Mathematik für Ingenieure mit Maple: Band 1: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen

511 Pages·1996·11.9 MB·German

by  Professor Dr. Thomas Westermann (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Thomas Westermann
Mathematik
für Ingenieure mit Maple
Band 1:
Differential- und Integralrechnung für
Funktionen einer Variablen,Vektor- und
Matrizenrechnung, KomplexeZahlen,
Funktionenreihen
Mit 300Abbildungen,
262Aufgaben und
und Lösungen
, Springer
ProfessorDr.ThomasWestermann
FachhochschuleKarlsruhe-
HochschulefürTechnik
Fb.Naturwissenschaften
Postfach2440
76012Karlsruhe
E-mail:[email protected]
DiedeutscheBibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
Westermann,Thomas
Mathematikfür Ingenieuremit Maple1ThomasWestermann.- Berlin ;Heidelberg;
NewYork;Barcelona;Budapest;Hongkong;London;Mailand;Paris;Santa Clara;
Tokyo:Springer.
(Springer-Lehrbuch)
Bd.1.Differential-undIntegralrechnungfürFunktioneneinerVariablen,Vektor-und
Matrizenrechnung,KomplexeZahlen,Punktionenreihen.cççë
ISBN978-3-540-61249-0 ISBN978-3-662-08560-8(eBook)
DOl 10.1007/978-3-662-08560-8
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sondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von
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© Springer-VerlagBerlin Heidelberg1996
UrsprünglicherschienenbeiSpringer-VerlagBerlinHeidelbergNewVork1996.
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Vorwort
Dieses zweibandige Lehrbuch entstand aus Vorlesungen und Obungen zur Ma
thematik und Physikalischen Simulation fur Ingenieure des Studienganges Sen
sorsystemtechnik an der Fachhochschule Karlsruhe. Es wendet sich aber an aile
Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften, da auch Themengebiete ein
bezogen sind, die nicht bzw. nicht in der vorliegenden Tiefe in der Vorlesung
behandelt wurden.
Die Themengebiete sind so aufbereitet, daB Studenten sie auch im Selbststudium
leicht bearbeiten konnen. 1mersten Band sind mehr als 450 Beispiele ausfuhrlich
durchgerechnet und zusatzlich 260 Aufgaben mit Losungen angegeben. Wichtige
Formeln und Lehrsatze werden deutlich hervorgehoben, um die Lesbarkeit des
Buches zu erhohen, Mehr als 300 Abbildungen und Skizzen tragen dem Lehr
buchcharakter Rechnung.
Die stiirmische Entwicklung von Computersoftware im Bereich der Mathematik
erfordert eine Erweiterung der Ingenieur-Ausbildung, indem nicht nur praxisori
entiertes mathematisches Wissen, sondem auch das Riistzeug vermittelt wird, mit
diesen Systemen erfolgreich arbeiten zu konnen. Die Computeralgebra-Systeme
haben den mathematischen Alltag eines Ingenieurs grundlegend erweitert und be
reichert.Sie werden zum numerischen Rechnengenauso verwendet wie zum Rech
nen mit Formeln sowie der graphischen Darstellung komplizierter Sachverhalte.
Die Rechentechnik tritt in den Hintergrund; die interessante Modellierung und das
systematische Vorgehen gewinnt an Bedeutung. In diesem Lehrbuch wird dieser
neue spannende Aspekt aufgegriffen und das Computeralgebra-System MAPLE in
die Mathematikausbildung mit einbezogen.
Mathematische Begriffe werden anschaulich motiviert, systematisch anhand pra
xisbezogener Beispiele verdeutlicht und mit MAPLE umgesetzt,was sich in vielen
Animationen niederschlagt. Auf mathematische Beweise wird fast ganzlich ver
zichtet und eineranschaulich pragnanten Sprechweiseden Vorzug gegeniibereiner
mathematisch exakten Formulierung gegeben.
Um den standig wachsenden Gebrauch von Rechnern und numerischen Problem
losungen zu beriicksichtigen, wurden zwei Kapitel zur rechnerischen Losung von
Standard-Problemen in dieses Mathematikbuch aufgenommen. Die numerischen
Algorithmen sind als Pascal-Quellprogramme aufder beigelegten CD-ROM ent
halten, konnen abervon etwasgeubten Programmierern leicht injedeandere hohe
re Sprache umgesetzt werden.
