Mathematik für Informatiker: Band 2: Analysis und Statistik

407 Pages·2014·5.562 MB·German

by  Gerald Teschl, Susanne Teschl (auth.)

eXamen.press
eXamen.press ist eine Reihe, die Th eorie und Praxis aus allen Bereichen der Informatik
für die Hochschulausbildung vermittelt.
Gerald Teschl • Susanne Teschl
Mathematik für Informatiker
Band 2: Analysis und Statistik
3., überarbeitete Aufl age
Mit 102 Abbildungen
Gerald Teschl Susanne Teschl
Universität Wien Fachhochschule Technikum Wien
Fakultät für Mathematik Höchstädtplatz 6
Oskar-Morgenstern-Platz 1 1200 Wien, Österreich
1090 Wien, Österreich [email protected]
[email protected] http://staff .technikum-wien.at/~teschl/
http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/
ISSN 1614-5216
ISBN 978-3-642-54273-2 ISBN 978-3-642-54274-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-54274-9
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Vorwort
Band 2
Der vorliegende zweite Band schließt nahtlos an den ersten an und bildet mit die-
sem eine Einheit. Aufgrund der Stoffauswahl ergibt sich zwar eine weitgehende Un-
abh¨angigkeit, aber bestimmte Grundbegriffe aus Band 1 werden natu¨rlich voraus-
gesetzt. Wir werden Sie aber immer wieder an diese erinnern bzw. auf die entspre-
chenden Abschnitte in Band 1 verweisen. Insbesondere m¨ochten wir das gleich an
dieser Stelle tun, indem wir auf das dortige Vorwort verweisen.
Computereinsatz
Wieder haben wir Beispiele, bei denen uns der Computereinsatz sinnvoll erscheint,
mit →CAS“ gekennzeichnet und im zugeh¨origen Abschnitt Mit dem digitalen Re-
” ”
chenmeister“ mitMathematicagel¨ost.DieNotebooksdazusindwiegewohntaufder
WebsitezumBuch(URLsieheunten)zufinden.DortfindenSieauchdieEinfu¨hrung
in Mathematica aus Band 1.
Eine Bitte...
AuchinBand2habenwirfleißigUnkrautgej¨atet,essindabertrotzallerBemu¨hun-
gen sicher noch ein paar unentdeckte Fehler darin. Wir freuen uns daher, wenn Sie
uns diese mitteilen. Auch Ihr Feedback und Verbesserungsvorschl¨age sind herzlich
willkommen. Die Liste der Korrekturen sowie Erg¨anzungen finden Sie im Internet
unter:
http://www.mat.univie.ac.at/˜gerald/ftp/book-mfi/
Danksagungen
UnsereStudentinnenundStudentenhabenunsauchfu¨rdiesenBandmitHinweisen
auf Druckfehler und mit Verbesserungsvorschl¨agen versorgt. Hervorheben m¨ochten
wir dabei wieder Markus Horehled, Rudolf Kunschek, Alexander-Philipp Linten-
hofer, Christian Scholz, Markus Steindl und Gerhard Sztasek, die sich durch be-
sonders lange Listen ausgezeichnet haben. Unsere Kollegen Harald Englisch, Oliver
VI Vorwort
Fasching, Markus Fulmek, Emil Simeonov, Harald Stockinger und Karl Unterkofler
haben wieder zahlreiche Abschnitte kritisch gelesen und uns mit wertvollem Feed-
back unterstu¨tzt. Unsch¨atzbar war insbesondere die Hilfe von Johanna Michor und
Wolfgang Timischl. Ihnen allen m¨ochten wir herzlich danken!
Die Open-Source-Projekte (vor allem TEX, LATEX, TEXShop und Vim), mit wel-
chen diese Seiten erstellt wurden, sollen nicht unerw¨ahnt bleiben.
WirdankendemSpringer-Verlagfu¨rdieguteZusammenarbeit,diesichauchbei
diesem Band bew¨ahrt hat.
Zur zweiten Auflage
An dieser Stelle m¨ochten wir uns fu¨r die zahlreichen Ru¨ckmeldungen zur ersten
Auflage bedanken. Große A¨nderungen hat es nicht gegeben. Dafu¨r aber eine Reihe
kleinerer Detailverbesserungen auf Anregungen unserer Leserinnen und Leser.
Zur dritten Auflage
Seit der letzten Auflage haben wir wieder viele positive Ru¨ckmeldungen und wert-
volle Hinweise bekommen. Wir danken dafu¨r sehr herzlich, insbesondere fu¨r die de-
taillierten Anregungen von Harald Englisch, Ulrich Kastlunger, Jan Sellner, Emil
Simeonov, Harald Stockinger, Wolfgang Timischl und Karl Unterkofler. Wir haben
uns bemu¨ht alle Vorschl¨age in die neue Auflage einzuarbeiten und Druckfehler bzw.
Ungereimtheiten auszubessern. Außerdem sind nun alle Mathematica-Teile kompa-
tibel mit der aktuellen Version 9. Wir freuen uns weiterhin u¨ber Feedback!
Wien, im Dezember 2013 Gerald und Susanne Teschl
Inhaltsverzeichnis
Analysis
18 Elementare Funktionen ......................................... 1
18.1 Polynome und rationale Funktionen............................. 1
18.1.1 Anwendung: Interpolation ............................... 12
18.1.2 Anwendung: Verteilte Geheimnisse ....................... 16
18.2 Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen ................ 16
18.3 Trigonometrische Funktionen .................................. 23
18.4 Polardarstellung komplexer Zahlen ............................. 28
18.4.1 Anwendung: Komplexe Darstellung von Schwingungen ...... 35
18.5 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 38
18.6 Kontrollfragen ............................................... 41
18.7 U¨bungen .................................................... 45
19 Differentialrechnung I .......................................... 55
19.1 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion ........................ 55
19.2 Die Ableitung einer Funktion .................................. 63
19.2.1 Anwendung: Ableitungen in der Wirtschaftsmathematik..... 68
19.3 Berechnung von Ableitungen................................... 69
19.3.1 Anwendung: Splines .................................... 74
19.4 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 76
19.5 Kontrollfragen ............................................... 77
19.6 U¨bungen .................................................... 79
20 Differentialrechnung II ......................................... 83
20.1 Taylorreihen ................................................. 83
20.2 Monotonie, Kru¨mmung und Extremwerte........................ 89
20.2.1 Anwendung: Preispolitik eines Monopolisten ............... 97
20.3 Iterationsverfahren ........................................... 99
20.3.1 Ausblick: Kontraktionsprinzip............................ 102
20.3.2 Anwendung: Marktgleichgewicht im Oligopol............... 103
20.3.3 Anwendung: Dioden-Logik............................... 104
