Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: Band 1: Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium

691 Pages·1998·17.35 MB·German

by  Lothar Papula (auth.)

Lothar Papula
Mathematik fiir Ingenieure
und Naturwissenschaftler
Bandl
Die drei Bande "Mathematik fiir Ingenieure
und Naturwissenschaftler" werden durch eine
Formelsammlung und ein Ubungsbuch zu einem
Lehr- und Lernsystem erganzt:
Lothar Papula
"Mathematische Formelsammlung
fur Ingenieure und Naturwissenschaftler"
Mit zahlreichen Abbildungen und Rechenbeispielen
und einer ausftihrlichen Integraltafel
"Mathematik fUr Ingenieure
und Naturwissenschaftler
Ubungen"
Anwendungsorientierte Ubungsaufgaben
aus Naturwissenschaft und Technik
mit ausfiihrlichen Losungen
Lothar Papula
Mathematik
fiir Iogeoieure uod
N aturwissenschaftler
Bandl
Ein Lehr- nnd Arbeitsbnch
fiir das Grnndstndinm
8., verbesserte Auflage
Mit zahlreichen Beispielen
aus Naturwissenschaft und Technik,
485 Abbildungen und 302 Ubungsaufgaben
mit ausfiihrlichen Losungen
I I
Vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Papula, Lothar:
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler:
ein Lehr-und Arbeitsbuch für das Grundstudium; mit
zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik /
Lothar Papula. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg.
(Viewegs Fachbücher der Technik)
Früher u.d.T.: Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure
Bd. 1. Mit 302 Übungsaufgaben mit ausführlichen
Lösungen. - 8., verb. Auf!. - 1998
ISBN 978-3-528-74236-2 ISBN 978-3-322-91906-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91906-9
1. Auflage 1983
2., durchgesehene Auflage 1984
1 Nachdruck
3., durchgesehene Auflage 1986
2 Nachdrucke
4., durchgesehene und erweiterte Auflage 1988
1 Nachdruck
5., verbesserte Auflage 1990
6., verbesserte Auflage 1991
3 Nachdrucke
7., überarbeitete und erweiterte Auflage 1996
8., verbesserte Auflage 1998
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1998
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Technische Redaktion und Layout: Wolfgang Nieger, Wiesbaden
Gedruckt auf säurefreiem Papier
v
Vorwort
Das dreibandige Werk Mathematik fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler ist ein Lehr
und Arbeitsbuch fUr das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschaftlich-tech
nischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formel
sammlung und ein Ubungsbuch mit ausschlieBIich anwendungsorientierten Aufgaben zu
einem kompakten Lehr- und Lernsystem erganzt. Die Bande 1 und 2 lassen sich dem
Grundstudium zuordnen, wahrend Band 3 spezieIIe Themen aus dem Hauptstudium be
handelt.
Zur Stoffauswahl des ersten Bandes
Die Erfahrungen der letzten Jahre zeigen, daB die Studienanfanger nach wie vor iiber sehr
unterschiedliche und in der Regel nicht ausreichende mathematische Grundkenntnisse
verfiigen. Insbesondere in der Algebra bestehen groBe Defizite. Die Griinde hierfUr liegen
u. a. in der VerI age rung der Schwerpunkte in der Schulmathematik und der Abwahl des
Faches Mathematik als Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe. Ein nahtloser und
erfolgreicher Ubergang von der Schule zur Hochschule ist daher ohne zusiitzliche HiIfen
kaum moglich. Dieser erste Band des Lehr- und Lernsystems leistet die dringend beno
tigte "HilfesteIIung" durch Einbeziehung bestimmter Gebiete der Elementarmathematik
in das Grundstudium und schafft somit die Voraussetzung fUr eine tragfiihige Verbin
dung ("Briicke") zwischen Schule und Hochschule, ein Konzept, das sich bereits in der
Vergangenheit bestens bewahrt hat und deshalb konsequent beibehalten wird.
