Mathematik für Ingenieure: Eine Einführung mit Anwendungs- und Alltagsbeispielen

631 Pages·2004·34.705 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Klaus Dürrschnabel (auth.)

Klaus DLirrschnabel
Mathematik fur Ingenieure
Klaus DOrrschnabel
Mathematik fur
Ingenieure
Eine Einfuhrung mit
Anwendungs- und
Alltagsbeispielen
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden
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Prof. Dr. rer. nat. Klaus Durrschnabel, geboren 1960. Von 1980 bis 1987 Studium der Mathematik,
Physik und Informatik an der Universitat Karlsruhe. 1986 wissenschaftliche PrOfung fOr das Lehramt an
Gymnasien und DiplomprOfung in Mathematik, 1987 ErweiterungsprOfung zur wissenschaftlichen
PrOfung in Informatik. 1987 bis 1992 wissenschaftlicher Angestellter an der Universitat Karlsruhe. 1991
Promotion mit einem Thema aus der Differenzialgeometrie. Von 1992 bis 1996 Tatigkeit in der freien
Wirtschaft bei der Allianz Lebensversicherungs-AG in Stuttgart. Seit 1996 Professor fOr Mathematik
und Informatik an der Fachhochschule Karlsruhe - Hochschule fOr Technik.
1. Auflage August 2004
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ISBN-13: 978-3-519-00456-1 e-ISBN-13: 978-3-322-84806-2
DOl: 10. 1007/978-3-322-84806-2
Vorwort
Was veranlasst einen Autor, ein Buch ,,Mathematik fUr Ingenieure" zu schreiben? Nun,
die Antwort kann nicht in einem Satz formuliert werden. Fakt ist, dass viele Studienan
fiinger Probleme insbesondere mit dem Fach Mathematik haben. Die abstrakten Inhalte
fallen den Studierenden der Ingenieurwissenschaften und der verwandten Disziplinen zu
nehmend schwer. Hinzu kommt, dass die angehenden Ingenieure keine Studienanfiinger des
Studienfachs Mathematik sind, sondern die unbestritten notwendige Mathematik nur als
Hilfswissenschaft einsetzen. Aus dieser Tatsache resultiert ein gewisses Motivationsproblem
fUr dieses Fach, welches es zusiitzlich zu iiberwinden gilt.
Eine weitere Schwierigkeit bilden die veriinderten Vorkenntnisse der Studienanfiinger. Der
Mathematikunterricht in der Schule hat sich infolge der internationalen Studien grundlegend
gewandelt. Es stehen nicht mehr langwierige Rechnungen als vielmehr L6sungsstrategien
und anwendungsbezogene Aufgaben im Zentrum des Interesses. Dariiber hinaus wurden
infolge der veriinderten Unterrichtsmethoden mit Projekten und selbstentdeckendem Ler
nen Bowie der vermehrt urn sich greifenden Verkiirzung der Gymnasialzeit die Lehrpliine
inhaltlich ausgediinnt. Themen wie gebrochene rationale Funktionen, Logarithmusfunkti
on, Kreis- und Kugelgleichung oder Quotientenregel der Differenzialrechnung diirfen an der
Hochschule nicht mehr als selbstverstiindlich bekannt vorausgesetzt werden.
Dieses Buch m6chte den Studienanfiingern eine Hilfe beim Einstieg in die sog. ,,H6here
Mathematik" bieten. Dabei orientiert sich das Vorgehen an folgender Strategie: Zuniichst
wird in Anwendungsbeispielen formuliert, wozu die neu einzufiihrende Theorie iiberhaupt
gewinnbringend eingesetzt werden kann. Es werden Fragen aus Technik und Alltag gestellt,
die es zu beantworten gilt. In einem zweiten Schritt wird die grundlegende Idee der Theorie
entwickelt, urn erst anschlief&end die abstrakten mathematischen Definitionen und Siitze zu
formulieren. Sehlie:lWeh werden Beispiele gereehnet und insbesondere die anfangs aufgewor
fenen Fragestellungen mit Hilfe der entwickelten Mathematik ge16st. Gegebenenfalls wird
die Theorie noeh weiter entwiekelt und fiir spezielle, beispielhafte Anwendungen konkreti
siert. Abgerundet werden die Absehnitte dureh Aufgaben, deren L6sungen im Anhang zu
finden sind.