20.4 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 106
VIII Inhaltsverzeichnis
20.5 Kontrollfragen ............................................... 109
20.6 U¨bungen .................................................... 111
21 Integralrechnung ............................................... 117
21.1 Die Stammfunktion........................................... 117
21.2 Bestimmte Integration ........................................ 123
21.2.1 Ausblick: Numerische Integration......................... 128
21.3 Uneigentliches Integral ........................................ 129
21.3.1 Ausblick: Bogenl¨ange ................................... 133
21.4 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 135
21.5 Kontrollfragen ............................................... 136
21.6 U¨bungen .................................................... 138
22 Fourierreihen ................................................... 143
22.1 Fourierreihen ................................................ 143
22.1.1 Anwendung: JPEG und MP3 ............................ 150
22.1.2 Ausblick: Fourierreihen als Orthogonalentwicklung.......... 150
22.2 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 152
22.3 Kontrollfragen ............................................... 154
22.4 U¨bungen .................................................... 155
23 Differentialrechnung in mehreren Variablen..................... 157
23.1 Grenzwert und Stetigkeit ...................................... 157
23.2 Ableitung ................................................... 161
23.2.1 Ausblick: Differenzierbarkeit ............................. 166
23.3 Extrema .................................................... 168
23.4 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 174
23.5 Kontrollfragen ............................................... 175
23.6 U¨bungen .................................................... 176
24 Differentialgleichungen.......................................... 179
24.1 Grundlagen.................................................. 179
24.1.1 Anwendung: Parabolspiegel.............................. 187
24.2 Lineare Differentialgleichungen ................................. 189
24.2.1 Ausblick: Systeme von Differentialgleichungen.............. 200
24.3 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 202
24.4 Kontrollfragen ............................................... 203
24.5 U¨bungen .................................................... 205
Statistik
25 Beschreibende Statistik und Zusammenhangsanalysen .......... 209
25.1 Grundbegriffe................................................ 209
25.2 H¨aufigkeitsverteilung einer Stichprobe........................... 211
25.2.1 Anwendung: Benford’sches Gesetz ........................ 214
25.2.2 Anwendung: Simpson-Paradoxon ......................... 215
25.3 Kennwerte einer Stichprobe.................................... 216
Inhaltsverzeichnis IX
25.3.1 Ausblick: Lorenz-Kurve und Gini-Koeffizient............... 220
25.4 Lineare Korrelation........................................... 223
25.5 Lineare Regression............................................ 227
25.5.1 Ausblick: Multivariate lineare Regression .................. 229
25.6 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 231
25.7 Kontrollfragen ............................................... 234
25.8 U¨bungen .................................................... 236
26 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung ....................... 241
26.1 Zufallsexperimente und Ereignisse .............................. 241
26.2 Wahrscheinlichkeit............................................ 243
26.2.1 Anwendung: Geburtstagsparadoxon und Kollisionen bei
Hashfunktionen ........................................ 248
26.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit ................................... 250
26.3.1 Anwendung: Bayes’scher SPAM-Filter..................... 257
26.3.2 Anwendung: Optimale Stoppstrategie ..................... 257
26.4 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 259
26.5 Kontrollfragen ............................................... 259
26.6 U¨bungen .................................................... 261
27 Zufallsvariablen................................................. 265
27.1 Diskrete und stetige Zufallsvariablen ............................ 265
27.2 Erwartungswert und Varianz einer Verteilung .................... 276
27.2.1 Anwendung: Moderne Portfoliotheorie .................... 287
27.3 Das Gesetz der großen Zahlen.................................. 289
27.4 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 293
27.5 Kontrollfragen ............................................... 294
27.6 U¨bungen .................................................... 296
28 Spezielle diskrete Verteilungen ................................. 303
28.1 Die hypergeometrische Verteilung............................... 303
28.2 Die Binomialverteilung........................................ 306
28.2.1 Anwendung: Moderne Finanzmathematik.................. 312
28.3 Die Poisson-Verteilung ........................................ 315
28.4 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 318
28.5 Kontrollfragen ............................................... 319
28.6 U¨bungen .................................................... 320
29 Spezielle stetige Verteilungen................................... 325
29.1 Die Normalverteilung ......................................... 325
29.1.1 Anwendung: Value at Risk............................... 331
29.2 Die Normalverteilung als N¨aherung ............................. 331
29.3 Drei wichtige Pru¨fverteilungen ................................. 335
29.4 Mit dem digitalen Rechenmeister ............................... 339
29.5 Kontrollfragen ............................................... 341
29.6 U¨bungen .................................................... 343