Mathematik für Ingenieure: Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch

711 Pages·2020·7.622 MB·German

by  Thomas Westermann

Thomas Westermann
Mathematik
für Ingenieure
Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch
8. Auflage
Mathematik für Ingenieure
Thomas Westermann
Mathematik für Ingenieure
Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch
8. Auflage
Thomas Westermann
Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft
Karlsruhe, Deutschland
Homepage zum Buch
http://www.home.hs-karlsruhe.de/~weth0002/buecher/mathe/start.htm
ISBN 978-3-662-61322-1 ISBN 978-3-662-61323-8 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-61323-8
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Ursprünglich in 2 Bänden erschienen
© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 1996, 2001, 2002, 2005, 2008, 2011,
2015, 2020
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Vorwort zur 8. Auflage
Die weiterhin erfolgreiche Aufnahme des Buchs und die positive Resonanz ha-
ben uns bewogen, die Art der Darstellung sowie das Konzept fu¨r die vorlie-
gende 8. Auflage weitestgehend zu belassen. In Erweiterung zu den im Buch
behandelten Inhalten befinden sich die Themen zur Numerischen Mathematik
Numerisches L¨osen von Gleichungen
Numerisches Differenzieren und Integrieren
Numerisches L¨osen von gew¨ohnlichen Differenzialgleichungen
sowieerg¨anzendeundweiterfu¨hrendeAbschnitteaufderHomepagezumBuch:
http://www.home.hs-karlsruhe.de/˜weth0002/buecher/mathe/start.htm
Neu sind die im Text eingefu¨gten QR-Codes, die auf Anima-
tionen verweisen, die im Web vorliegen: Durch Einscannen des
QR-Codes werden die Animationen, die im animated-gif-Format
abgespeichert sind, durch den Browser des mobilen Ger¨ats abge-
spielt.
Das farblich gestaltete Layout erm¨oglicht eine u¨bersichtliche Darstellung der
Inhalte, indem z.B. neue Begriffe und Definitionen hellgru¨n unterlegt sind,
wichtige Aussagen und S¨atze blau. Daru¨ber hinaus erm¨oglichen weitere Stil-
mittel eine leichte Lesbarkeit des Buchs, indem z.B.
(cid:2)
mit dem Symbol ! Achtung:“ auf Stellen besonders hingewiesen, die
”
man anf¨anglich oftmals falsch bearbeitet, u¨bersieht oder nicht beachtet,
durchTippsundMerkregelndieBearbeitungderBeispieleundU¨bungsauf-
gaben erleichtert wird,
durch Markierungen am Seitenrand Gliederungspunkte und Orientierungs-
hilfen gegeben werden,
die zahlreichen Zusammenfassungen farblich hervorgehoben werden,
wichtige Formel und Ergebnisse gekennzeichnet werden,
Musterbeispiele und Anwendungsbeispiele u¨bersichtlich aus dem Text her-
vorgehen;
380 ausfu¨hrlich durchgerechnete Beispiele,
u¨ber 360 Aufgaben (mit den L¨osungen auf der Homepage)
und mehr als 200 Abbildungen und Skizzen zum Selbststudium und zur
Pru¨fungsvorbereitung dienen.
vi Vorwort
Parallel zu den im Buch behandelten Themen stehen zahlreiche
Maple-WorksheetszurVerfu¨gung,dieandasaktuelleMaple2019an-
gepasstwurden.ImBuchwirdentwederdirektu¨berdenHinweis mitMaple-
”
Worksheet“ darauf hingewiesen oder u¨ber das Web-Symbol auf zus¨atzliche
Informationen auf der Homepage aufmerksam gemacht. S¨amtliche Maple-
WorksheetssindzumDownloadenaufderHomepageenthalten.EineU¨bersicht
aller Worksheets findet man dort im index-File.