Obwohl die unterschiedlichen Stadien der Manuskripte oftmals Korrektur gelesen
wurden, lassen sich Fehler bei der Abfassung eines umfangreichen Textes nicht
vermeiden.Ober Hinweiseaufnoch vorhandene Fehleristder Autordankbar. Aber
VI
auch Verbesserungsvorschlage, nutzliche Hinweise und erfrischende Anregungen
besonders von studentischen Kreisen sind sehr erwunscht und konnen dem Autor
z.B. uber [email protected] oder per Post zugesendet werden.
Das vorliegende Buch wurde vollstandig in Jb.TEX unter dem Textverarbeitungs
programm Scientific WorkPlace erstellt. Ohne die engagierte Mithilfe und Mitar
beit vieler bereitwilliger Helfer ware das Buch in seiner vorliegenden Form nicht
moglich gewesen. Besonders bedanken rnochte ich mich bei Herrn F. Wohlfahrt
und Frau Raviol fur die prazise und fehlerfreie Erstellung des Jb.TEX-Quelltextes
mit all den vielen Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler fur die exzellente
Erstellung der meisten Skizzen und Bilder unter CorelDraw, so wie der Autor sie
sich vorgestellt hat, und dem teilweise muhevollen Einbinden auch der MAPLE
Bilder in das Jb.TEX-System sowie Herrn A. Kapplein fur die Bereitstellung des
Jb.TEX-Styles. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag fur die angenehme und
reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle.
Zuletzt mochte ich mich bei meiner Familie (Ulrike, Veronika, Juliane) bedanken,
die mit viel Verstandnis meine Arbeit an diesem Buch mitgetragen und tatkraftig
unterstiitzt hat.
Karlsruhe, im Juni 1996 Thomas Westermann
Hinweise zurn Gebrauch dieses Buches
Das gesamte Werk ist inzwei Bande undjederBand ineinzelne Kapitel aufgeteilt.
Die Kapitel fassen mehrere Aspekte einerThematik zusammen.Nicht immer lieB
es sich vermeiden, Teilergebnisse aus spateren Kapiteln vorwegzunehmen und zu
verwenden. Oem didaktischen Anliegen, Themenbereiche geschlossen in einem
Block zu bearbeiten, wurde dabei starkere Prioritat als der mathematischen Stren
ge beigemessen.Die Reihenfolge innerhalb eines Vorlesungszyklus muBsich nicht
an die im Buch gewahlte Reihenfolge halten, einzelne Kapitel konnen auch auf
gesplittet werden.
Neu eingefiihrte Begriffe werden kursiv im Text markiert und zumeist in einer
Definition fett spezifiziert. Lehrsatze, wichtige Formeln und Zusammenfassungen
sind durch Umrahmungen besonders gekennzeichnet.
Dieses Buch ist ein Lehrbuch tiber Mathematik und kann ohne Rechner zum
Erlemen von mathematischem Grundwissen oder zur Prufungsvorbereitungheran
gezogenwerden.Urnden vollen Umfang und die ganze Schonheitder Mathematik
und der Anwendungen zu erleben,sind die Animationen und Ausarbeitungen mit
dem Computeralgebra-System MAPLEunverzichtbar. Nur wenn eine Animation
als Animation erlebt wird, kommt die volle Erkenntnis zum Tragen. Dieses Buch
kann auch als eine themengebundene Einfiihrung in die Anwendung von MAPLE
in der Mathematik gesehen werden, da samtliche Themengebiete des Buches mit
MAPLEbearbeitetwerden. Aile MAPLE-Befehlesind imText fett hervorgehoben;
die MAPLE-Syntax erkennt man an der Eingabeaufforderung ">" zu Beginn einer
Zeile. Diese MAPLE-Zeilen sind im Textstil sans serif angegeben und konnen
direkt in MAPLEeingegeben werden. Die MAPLE-Ausgabe erscheint im Formel
modus. Somit wurde versucht das MAPLE-Konzept auch optisch indas Lehrbuch
zu integrieren, ihm aber dennoch ein MAPLE-spezifisches Aussehen zu geben,
wie es unter der Windows-Oberflache erscheint.
Aile Obungsaufgaben sind soweit nicht speziell gekennzeichnet mit den Hilfsmit
teln der einzelnen Paragraphen bearbeitbar, sie sind aber auch gleichzeitig Aufga
ben, die mit MAPLE gelost werden konnen.
