Gerstenlauer von der Firma audiomotion für die Produktion und Realsierung dieser Videos. DankenwollenwirauchHerrnDipl.-Math.FlorianFrankfürseinewertvollen Ratschläge und Hilfeleistungen zum Textverabeitungssystem LATEX. Ebenso gebührtderLektorinFrauTatjanaStrasservomSpringer-VerlagunserDank für das Korrekturlesendes Manuskriptes zu diesem Buch. vii Die Lehre der Mathematik für Studierende der Ingenieurwissenschaften hat eine lange Tradition an der Friedrich-Alexander-UniversitätErlangen-Nürn- berg, der »Technischen Universität Nordbayerns«. Mit der Gründung der TechnischenFakultätindenspäten1960erJahrenentstandenzweiLehrstühle in Angewandter Mathematik, deren Hauptlehraufgabe in diesem Unterricht bestand. Diese Basis hat sich seitdem nur leicht verbreitert. Aufgrund die- ser an anderen Orten unüblichen Konzentration auf wenige große Gruppen ist hier im Laufe der Jahre eine erhebliche Expertise entstanden. Hier sind insbesondere die Professoren Hans Grabmüller und Hans Strauß zu nennen sowieauchder Akademische DirektorPeter Mirschundder früh verstorbene OberratHorstLetz.DieAutorenstehenaufdenSchulterndieservierDozen- ten der ersten Generation: Die hier dargestellte Stoffauswahl und -anordnung und auch weite Teile der Darstellung wurde von diesen entwickelt und auch die Aufgabensammlung, aus der hier reichlich geschöpft wird, entstand schon zu großen Teilen. Die- ses damals eher ungewöhnliche Lehrkonzept wurde in Form von erst hand- schriftlichen,dannmit LATEXgeschriebenenSkripten dokumentiert,und fand soseineVerbreitungbeiStudierendenundDozentenauchweitüberErlangen hinaus. Während andernorts im Laufe der Zeit hervorragende Lehrbücher für Inge- nieurmathematik entstanden, ist dies in Erlangen weitestgehend versäumt worden. Der vorgelegte Band und seine Nachfolger sollen diese Lücke schlie- ßen und sind der genannten ersten Generation von Mathematikdozenten ge- widmet. Erlangen, August 2012 W. Merz, P. Knabner Inhaltsverzeichnis 1 Reelle Zahlen............................................. 1 1.1 Grundlagen aus der Logik ............................... 1 1.2 Aus der Mengenlehre ................................... 6 1.3 Abbildungen........................................... 14 1.4 Der Weg von N nach R.................................. 20 1.5 Arithmetische Eigenschaften in R......................... 24 1.6 Ordnungsaxiome und Ungleichungen ...................... 33 1.7 Vollständige Induktion .................................. 45 1.8 Vollständigkeitsaxiom................................... 55 1.9 Noble Zahlen .......................................... 59 1.10 Maschinenzahlen ....................................... 64 2 Komplexe Zahlen und Polynome.......................... 77 2.1 Mathematische Motivation und Definition ................. 77 2.2 Elementare Rechenoperationen in C ...................... 81 2.3 Polardarstellung komplexer Zahlen........................ 87 2.3.1 Praktische Anwendung der komplexen Zahlen........ 101 2.4 Polynome ............................................. 105 2.5 Nullstellen und Zerlegung von Polynomen ................. 114 2.6 Polynominterpolation ................................... 124 ix x Inhaltsverzeichnis 3 Zahlenfolgen und -reihen ................................. 137 3.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen............................. 137 3.2 Grenzwertsätze und Teilfolgen ........................... 148 3.3 Konvergenzkriterienfür Zahlenreihen ..................... 159 3.4 Produktreihen ......................................... 178 4 Lineare Algebra – Vektoren und Matrizen ................ 187 4.1 Lineare Gleichungssysteme............................... 187 4.2 Vektorrechnung und der Begriff des Vektorraums ........... 206 4.3 Untervektorräume ...................................... 214 4.4 Linearkombination...................................... 220 4.5 Dimension und Basis.................................... 231 4.6 Affine Unterräume (Untermannigfaltigkeiten) .............. 241 4.7 Skalarprodukte in Rn: Winkel und Längen................. 248 4.8 Orthogonalkomplementeund geometrische Anwendungen.... 259 4.9 Lineare Abbildungen, Kern und Bild...................... 272 4.10 Das Matrizenprodukt ................................... 289 4.11 Das Tensorprodukt und Anwendungen .................... 295 4.12 Die inverse Matrix...................................... 304 4.13 Spezielle Matrizen ...................................... 310 4.14 Lineare Ausgleichsprobleme.............................. 325 4.15 Determinanten ......................................... 327 4.16 Determinanten zur Volumenberechnung ................... 340 4.17 Determinanten und die Cramersche Regel ................ 345 4.18 Das Vektorprodukt ..................................... 352 4.19 Das Eigenwertproblem .................................. 360 5 Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen ........... 387 5.1 Elementare Funktionen.................................. 388 5.2 Grenzwerte von Funktionen einer reellen Veränderlichen..... 401 Inhaltsverzeichnis xi 5.3 Uneigentliche Grenzwerte von Funktionen einer reellen Veränderlichen ......................................... 416 5.4 Stetigkeit von Funktionen einer reellen Veränderlichen....... 422 5.5 Eigenschaften stetiger Funktionen ........................ 434 5.6 Monotone Funktionen, Umkehrfunktionen ................. 445 5.7 Umkehrung der Exponentialfunktion – Logarithmus......... 453 5.8 Umkehrung der x-Potenzen – n-te Wurzeln ................ 459 5.9 Umkehrung der Winkelfunktionen – zyklometrische Funktionen ........................................... 461 5.10 Umkehrung der Hyperbelfunktionen – Area–Funktionen ..... 471 6 Differentialrechnung in R ................................. 481 6.1 Der Ableitungsbegriff ................................... 481 6.2 Ableitungen elementarer Funktionen ...................... 487 6.3 Ableitungsregeln ....................................... 490 6.4 Ableitungen komplexwertiger Funktionen.................. 503 6.5 Höhere Ableitungen..................................... 507 6.6 Ableitungen von vektorwertigenFunktionen................ 509 6.7 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung................ 522 6.8 Die Regeln von L’Hospital ............................. 532 6.9 Der Satz von Taylor................................... 541 6.10 Extremwerte, Kurvendiskussion .......................... 550 6.11 Nullstellen und Fixpunkte ............................... 562 6.12 Numerische Differentiation............................... 577 7 Integration von Funktionen in R .......................... 583 7.1 Stammfunktionen und Integration ........................ 583 7.2 Integrationsregeln ...................................... 591 7.3 Das Riemann–Integral.................................. 618 7.4 Uneigentliche Integrale .................................. 639 7.5 Das Integralvergleichskriteriumvon Cauchy............... 646
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