Auf der Homepage zum Buch sind weitere Informationen und Erg¨anzungen
zug¨anglich:
alle Worksheets, die im Text beschrieben sind, inklusive vieler zus¨atzlicher
Maple-Prozeduren zur Visualisierung mathematischer Begriffe;
die L¨osungen der Aufgaben;
zus¨atzliche Kapitel und Erg¨anzungen, die in der Buchform des Gesamtum-
fangs wegen nicht mehr eingebunden werden konnten;
eine Einfu¨hrung in die Benutzeroberfl¨ache von Maple 2019.
Mein Dank gilt Frau Sabine Bormann von Scientific Computers und Waterloo
MapleInc.,diemirMaplezurVerfu¨gunggestellthabensowieHerrnKottusch
vomSpringer-Verlagfu¨rdieguteZusammenarbeit.MeinganzbesondererDank
gilt meinen Kollegen Andreas Zeh-Marschke und Professor Ju¨rgen Kirchhof,
die durch zahlreiche Verbesserungs- und Korrekturvorschl¨age zum Gelingen
dieser 8. Auflage erheblich beigetragen haben.
Karlsruhe, im Januar 2020 Thomas Westermann
Vorwort vii
Vorwort zur 1. Auflage
Dieseszweib¨andigeLehrbuchentstandausVorlesungenund U¨bungenzurMa-
thematik und Physikalischen Simulation fu¨r Ingenieure an der Hochschule
Karlsruhe. Es wendet sich aber an alle Studenten der Natur- und Ingenieur-
wissenschaften, da auch Themengebiete einbezogen sind, die nicht bzw. nicht
in der vorliegenden Tiefe in der Vorlesung behandelt wurden.
...
Die stu¨rmische Entwicklung von Computersoftware im Bereich der Mathema-
tik erfordert eine Erweiterung der Ingenieur-Ausbildung, indem nicht nur pra-
xisorientiertes mathematisches Wissen, sondern auch das Ru¨stzeug vermittelt
wird, mit diesen Systemen erfolgreich arbeiten zu k¨onnen. Die Computeralge-
bra-Systeme werden zum numerischen Rechnen genauso verwendet wie zum
Manipulieren von Formeln sowie der graphischen Darstellung komplizierter
Sachverhalte.DieRechentechniktrittindenHintergrund;dieinteressanteMo-
dellierung und das systematische Vorgehen gewinnt an Bedeutung. In diesem
Lehrbuch wird dieser neue spannende Aspekt aufgegriffen und das Computer-
algebra-System Maple in die Mathematikausbildung mit einbezogen.
Mathematische Begriffe werden anschaulich motiviert, systematisch anhand
praxisbezogenerBeispieleverdeutlichtundmitMaple-Worksheetsumgesetzt,
wassichinvielenAnimationenniederschl¨agt.AufmathematischeBeweisewird
fastg¨anzlichverzichtetundeineranschaulichpr¨agnantenSprechweisedenVor-
zug gegenu¨ber einer mathematisch exakten Formulierung gegeben.
Umdenst¨andigwachsendenGebrauchvonRechnernundnumerischenProblem-
l¨osungen zu beru¨cksichtigen, wurden zahlreiche Abschnitte zur rechnerischen
L¨osungvonStandard-ProblemenindiesesMathematikbuchaufgenommen.Die
numerischenAlgorithmensindalsMaple-ProzedurenaufderbeigelegtenCD-
Rom enthalten, k¨onnen aber von etwas geu¨bten Programmierern leicht in jede
andere h¨ohere Sprache umgesetzt werden.
...
Besonders bedanken m¨ochte ich mich bei Herrn F. Wohlfarth und Frau Raviol
fu¨rdiepr¨aziseundfehlerfreieErstellungdesLATEX-Quelltextesmitalldenvie-
len Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler fu¨r die exzellente Erstellung
der meisten Skizzen und Bilder unter CorelDraw, so wie der Autor sie sich
vorgestellt hat. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag fu¨r die angenehme
und reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle.