1m vorliegenden (didaktisch iiberarbeiteten) ersten Band werden daher nach wie vor die
folgenden Stoffgebiete behandeIt:
• Allgemeine Grundlagen (u.a. Gleichungen und Ungleichungen, lineare Gleichungs
systeme, binomischer Lehrsatz)
• Vektoralgebra (zunachst in der sehr anschaulichen Ebene und dann im Raum)
• Funktionen und Kurven (als wichtigste Grundlage fUr die Differential- und Integral-
rechnung)
• DifferentialreChnung } (mit zahlreichen Anwendungen aus Naturwissenschaft
• Integralrechnung und Technik)
• Potenzreihenentwicklungen (Mac Laurinsche und Taylorsche Reihen)
Eine Ubersicht iiber die Inhalte der Bande 2 und 3 erfolgt im AnschluB an das Inhalts
verzeichnis.
VI Vorwort
Zur Darstellung des Stoffes
Bei der Darstellung der mathematischen Stoffgebiete wurde von den folgenden Uber
legungen ausgegangen:
• Mathematische Methoden spielen zwar in den naturwissenschaftlich-technischen
Disziplinen eine bedeutende Rolle, bleiben jedoch in erster Linie ein (unverzichtbares)
Hilfsmittel.
• Aufgrund der veriinderten Eingangsvoraussetzungen und der damit verbundenen
Defizite sollte der Studienanfiinger nicht iiberfordert werden.
Es wurde daher eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht verstiindliche Dar
stellungsform des mathematischen Stoffes gewiihlt. Begriffe, Zusammenhiinge, Siitze und
Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und
anhand vieler Abbildungen niiher erliiutert.
Einen wesentlichen Bestandteil dieses Werkes bilden die Ubungsau!gaben am Ende eines
jeden Kapitels (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einiiben und Vertiefen des
Stoffes. Die im Anhang dargestellten (und zum Teil ausfiihrlich kommentierten) Losun
gen ermoglichen dem Leser eine stiindige Selbstkontrolle.
Zur auHeren Form
Zentrale Inhalte wie Definitionen, Siitze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen und
Beispiele sind besonders hervorgeho ben:
• Definitionen, Siitze, Formeln, Tabellen und Zusammenfassungen sind gerahmt und
grau unterlegt.
• Anfang und Ende eines Beispiels sind durch das Symbol _ gekennzeichnet.
Bei der (bildlichen) Darstellung von Fliichen und riiumlichen Korpern wurden Grau
raster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, urn besonders anschauliche und aussage
kriiftige Bilder zu erhalten.
Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen
In zunehmendem Mafie werden leistungsfiihige Computeralgebra-Programme wie z. B.
DERIVE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Losung kom
pakter naturwissenschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolg
reich eingesetzt. Solche Programme konnen bereits im Grundstudium ein niitzliches und
sinnvolles Hilfsmittel sein und so z. B. als eine Art "Kontrollinstanz" beim Losen von
Ubungsaufgaben verwendet werden (Uberpriifung der von Hand ermittelten Losungen
mit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem
Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos losen.
Vorwort VII
Eine Bitte des Autors
Fiir Hinweise und Anregungen - insbesondere auch aus dem Kreis der Studenten - bin
ich stets sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fiir die
stetige Verbesserung dieses Lehrwerkes.
Ein Wort des Dankes ...
. .. an meine Frau Gabriele, die mit unermiidlicher Geduld und groBer Sorgfalt anfal
lende Schreib- und Korrekturarbeiten erledigt hat,
... an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Herrn Wolfgang Nieger und
Herrn Ewald Schmitt, fiir die hervorragende Zusammenarbeit wiihrend der Entstehung
und Drucklegung dieses Werkes.
Wiesbaden, Januar 1998 Lothar Papula
VIII
Inhaltsverzeichnis
I Allgemeine Grundlagen ............................................ .
