Mathematik für Informatiker Algebraische Strukturen

275 Pages·2017·2.22 MB·German

Mathematik für Informatiker
Algebraische Strukturen
Vorlesungsmanuskript Sommersemester 2018
Janko Böhm
21. Juli 2018
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung 1
1 Grundkonstruktionen 4
1.1 Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Halbordnungen und Äquivalenzrelationen . . . . . 18
1.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Zahlen 27
2.1 Die ganzen Zahlen und Division mit Rest . . . . . 27
2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik . . . . . . . . . . 32
2.3 Größter gemeinsamer Teiler und Euklidischer Al-
gorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Der chinesische Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Primfaktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Gruppen 47
3.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Gruppen und Operationen . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.3 Operation durch Translation . . . . . . . . 73
3.2.4 Bahnengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.5 Anwendung: Aufzählen von Graphen . . . 83
3.3 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.1 Normalteiler und Quotientengruppe . . . . 86
1
INHALTSVERZEICHNIS 2
3.3.2 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 Ringe 101
4.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Die Einheitengruppe von Z/n . . . . . . . . . . . . 112
4.5 Anwendung: RSA Kryptosystem. . . . . . . . . . . 116
4.5.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.2 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.5.3 Nachrichtenübertragung . . . . . . . . . . . 118
4.6 Anwendung: Primfaktorisierung mit dem Verfah-
ren von Pollard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.7 Anwendung: Diffie-Hellman Schlüsselaustausch . . 122
4.8 Ideale und Quotientenringe . . . . . . . . . . . . . . 123
4.9 Integritätsringe und Körper . . . . . . . . . . . . . 126
4.10 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.11 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.12 Anwendung: Modulares Rechnen . . . . . . . . . . 136
4.13 Anwendung: Interpolation . . . . . . . . . . . . . . 137
4.14 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5 Vektorräume 148
5.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2 Gaußalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.3 Vektorräume und Basen . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.5 Vektorraumhomomorphismen . . . . . . . . . . . . 176
5.6 Inhomogene lineare Gleichungssysteme . . . . . . . 181
5.7 Darstellende Matrix eines Homomorphismus . . . 187
5.8 Gauß mit Zeilen- und Spaltentransformationen . . 193
5.9 Isomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.10 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.11 Klassifikation von Homomorphismen . . . . . . . . 206
5.12 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.13 Anwendung: Lineare Codes . . . . . . . . . . . . . . 210
5.13.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.13.2 Fehlererkennung . . . . . . . . . . . . . . . . 212
INHALTSVERZEICHNIS 3
5.13.3 Fehlerkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.14 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.15 Anwendung: Eigenvektoren und Page-Rank . . . . 231
5.15.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.15.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . 233
5.15.3 Markovmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.16 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6 Anhang: Computeralgebra 253
6.1 Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.2 Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Abbildungsverzeichnis
1 Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Vier Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Durchschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Graph der Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Eine nicht-injektive Abbildung . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Eine bijektive Abbildung und ihre Umkehrabbil-
dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Identische Abbildung R→R . . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Äquivalenzklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11 Die Türme von Hanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.12 Wieviele kürzeste Wege gibt es von A nach B. . . 24
2.1 Zwei Konfigurationen von drei Zahnrädern . . . . 46
3.1 Die Platonischen Körper . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Komposition von zwei Symmetrien des Tetraeders 48
3.3 Eine Drehsymmetrie des Tetraeders . . . . . . . . . 52
3.4 Eine Spiegelsymmetrie des Tetraeders . . . . . . . 53
3.5 Restklassen modulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7 Beispiel einer Bewegung des R2. . . . . . . . . . . . 64
3.8 Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.9 Spiegelsymmetrie (2,3) des Tetraeders . . . . . . . 81
3.10 Bahnen von Punkten des Tetraeders . . . . . . . . 82
3.11 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4
ABBILDUNGSVERZEICHNIS i
3.12 Nachbarschaftsverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . 84
3.13 Isomorphe Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.14 Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.15 Regelmäßiges 5-Eck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.16 Tetraeder mit Kantenmittendiagonalen. . . . . . . 99
3.17 Ikosaeder mit Nummerierung der Ecken . . . . . . 100
4.1 Polynomfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4 Polynom mit vorgegebenen Funktionswerten und
Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1 Kubische Polynome mit Nullstellen bei −1 und 2
und Wendepunkt bei 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2 Geraden im R2, die Untervektorräume sind . . . . 160
5.3 Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.4 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5 Zwei Erzeugendensysteme der Ebene {z =0}⊂R3 164
5.6 Affine Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.7 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.8 Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.9 Subtraktion eines Vielfachen des ersten Erzeugers
des Parallelogramms vom zweiten. . . . . . . . . . 222
5.10 Parallelogramm nach Scherung . . . . . . . . . . . 223
5.11 Scherung zum Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.12 Zum Parallelogramm flächengleiches Rechteck . . 224
5.13 GerichteterGraphvonLinkszwischenInternetsei-
ten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.1 Gröbnerbasen-AlgorithmusfürdenSchnittvonzwei
Ellipsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Symbolverzeichnis
m∉M m ist kein Element von M . . . . . . . . 4
m∈M m ist Element von M . . . . . . . . . . . 4
N Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . 5
N Die natürlichen Zahlen mit 0 . . . . . . 5
0
Z Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 5
Q Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . 5
∣ mit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
⇒ daraus folgt . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
⇔ genau dann wenn . . . . . . . . . . . . . 5
M/N Komplement von N in M . . . . . . . . 5
M ∪N Vereinigung von N und M . . . . . . . . 5
M ∩N Durchschnitt von N und M . . . . . . . 5
∀ für alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
∃ es existiert . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
∣M∣ Anzahl der Elemente von M . . . . . . . 7
M ×N Kartesisches Produkt von M und N . . 7
2M Potenzmenge von M . . . . . . . . . . . 8
∑n a Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
k=1 k
∏n a Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
k=1 k
f(A) Bild von A unter der Abbildung f . . . 12
Bild(f) Bild der Abbildung f . . . . . . . . . . . 12
f−1(B) Urbild von B unter der Abbildung f . . 12
Graph(f) Graph von f . . . . . . . . . . . . . . . . 12
f−1 Umkehrabbildung der bijektiven Abb. f 15
∃ es existiert genau ein . . . . . . . . . . . 15
1
(n) Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . 23
k
b∣a b teilt a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
a≡bmodm a kongruent zu b modulo m . . . . . . . 32
π(x) Anzahl der Primzahlen kleiner gleich x 34
ii
SYMBOLVERZEICHNIS iii
ggT Größter gemeinsamer Teiler . . . . . . . 35
kgV Kleinstes gemeinsames Vielfaches . . . . 35
S(X) Gruppe der Selbstabbildungen von X . 51
S Symmetrische Gruppe. . . . . . . . . . . 51
n
G ×G Kartesisches Produkt von G und G . 53
1 2 1 2
Z/n Restklassengruppe . . . . . . . . . . . . . 54
Z Restklassengruppe . . . . . . . . . . . . . 54
n
kerϕ Kern von ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Bildϕ Bild von ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
⟨E⟩ Untergruppe erzeugt von E . . . . . . . 60
ord(g) Ordnung von g . . . . . . . . . . . . . . . 61
E(n) Gruppe der Euklidischen Bewegungen . 63
Sym(M) Symmetriegruppe . . . . . . . . . . . . . 63
Gm Bahn von m unter der Operation von G 66
Stab(N) StabilisatorderMengeN unterderOpe-
ration von G . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Stab(m) Stabilisator von m unter der Operation
von G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
[G∶H] Index der Untergruppe H ⊂G . . . . . . 77
R× Einheitengruppe von R . . . . . . . . . . 103
R[x] Polynomring in x über R . . . . . . . . . 107
deg(f) Grad des Polynoms f . . . . . . . . . . . 107
ϕ(n) Eulersche Phi-Funktion, n∈N . . . . . . 113
char(K) Charakteristik von K . . . . . . . . . . . 128
ϕ Koordinatenabbildung bezüglich Ω . . . 170
Ω
dimV Dimension von V . . . . . . . . . . . . . 172
L(A,b) Lösungsmenge von A⋅x=b . . . . . . . 182
MΩ(F) Darstellende Matrix von F bezüglich
∆
der Basen Ω und ∆ . . . . . . . . . . . . 189
Kn×m Vektorraum der n×m-Matrizen . . . . . 192
Hom (V,W) Vektorraum der Homom. V →W . . . . 192
K
LΩ(A) Zur Matrix A bezüglich der Basen Ω
∆
und ∆ zugeordneter Homomorphismus 192
At Transponierte von A . . . . . . . . . . . 212
d(a,b) Hammingabstand von a und b . . . . . . 215
d (U) Minimalabstand des Codes U . . . . . . 215
min
det(A) Determinante von A . . . . . . . . . . . . 224
Eig(A,λ) Eigenraum von A zum Eigenwert λ. . . 233
⊕ Direkte Summe. . . . . . . . . . . . . . . 236
SYMBOLVERZEICHNIS iv
0
Einleitung
Wir wollen uns mit den Grundlagen der Zahlentheorie, Algebra
und insbesondere der linearen Algebra beschäftigen. Dies sind
eng verknüpfte Teilgebiete der reinen Mathematik, neben Ana-
lysis, Kombinatorik1, Geometrie und Topologie2.
Was ist Zahlentheorie? Wie der Name schon verrät befas-
sen sich die Zahlentheoretiker mit den Eigenschaften von Zahlen
(...,−1,0,1,2,3,...),insbesonderemitderBeziehungzwischender
Addition und der Multiplikation. Viele zahlentheoretische Pro-
blemekönnensehreinfachformuliert,abernursehrschwergelöst
werden. Das bekannteste Beispiel ist sicherlich Fermats letzter
Satz von 1637: Es gibt für n≥3 keine (nichttriviale) ganzzahlige
Lösung der Gleichung
xn+yn =zn
1Mit Hilfe der Kombinatorik kann man zum Beispiel berechnen, dass es
beim Ziehen der Lottozahlen (49)≈14000000 mögliche Ergebnisse gibt.
6
2In der Topologie sieht man zum Beispiel, dass sich der Knoten in Ab-
bildung 1 nicht ohne Aufschneiden entwirren läßt.
Abbildung 1: Knoten
1