Zuletzt m¨ochte ich mich bei meiner Familie (Ulrike, Veronika, Juliane) bedan-
ken, die mit viel Verst¨andnis meine Arbeit an diesem Buch mitgetragen und
tatkr¨aftig unterstu¨tzt hat.
Karlsruhe, im Juni 1996 Thomas Westermann
Hinweise zum Gebrauch dieses Buches
DieeinzelnenKapitelfassenmehrereAspekteeinerThematikzusammen.Nicht
immer ließ es sich vermeiden, Teilergebnisse aus sp¨ateren Kapiteln vorwegzu-
nehmen und zu verwenden. Dem didaktischen Anliegen, Themenbereiche ge-
schlossen in einem Block zu bearbeiten, wurde dabei st¨arkere Priorit¨at als der
mathematischen Strenge beigemessen. Die Reihenfolge innerhalb eines Vor-
lesungszyklus muss sich nicht an die im Buch gew¨ahlte Reihenfolge halten,
einzelne Kapitel k¨onnen auch aufgesplittet werden.
Dieses Buch ist ein Lehrbuch u¨ber Mathematik und kann ohne Rechner zum
Erlernen von mathematischem Grundwissen oder zur Pru¨fungsvorbereitung
herangezogen werden. Um den vollen Umfang und die ganze Sch¨onheit der
Mathematik und der Anwendungen zu erleben, sind die Animationen, welche
u¨ber die QR-Codes direkt ausgefu¨hrt werden k¨onnen, unverzichtbar.
Darstellung: Neu eingefu¨hrte Begriffe werden kursiv im Text markiert und
zumeist in einer Definition fett spezifiziert. Lehrs¨atze, wichtige Formeln und
Zusammenfassungen sind durch Umrahmungen farblich gekennzeichnet. Am
Ende eines jeden Kapitels befinden sich Aufgaben, deren L¨osungen auf der
Homepage angegeben sind. Bei der Erarbeitung der Themengebiete wird eine
anwendungsorientierteProblemstellungvorangestelltundanschließendauf die
mathematischeStrukturu¨bergegangen.DieThematikwirddanninnerhalbder
Mathematik bearbeitet und anhand von mathematischen Beispielen erl¨autert.
Beispiele:DiezahlreichenBeispielesindfu¨rdenZugangzudenThemengebie-
ten unverzichtbar. Beim Selbststudium und zur Pru¨fungsvorbereitung sollten
m¨oglichst die mathematischen Beispiele eigenst¨andig bearbeitet werden. Wer
dieses Werk als Nachschlagewerk benutzt, kann sich an den Anwendungsbei-
spielensowieandeneingerahmtenDefinitionen,S¨atzenundZusammenfassun-
gen orientieren.
Aufgaben:AlleU¨bungsaufgabensindsoweitnichtspeziellgekennzeichnetmit
denHilfsmittelndereinzelnenKapitelzubearbeiten.DieL¨osungenzudenAuf-
gaben befinden sich als pdf-File auf der Homepage.
Web:AlleMaple-AusarbeitungensindaufderHomepagealselektronischeAr-
beitsbl¨atter(Worksheets)enthalten,sodassderinteressierteLeserdieimText
entwickelten Methoden umsetzen bzw. an abge¨anderten Beispielen erproben
kann.EswirdbesondersaufdievielenAnimationenundProzedurenhingewie-
sen, welche die elementaren Begriffe visualisieren und die mathematischen Zu-
sammenh¨ange aufzeigen: Durch eine benutzerfreundliche Menuefu¨hrung wird
die interaktive Benutzung der Worksheets sowohl zum L¨osen von mathemati-
schen Problemen als auch zum experimentieren mit mathematischen Begriffen
gef¨ordert.
