Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium

819 Pages·1997·21.17 MB·German

by  Lothar Papula (auth.)

Lothar PapuIa
Mathematik für Ingenieure
und Naturwissenschaftler
Band2
Die drei Bände "Mathematik für Ingenieure
und Naturwissenschaftler" werden durch eine
Formelsammlung und ein Übungsbuch zu einem
Lehr- und Lernsystem ergänzt:
Lothar Papula
"Mathematische Formelsammlung
für Ingenieure und Naturwissenschaftler"
Mit zahlreichen Abbildungen und Rechenbeispielen
und einer ausführlichen Integraltafel
"Mathematik für Ingenieure
und Naturwissenschaftler
Übungen"
Anwendungsorientierte Übungsaufgaben
aus Naturwissenschaft und Technik
mit ausführlichen Lösungen
Lothar Papula
Mathematik
für Ingenieure und
Naturwissenschaftler
Band2
Ein Lehr- und Arbeitsbuch
für das Grundstudium
8., verbesserte Auflage
Mit zahlreichen Beispielen
aus N aturwissenschaft und Technik,
377 Abbildungen und 310 Übungsaufgaben
mit ausführlichen Lösungen
I I
vleweg
1. Auflage 1983
2., durehgesehene Auflage 1984, Naehdruek 1985
3., durehgesehene Auflage 1986, Naehdruek 1986, Naehdruek 1987
4., durehgesehene und erweiterte Auflage 1988, Naehdruek 1989
5., verbesserte Auflage 1990
6., verbesserte Auflage 1991, Naehdruek 1992, 1993
7., überarbeitete und erweiterte Auflage 1994
8., verbesserte Auflage 1997
ISBN 978-3-528-74237-9 ISBN 978-3-322-91937-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91937-3
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Gedruekt auf säurefreiem Papier
v
Vorwort
Das dreibändige Werk Mathematik mr Ingenieure und Naturwissensehaftler ist ein Lehr
und Arbeitsbuch für das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschaftlich-tech
nischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematisehe Formel
sammlung und ein Übungsbuch mit ausschlieBlich anwendungsorientierten Aufgaben zu
einem kompakten Lehr- und Lernsystem ergänzt. Die Bände 1 und 2 lassen sich dem
Grundstudium zuordnen, während der dritte Band spezieIle Themen aus dem Haupt
studium behandelt.
Zur Stoffauswahl des zweiten Bandes
Aufbauend auf den im ersten Band dargesteIlten Grundlagen (Gleichungen und lineare
Gleichungssysteme, Vektoralgebra, Funktionen und Kurven, Differential- und Integral
rechnung für Funktionen von einer VariabIen, Potenzreihenentwicklungen) werden in
dem vorliegenden zweiten Band folgende Stoffgebiete behandelt:
• Lineare AIgebra: ReeIle und komplexe Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungs
systeme, Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
• Fourier-Reihen
• Komplexe Zahlen und Funktionen: Komplexe Rechnung, Anwendungen auf Schwin
gungen und Wechselstromkreise, Ortskurven
• Differential- und Integralrechnung mr Funktionen von mehreren VariabIen: PartieIle
Ableitungen, totales Differential, Anwendungen (relative Extremwerte, Extremwert
aufgaben mit Nebenbedingungen, "lineare Fehlerfortpflanzung"), Doppel-und Drei
fachintegrale mit Anwendungen
• Gewöhnliche Differentialgleichungen: Lineare Differentialgleichungen 1., 2. und n-ter
Ordnung, Anwendungen insbesondere in der Schwingungslehre, numerische Integra
tion gewöhnlicher Differentialgleichungen, Systeme linearer Differentialgleichungen
• Laplace-Transformation
Zur Darstellung des Stoffes
Auch in diesem Band wird eine anschauliche, anwendungsorientierte und leieht verständ
liche DarsteIlungsform des mathematischen Stoffes gewählt. Begriffe, Zusammenhänge,
Sätze und Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Tech
nik und anhand vieler Abbildungen näher erläutert.
Einen wesentlichen Bestandteil diese Werkes bilden die Übungsau!gaben am Ende eines
jeden KapiteIs (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einüben und Vertiefen des
Stoffes. Die im Anhang dargesteIlten und ausführlich kommentierten Lösungen ermög
lichen dem Leser eine ständige SelbstkontroIle.
VI Vorwort
Zur äu6eren Form
Zentrale Inhalte wie Definitionen, Sätze, Formeln, Tabelien, Zusammenfassungen und
Beispiele sind besonders hervorgehoben:
• Definitionen und Sätze, Formeln und Zusammenfassungen sind gerahmt und grau
unterlegt.
• Tabellen sind gerahmt und teilweise grau unterlegt.
• Anfang und Ende eines Beispiels sind durch das Symbol _ gekennzeichnet.
Bei der (bildlichen) Darstellung von Flächen und räumlichen Körpern werden Grau
raster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, um besonders anschauliche und aussage
kräftige Bilder zu erhalten.
Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen
In zunehmendem MaJ3e werden leistungsfähige Computeralgebra-Programme wie z. B.
DERIVE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Lösung kom
pakter naturwissenschaftlich-technischer Prob1eme in Praxis und Wissenschaft erfolg
reich eingesetzt. So1che Programme können bereits im Grundstudium ein nützliches und
sinnvolles Hilfsmittel sein und so z. B. als eine Art "Kontrollinstanz" beim Lösen von
Übungsaufgaben verwendet werden (Überprüfung der von Hand ermittelten Lösungen
mit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem
Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos lösen.
Eine Bitte des Autors
Für Hinweise und Anregungen - insbesondere auch aus dem Kreis der Studenten - bin
ich stets sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe für die
stetige Verbesserung des Lehrwerkes.
Ein Wort des Dankes ...
· .. an meine Frau Gabriele, die mit unermüdlicher Geduld und groJ3er Sorgfalt anfal
lende Schreib- und Korrekturarbeiten erledigt hat,
... an alle Fachkollegen und Studenten, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbes
serung dieses Werkes beigetragen haben,
· .. an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Herrn Wolfgang Nieger und
Herrn Ewald Schmitt, für die hervorragende Zusammenarbeit während der Entstehung
und Drucklegung dieses Werkes.
Wiesbaden, im Frühjahr 1997 Lothar Papula
VII
Inhaltsverzeichnis
I Lineare AIgebra ................................................... .
1 Matrizen ........................................................... 1
1.1 Ein einführendes Beispiel ......................................... 1
1.2 Definition einer Matrix ........................................... 2
1.3 Transponierte einer Matrix ........................................ 6
1.4 Spezielle quadratisehe Matrizen .................................... 7
1.4.1 Diagonalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Dreieeksmatrix ............................................. 8
1.4.4 Symmetrisehe Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.5 Sehiefsymmetrisehe Matrix ................................... 10
1.5 Gleiehheit von Matrizen .......................................... 11
1.6 Reehenoperationen für Matrizen ................................... 11
1.6.1 Addition und Subtraktion von Matrizen ....................... 12
1.6.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.3 Multiplikation von Matrizen ................................. 14
2 Determinanten ...................................................... 19
2.1 Ein einführendes Beispiel ......................................... 19
2.2 Zweireihige Determinanten ........................................ 21
2.2.1 Definition einer zweireihigen Determinante ..................... 21
2.2.2 Eigensehaften zweireihiger Deterrninanten ...................... 22
2.3 Dreireihige Deterrninanten ........................................ 30
2.3.1 Definition einer dreireihigen Deterrninante ..................... 30
2.3.2 Entwieklung einer dreireihigen Deterrninante naeh Unterdeter- .
minanten (Laplaeeseher Entwieklungssatz) ..................... 33
2.4 Deterrninanten höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Definition einer n-reihigen Determinante ....................... 37
2.4.2 Laplaeeseher Entwieklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.3 Reehenregeln für n-reihige Deterrninanten ...................... 43
2.4.4 Regeln zur praktisehen Bereehnung einer n-reihigen Deterrninante. 46
3 Ergänzungen ........................................................ 50
3.1 Reguläre Matrix ................................................. 50
3.2 Inverse Matrix .................................................. 51
3.3 Orthogonale Matrix .............................................. 54
3.4 Rang einer Matrix ............................................... 59
VIII lnhal tsverzeichnis
4 Lineare Gleichungssysteme 65
4.1 Allgemeine Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Gau13scher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems .............. 72
4.4 Lösungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems ...... 79
4.4.1 Inhomogenes lineares (n,n)-System ............................ 79
4.4.2 Homogenes lineares (n,n)-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.3 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5 Berechnung einer inversen Matrix nach dem Gau13schen Algorithmus
(Gau13-1ordan-Verfahren) ......................................... 89
4.6 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren .............................. 91
4.6.1 Ein einführendes Beispiel .................................... 91
4.6.2 Linear unabhängige bzw. abhängige Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6.3 Kriterien für die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ........... 95
4.7 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes .... 100
5 Komplexe Matrizen .................................................. 101
5.1 Ein einführendes Beispiel ......................................... 102
5.2 Definition einer komplexen Matrix ................................. 103
5.3 Rechenoperationen und Rechenregeln für komplexe Matrizen .......... 104
5.4 Konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix .......... 106
5.5 Spezielle komplexe Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109
5.5.1 Hermitesche Matrix ......................................... 109
5.5.2 Schiefhermitesche Matrix .................................... 112
5.5.3 Unitäre Matrix... .. . .. . . . ............ . . . ....... . . . .. ....... 114
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . .. 116
6.1 Ein einführendes Beispiel ......................................... 116
6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2-reihigen Matrix ................ 121
6.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer n-reihigen Matrix ................ 128
6.4 Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller Matrizen .................... 134
6.4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix 134
6.4.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix ....... 136