Die vielfiiltigen Anwendungsbeispiele kommen gew6hnlieh nieht aus einem speziellen Inge
nieurbereich. Vielmehr wurden die Beispiele iiberwiegend aus dem Alltag und dem physika
lisehen Umfeld gewiihlt. Zum einen kann man davon ausgehen, dass diese Beispiele fiir die
Studierenden jeder Ingenieurrichtung verstiindlieh und von Interesse sind, zum anderen sind
diese Beispiele sehr ansehaulieh und belegen, wie unser Alltag mit Mathematik durchzogen
ist. So ist es sicher fUr viele iiberrasehend, dass das Phiinomen des Regenbogens mit Hilfe
4 Vorwort
der Differenzialrechnung erkHirt werden kann (Kapitel 12.3) oder dass man mit Hilfe von
Potenzreihen im freien Feld gro~e Kreise in einer einfachen Weise ohne Zirkel bestimmen
kann (Kapitel 18.4.5). Sehr wohl orientieren sich aber die mathematischen Inhalte an den
erforderlichen mathematischen Kenntnissen, welche man fUr das erfolgreiche Absolvieren
eines Ingenieurstudiums benotigt.
Das mathematische Kalkiil ist in diesem Buch bewusst knapp gehalten. Wo immer mog
lich, wird auf den mathematischen Formalismus verzichtet. Die Mathematiker mogen mir
verzeihen, dass in mathematischen Satzen die benotigten Voraussetzungen nicht alle exakt
formuliert, sondern die Inhalte auf die zentralen Aussagen reduziert worden sind. In An
betracht der Zielgruppe erscheint mir dieses Vorgehen legitim. Es werden dariiber hinaus
nur die unbedingt notwendigen und in den Ingenieurwissenschaften allgemein verwendeten
mathematischen Zeichen und Symbole eingefiihrt. Wo immer moglich, habe ich stattdessen
eine Beschreibung mittels Umgangssprache gewahlt.
Computeralgebrasysteme halten vermehrt Einzug in den Schul- und inzwischen auch in den
Hochschulbereich. Den neuen Moglichkeiten dieser Programmsysteme wird in diesem Buch
Rechnung getragen, indem Beispiele und Aufgaben auch mit Hilfe von Computeralgebra
systemen gelost werden. Da derartige Systeme sehr schnelllebig sind und es verschiedene
hervorragende Systeme gibt, wird auf die exemplarische Vorstellung eines speziellen Sys
tems verzichtet. Vielmehr wird in dem Buch demonstriert, wie man mit Hilfe von Compu
teralgebrasystemen mathematische Sachverhalte visualisieren und langwierige Rechnungen
abkiirzen kann.
Zum Schluss mochte ich mich bei diversen Personen bedanken, die mich wahrend der Er
stellung dieses Buches unterstiitzt haben. Hier sind zunachst mein Kollege Dr. Rainer Roos,
Dipl.-Wirt.Inform. (FH} Miriam Haitz und meine Frau Simone fur ihre Anregungen und die
Korrekturhinweise zu nennen. Meinen Kollegen danke ich fur die Unterstutzung wahrend
der Entstehung dieses Buchs und die Entlastung von der alltaglich anfallenden Arbeit ei
ner Hochschule. Herrn Dr. Peter Spuhler yom Teubner-Verlag danke ich fUr die vielfaltigen
Gesprache in der Konzeptionsphase und Herrn Ulrich Sandten fUr dir reibungslose Zusam
menarbeit wahrend der Realisierung. Nicht zuletzt mochte ich mich bei meiner Familie be
danken, die besonders in der letzten Zeit der Entstehung dieses Buchs einige Entbehrungen
in Kauf nehmen musste.