Die umfangreicheren MAPLE-Worksheets sind auf der CD-ROM enthalten, so
daBder interessierte Leser die im Text entwickelten Methoden umsetzen bzw. an
abgeanderten Beispielen erproben kann. Es wird besonders auf die vielen Ani
mationen hingewiesen, die allerdings nicht mit der mitgelieferten Demoversion
aktiviert werden konnen.
Inhaltsverzeichnis
Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme
§1. Mengen 1
§2. Natiirliche Zahlen .......................................... 3
2.1 Peanosche Axiome 3
2.2 Vollstandige Induktion 4
2.3 Geometrische Summenfonnel 7
2.4 Pennutationen 8
2.5 Der binomische Lehrsatz 8
§3. Reelle Zahlen 10
3.1 Zahlenmengen und Operationen........................ 10
3.2 Die Rechengesetze fur reelle Zahlen .................... 11
3.3 Potenzrechnen. ..................................... 13
3.4 Logarithmen........................................ 14
3.5 Anordnung der reellen Zahlen 15
§4. Gleichungen und Ungleichungen mit MAPLE 17
4.1 Gleichungen........................................ 17
4.2 Ungleichungen 19
§5. Lineare Gleichungssysteme 20
5.1 Ein Einfiihrungsbeispiel 20
5.2 Begriffsbildung und Notation 22
5.3 Das Losen von linearen Gleichungssystemen 23
§6. Losen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE 28
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 32
Aufgaben zu Kapitel I 33
Kapitel II: Vektorrechnung 36
§1. Vektoren im 1R2 . . •. . . . ••. . . ••. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 37
1.2 Addition zweier Vektoren 37
1.3 Die Lange (der Betrag) eines Vektors 38
1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren 39
1.5 Geometrische Anwendung 42
§2. Vektoren im 1R3 44
2.1 Rechenregeln fur Vektoren 44
2.2 Projektion eines Vektors 47
2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren 48
2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren 52
§3. Vektoralgebra mit MAPLE 53
§4. Geraden und Ebenen im 1R3 57
4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden 57
4.2 Lage zweier Geraden zueinander 58
4.3 Abstandsberechnung zu Geraden 60
x Inhaltsverzeichnis
4.4 Vektorielle Darstellung von Ebenen 62
4.5 Lage zweier Ebenen zueinander 65
4.6 Abstandsberechnung zu Ebenen 67
4.7 Berechnung von Schnittpunkten und Schnittwinkel 68
§5. Vektorraume 71
5.1 Vektorrechnung im IRn 71
5.2 Vektorraume 73
5.3 Linearkombination und Erzeugnis 76
5.4 Lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit von Vektoren 78
5.5 Basis und Dimension 81
Aufgaben zu Kapitel II. .................................... 84
Kapitel III: Matrizen und Determinanten 90
§I. Matrizen. ............................................... 90
1.1 Einfuhrung, spezielle Matrizen ......................... 90
1.2 Rechenoperationen fur Matrizen. ....................... 92
1.3 Inverse Matrix 95
1.4 Das Matrizenrechnen mit MAPLE 99
1.5 Lineare Abbildungen................................ 102
1.6 Anwendungsbeispiele ............................... 103
§2. Determinanten........................................... 106
2.1 Einfuhrung ........................................ 106
2.2 Rechenregeln fur zweireihige Determinanten 107
2.3 n-reihige Determinanten ............................. 109
2.4 Anwendungen von Determinanten ..................... 113
§3. Losbarkeit von linearen Gleichungssystemen 115
3.1 Lineare Gleichungssysteme, Rang ..................... 115
3.2 Anwendungen 120
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 124
Aufgaben zu Kapitel Il1................................... 126
Kapitel IV: Elementare Funktionen 129
§I. Grundbegriffe und allgemeine Funktionseigenschaften 129
1.1 Grundbegriffe ..................................... 129
1.2 Elementare Funktionen in MAPLE..................... 132
1.3 Allgemeine Funktionseigenschaften 137
§2. Polynome 146
2.1 Festiegung von Polynomen durch Wertepaare 147
2.2 Koeffizientenvergleich 147
2.3 Teilbarkeit durch einen Linearfaktor 149
2.4 Nullstellenproblem 150
2.5 Newton-Algorithmus zur Bestimmung von Interpolationspolyno-
men 153
2.6 Polynome mit MAPLE ...................... 156