6.4.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix ........ 138
6.5 Ein Anwendungsbeispiel: Normalschwingungen gekoppelter mechanischer
Systeme ........................................................ 140
Übungsaufgaben ....................................................... 142
Zu Abschnitt 1 ...................................................... 142
Zu Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143
Zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 146
Zu Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149
Zu Abschnitt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153
Zu Abschnitt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155
Inhaltsverzeiehnis IX
II Fourier-Reihen 158
1 Fourier-Reihe einer perodischen Funktion ................................ 158
1.1 Einleitung ...................................................... 158
1.2 Entwieklung einer periodisehen Funktion in einer Fourier-Reihe . . . . . . .. 160
2 Anwendungen ....................................................... 171
2.1 Fourier-Zerlegung einer Sehwingung (harmonisehe Analyse) ........... 171
2.2 Zusammenstellung wiehtiger Fourier-Reihen ......................... 173
2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Fourier-Zerlegung einer Kippspannung ....... 174
Übungsaufgaben ....................................................... 178
Zu Absehnitt 1 ...................................................... 178
Zu Absehnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 180
III Komplexe Zahlen und Funktionen ................................. 182
1 Definition und DarsteUung einer komplexen Zahl ......................... 182
1.1 Definition einer komplexen Zahl ................................... 182
1.2 Die GauBsehe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184
1.3 Weitere Grundbegriffe ............................................ 188
1.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl ........................... 191
1.4.1 AIgebraisehe oder kartesisehe Form ........................... 191
1.4.2 Trigonometrisehe Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 191
1.4.3 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 194
1.4.4 Zusammenstellung der versehiedenen Darstellungsformen . . . . . . . .. 196
1.4.5 Umreehnungen zwisehen den Darstellungsformen ............... 197
1.4.5.1 Umreehnung: Polarform -> Kartesisehe Form............ 197
1.4.5.2 Umreehnung: Kartesisehe Form -> Polarform ............ 199
2 Komplexe Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 203
2.1 Die vier Grundreehenarten für komplexe Zahlen ..................... 203
2.1.1 Vorbetraehtungen ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 203
2.1.2 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen ................... 204
2.1.2.1 Definition von Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . .. 204
2.1.2.2 Geometrisehe Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
2.1.3 Multiplikation und Division komplexer Zahlen ................. 206
2.1.3.1 Definition von Multiplikation und Division .... . . . . . . . . .. 206
2.1.3.2 Multiplikation und Division in trigonometriseher und
exponentieller Darstellung ............................. 209
2.1.3.3 Geometrisehe Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210
2.1.4 Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung) .......... 216
x Inhaltsverzeiehnis
2.2 Potenzieren ..................................................... 216
2.3 Radizieren (Wurzelziehen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 219
2.4 Natürlieher Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 225
3 Anwendungen der komplexen Rechnung ................................. 227
3.1 Symbolisehe Darstellung von Sehwingungen im Zeigerdiagramm ....... 227
3.1.1 Darstellung einer Sehwingung durch einen rotierenden komplexen
Zeiger ..................................................... 227
3.1.2 Ungestörte Überlagerung von Sehwingungen gleieher Frequenz ... 231
3.1.3 Anwendungsbeispiele aus Meehanik und Elektroteehnik . . . . . . . . .. 234
3.1.3.1 Überlagerung zweier harmoniseher Sehwingungen ........ 234
3.1.3.2 Überlagerung gleiehfrequenter Weehselspannungen . . . . . . .. 236
3.2 Symbolisehe Bereehnung eine s Weehselstromkreises ................... 237
3.2.1 Das Ohmsehe Gesetz der Weehselstromteehnik . . . . . . . . . . . . . . . . .. 237
3.2.2 Widerstands- und Leitwertoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 239
3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Der Weehselstromkreis in Reihen-
sehaltung .................................................. 244
4 Ortskurven ......................................................... 248
4.1 Ein einführendes Beispiel ......................................... 248
4.2 Ortskurven einer parameterabhängigen komplexen GröBe (Zahl) ....... 249
4.3 Anwendungsbeispiele: Einfaehe Netzwerkfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253
4.3.1 Reihensehaltung aus einem ohmsehen Widerstand und einer
Induktivität (Widerstandsortskurve) ........................... 253
4.3.2 Parallelsehaltung aus einem ohmsehen Widerstand und einer
Kapazität (Leitwertortskurve) ................................ 254
4.4 Inversion einer Ortskurve ......................................... 255
4.4.1 Inversion einer komplexen GröBe (Zahl) ....................... 255
4.4.2 Inversionsregeln ............................................ 257
4.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve ... 259
Übungsaufgaben ....................................................... 262
Zu Absehnitt 1 ...................................................... 262
Zu Absehnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 263
Zu Absehnitt 3 ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 265
Zu Absehnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 267
IV Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren
Variablen ........................................................ 269
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung ................... 269
1.1 Definition einer Funktion von mehreren VariabIen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269
1.2 Darstellungsformen einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 272