Karlsruhe, im Juli 2004 Klaus Durrschnabel
Inhaltsverzeichnis
1 Zahlenbereiche 11
1.1 Mengen .... 11
1.2 Natiirliche, ganze und rationale Zahlen 13
1.3 Reelle Zahlen . . . 14
1.4 Komplexe Zahlen . 18
2 Funktionen 28
2.1 Funktionen als Modelle der Wirklichkeit . 28
2.2 Der FunktionsbegrifI . . . . . . 30
2.3 Eigenschaften von Funktionen 35
2.3.1 Umkehrbare Funktionen .... 35
2.3.2 Verkettung von Funktionen .. 39
2.3.3 Beschranktheit und absolute Extrema 40
2.3.4 Monotonie ...... . 43
3 Elementare Funktionen 46
3.1 Signum- und Betragsfunktion . 46
3.2 Ganze rationale Funktionen . . 48
3.2.1 Modellierung realer Vorgange mittels Potenzfunktionen 48
3.2.2 Definition ganzer rationaler Funktionen 50
3.2.3 Affine Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.4 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . 53
3.2.5 Ganze rationale Funktionen beliebigen Grades 57
3.3 Gebrochene rationale Funktionen . . . . . . . . 63
3.4 Allgemeine Potenz- und algebraische Funktionen 66
3.5 Trigonometrische Funktionen 68
3.5.1 Trigonometrie ....... . 68
3.5.2 Trigonometrische Funktionen 70
3.5.3 Inverse trigonometrische Funktionen 72
6 Inhaltsverzeichnis
3.6 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . 77
3.6.1 Allgemeine und natiirliche Exponentialfunktion . 77
3.6.2 Logarithmusfunktionen . . 81
3.6.3 Hyperbolische Funktionen . 85
3.6.4 Die Euler'sche Formel ... 89
4 Lineare Gleichungssysteme 92
4.1 Problemstellung . . . . . . 92
4.2 Das GauJ5'sche Eliminationsverfahren 94
5 "ektorrecluaung 109
5.1 Vektorielle GroJ5en in Alltag und Technik 109
5.2 Vektoren im Anschauungsraum . 110
5.3 Allgemeine Vektorraume 117
5.4 Lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit 122
5.5 Basis und Dimension. . 127
6 Produkte von "ektoren 133
6.1 Das Skalarprodukt . 133
6.2 Das Vektorprodukt . 138
6.3 Das Spatprodukt . . 145
7 Analytische Geometrie 149
7.1 Probleme im Raum .. 149
7.2 Parameterdarstellung von Geraden . 150
7.3 Parameterdarstellung von Ebenen 154
7.4 Hyperebenen in Gleichungsform 159
7.5 Schnittprobleme . . . . 163
7.6 Abstands berechnungen 170
7.7 Winkelberechnungen . 178
7.8 Kreis und Kugel 183
8 Matrizen 190
8.1 Transformationen in der Ebene und im Raum . 190
8.2 Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation 191
8.3 Invertieren von Matrizen 201
8.4 Koordinatentransformation 206
Inhaltsverzeichnis 7
8.5 Abbildungen . . . . . . . . 210
8.5.1 Abbildungen in der Ebene . 210
8.5.2 Abbildungen im Raum . 213
8.6 Determinanten 218
9 Eigenwerte 228
9.1 Problemstellungen in der Anwendung 228
9.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 232
10 Grenzwerte 239
10.1 Folgen .... 239
10.2 Der Grenzwertbegriff bei Folgen 242
10.3 Die Euler'sche Zahl e ..... . 248
10.4 Der Grenzwertbegriff bei Funktionen . 252
10.5 Stetigkeit . . . . . . . 259
11 Differenzia1rechnung 263
11.1 Der Ableitungsbegriff .... . 263
11.1.1 Das Tangentenproblem ... . 263
11.1.2 Die Momentangeschwindigkeit 266
11.1.3 Die Ableitungsfunktionen 267
11.1.4 Weitere Anwendungen . . . . . 268
11.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . 272
11.2.1 Notwendigkeit von Ableitungsregeln 272
11.2.2 Grundlegende Eigenschaften der Ableitung 273
11.2.3 Ableitung elementarer Funktionen 275