Inhaltsverzeichnis
1 Zahlen,GleichungenundGleichungssysteme ......... 1
1.1 Mengen............................................................. 3
1.2 Natu(cid:127)rliche Zahlen................................................ 5
1.3 Reelle Zahlen...................................................... 13
1.4 Gleichungen und Ungleichungen............................... 19
1.5 Lineare Gleichungssysteme ..................................... 26
1.6 Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen, Gleichungssystemen.. 36
2 VektorenundVektorrechnung ....................... 39
2.1 Vektoren imIR2.................................................. 42
2.2 Vektoren imIR3.................................................. 50
2.3 Geraden und Ebenen imIR3 ................................... 61
2.4 Vektorr(cid:127)aume....................................................... 76
2.5 Aufgaben zur Vektorrechnung................................. 91
3 MatrizenundDeterminanten ........................ 97
3.1 Matrizen ........................................................... 99
3.2 Determinanten.................................................... 113
3.3 L(cid:127)osbarkeit von linearen Gleichungssystemen................ 123
3.4 Aufgaben zu Matrizen und Determinanten ................. 133
4 ElementareFunktionen .............................. 135
4.1 Allgemeine Funktionseigenschaften........................... 137
4.2 Polynome.......................................................... 150
4.2.1 Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare. 151
4.2.2 Koe(cid:14)zientenvergleich........................................... 152
4.2.3 Teilbarkeit durch einen Linearfaktor.......................... 153
4.2.4 Nullstellenproblem................................................ 154
4.2.5 Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus... 157
4.3 Rationale Funktionen............................................ 160
4.4 Potenz- und Wurzelfunktionen ................................ 165
4.5 Exponential- und Logarithmusfunktion ...................... 168
4.6 Trigonometrische Funktionen.................................. 173
4.7 Arkusfunktionen.................................................. 180
4.8 Aufgaben zu elementaren Funktionen........................ 186
5 KomplexeZahlen ................................... 189
5.1 Darstellung komplexer Zahlen ................................. 192
5.2 Komplexe Rechenoperationen.................................. 198
5.3 Anwendungen..................................................... 207
5.4 Aufgaben zu komplexen Zahlen............................... 217
xii Inhaltsverzeichnis
6 GrenzwertundStetigkeit ............................ 219
6.1 Reelle Zahlenfolgen.............................................. 221
6.2 Funktionsgrenzwert.............................................. 227
6.3 Stetigkeit einer Funktion........................................ 233
6.4 Intervallhalbierungs-Methode.................................. 235
6.5 Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit....................... 238
7 Di(cid:11)erenzialrechnung ................................ 239
7.1 Einfu(cid:127)hrung......................................................... 241
7.2 Rechenregeln bei der Di(cid:11)erenziation......................... 247
7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik.............. 260
7.4 Di(cid:11)erenzial einer Funktion ..................................... 263
7.5 Anwendungen in der Mathematik............................. 268
7.6 Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme)............. 275
7.7 S(cid:127)atze der Di(cid:11)erenzialrechnung ................................ 278
7.8 Newton-Verfahren................................................ 283
7.9 Aufgaben zur Di(cid:11)erenzialrechnung........................... 287
8 Integralrechnung .................................... 289
8.1 Das Riemann-Integral ........................................... 291
8.2 Fundamentalsatz der Di(cid:11)erenzial- und Integralrechnung. 296
8.3 Grundlegende Regeln der Integralrechnung ................. 305
8.4 Integrationsmethoden ........................................... 307
8.4.1 Partielle Integration.............................................. 307
8.4.2 Integration durch Substitution................................. 309
8.4.3 Partialbruchzerlegung............................................ 315
8.5 Uneigentliche Integrale.......................................... 321
8.6 Anwendungen der Integralrechnung.......................... 323
8.7 Aufgaben zur Integralrechnung................................ 333
9 Funktionenreihen ................................... 335
9.1 Zahlenreihen....................................................... 338
9.2 Potenzreihen ...................................................... 349
9.3 Taylor-Reihen ..................................................... 355
9.4 Anwendungen..................................................... 365
9.5 Komplexwertige Funktionen.................................... 370
9.6 Aufgaben zu Funktionenreihen................................ 378