1 Einige grundlegende Begriffe tiber Mengen .............................. .
1.1 Definition und Darstellung einer Menge ............................ .
1.2 Mengenoperationen .............................................. 3
2 Die Menge der reeUen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag ........................ 7
2.3 Teilmengen und Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Lineare Gleichungen ............................................. 10
3.2 Quadratische Gleichungen ........................................ 10
3.3 Gleichungen 3. und h6heren Grades ................................ 11
3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ ax3 + bx2 + ex = 0 ., 12
3.3.3 Bi-quadratische Gleichungen ................................. 12
3.4 Wurze1gleichungen ............................................... 13
3.5 Betragsgleichungen ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5.1 Definition der Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5.2 Analytische L6sung einer Betragsgleichung durch
Fallunterscheidung (Beispiel) ................................. 17
3.5.3 L6sung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege
(Beispiel) .................................................. 18
4 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Lineare Gleichungssysteme ............................................ 21
5.1 Ein einfUhrendes Beispiel ......................................... 21
5.2 Der GauJ3sche Algorithmus ....................................... 24
5.3 Ein Anwendungsbeispiei: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes .... 33
6 Der Binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Inhaltsverzeichnis IX
Ubungsaufgaben ....................................................... 39
Zu Abschnitt 1 und 2 ................................................ 39
Zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Zu Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Zu Abschnitt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Zu Abschnitt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II Vektoralgebra 43
1 Grundbegriffe ....................................................... 43
1.1 Definition eines Vektors .......................................... 43
1.2 Gleichheit von Vektoren .......................................... 44
1.3 Parallele, anti-paralle1e und kollineare Vektoren ...................... 45
1.4 Vektoroperationen ............................................... 46
1.4.1 Addition von Vektoren ...................................... 46
1.4.2 Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar .................. 50
2 Vektorrechnung in der Ebene .......................................... 52
2.1 Komponentendarstellung eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Darstellung der Vektoroperationen ................................. 56
2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar .................. 56
2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren ....................... 57
2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren .................................... 59
2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes· . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren ............................... 62
2.4 Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kriiftesystems ..... 65
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum ............................... 67
3.1 Komponentendarstellung eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Darstellung der Vektoroperationen ................................. 72
3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar .................. 72
3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren ....................... 73
3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren .................................... 76
3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes ............... 76
3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren ............................... 79
3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors ................................ 80
3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor ............... 82
3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren .................................... 86
3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.2 Anwendungsbeispiele ........................................ 92
x Inhal tsverzeichnis
3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.2.2 Bewegung von Ladungstriigern in einem Magnetfeld
(Lorentz-Kraft) ...................................... 93
3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Anwendungen in der Geometrie ........................................ 98
4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden ......................... 98
4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden ............................. 100
4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden .................... .. 101
4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden ............................ 103
4.1.5 Abstand zweier wind schiefer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105
4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . .. 107
4.2 Vektorielle Darstellung einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109
4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene ........................... 109
4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene ............................... 112
4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor ............... 114
4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene ........................ 115
4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene ....................... 117
4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene . . .. 119
4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen ............................. 122
4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen ................. 124
Ubungsaufgaben ....................................................... 128
Zu Abschnitt 2 und 3 ................................................ 128
Zu Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132
III Funktionen und Kurven ........................................... 137
1 Definition und Darstellung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 137
1.1 DefinitioneinerFunktion ......................................... 137
1.2 Darstellungsformen einer Funktion .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138
1.2.1 Analytische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138
1.2.2 Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel) . . . . . . . . . . . .. 138
1.2.3 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138
1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion .......................... 140
2 Allgemeine Funktionseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141
2.1 Nullstellen ...................................................... 141
2.2 Symmetrieverhalten .............................................. 142
2.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144
2.4 Periodizitiit ..................................................... 147
2.5 Umkehrfunktion oder inverse Funktion ............................. 148