11.2.4 Produkt- und Quotientenregel 278
11.2.5 Kettenregel ............ . 281
11.2.6 Ableitung der Umkehrfunktion .. 283
11.2.7 Weitere Ableitungen elementarer Funktionen 284
11.2.8 Beispiele ................... . 288
11.3 Mittelwertsatz und stetige Differenzierbarkeit . 293
12 Anwendungen der Differenzia1rechnung 295
12.1 Monotonieuntersuchungen . 295
12.2 Extremwertprobleme . 296
12.3 Der Regenbogen . . . 306
12.4 Wendepunkte und Kurvendiskussion 312
8 Inhaltsverzeichnis
12.5 Regel von Bernoulli-de l'Hospital . 317
12.6 Das Newton-Verfahren . 321
13 Unbestimmtes Integral 325
13.1 Stammfunktionen und unbestimmtes Integral 325
13.2 Integrationsmethoden 328
13.2.1 Produktintegration. . 329
13.2.2 Substitutionsregel . . 331
13.2.3 Partialbruchzerlegung 335
14 Bestimmtes Integral 341
14.1 FHicheninhaltsproblem und Definition des bestimmten Integrals . 341
14.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung . 346
14.3 Uneigentliche Integrale 354
15 Numerische Integration 351
15.1 Problemstellung 357
15.2 Trapezregel . . . 359
15.3 Kepler-Fassregel und Simpson-Regel 362
16 Anwendungen der Integralrechnung 366
16.1 FHichenberechnungen ..... . 366
16.2 Volumina von Rotationskorpern 369
16.3 Physikalische Anwendungen . 372
16.3.1 Die Arbeit ...... . 373
16.3.2 Hydrostatischer Druck . . . . 374
16.3.3 Schwerpunkt . . . . . . . . . 375
16.4 Wahrscheinlichkeitsrechnung 378
11 Reihen 382
17.1 Der Reihenbegriff 382
17.2 Konvergenzkriterien 389
18 Potenzreihen 399
18.1 Der Begriff der Potenzreihe 399
18.2 Potenzreihen und Funktionen - Der Satz von Taylor 405
18.3 Wichtige Potenzreihenentwicklungen . 410
18.3.1 Exponentialreihe . . . . . 410
18.3.2 Trigonometrische Reihen ...... . 411
Inhaltsverzeichnis 9
18.3.3 Hyperbolische Reihen 415
18.3.4 Logarithmusreihe . 415
18.3.5 Binomische Reihe .. 417
18.4 Anwendungen .... 421
18.4.1 Naherungsweise Berechnung von Funktionswerten 421
18.4.2 Grenzwertberechnung ............... . 422
18.4.3 Integration elementar nicht integrierbarer Funktionen 423
18.4.4 Klassische und relativistische kinetische Energie 425
18.4.5 Viertelsmethode zum Abstecken von Kreisbogen 426
19 Fourier-Reihen und Fourier-TransCormation 430
19.1 Trigonometrische Reihen 430
19.2 Fourier-Reihen ..... . 432
19.3 Komplexe Schreibweise der Fourier-Reihen 443
19.4 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . 450
20 Differenzialrechnung von Funktionen mehrerer Veranderlicher 456
20.1 Funktionen mehrerer Veranderlicher 456
20.2 Der Stetigkeitsbegriff 460
20.3 Partielle Ableitungen 461
20.4 Totales Differenzial. . 467
20.4.1 Die Idee des totalen Differenzials 467
20.4.2 Anwendung: Fehlerrechnung .. 471
20.4.3 Ableitung impliziter Funktionen 473
20.5 Richtungsableitung. . . . . . . . 477
20.6 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung 483
20.7 Divergenz und Rotation . . . . . . . . . 486
21 Extrema bei Funktionen mehrerer Veranderlicher 490
21.1 Extrema ohne Nebenbedingungen 490
21.2 Anwendung: Lineare Regression 499
21.3 Extrema mit Nebenbedingungen 504
22 MehrCache Integrale 514
22.1 Bereichsintegrale . . 514
22.2 Berechnung von Bereichsintegralen iiber Normalbereichen 516
22.3 Mehrfache Integrale in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten 523