Mathematik für Informatiker Algebraische Strukturen

244 Pages·2014·2.02 MB·German

Mathematik für Informatiker
Algebraische Strukturen
Vorlesungsmanuskript Sommersemester 2014
Janko Böhm
31. August 2014
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung 1
1 Grundkonstruktionen 4
1.1 Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Zahlen 24
2.1 Die ganzen Zahlen und Division mit Rest . . . . . 24
2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik . . . . . . . . . . 28
2.3 Größter gemeinsamer Teiler und Euklidischer Al-
gorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Primfaktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Der chinesische Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Gruppen 41
3.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Gruppen und Operationen . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.3 Operation durch Translation . . . . . . . . 63
3.2.4 Bahnengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1 Normalteiler und Quotientengruppe . . . . 75
3.3.2 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . 79
i
INHALTSVERZEICHNIS ii
3.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Ringe 90
4.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Ideale und Quotientenringe . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 Integritätsringe und Körper . . . . . . . . . . . . . 100
4.5 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Anwendungen: Zahlen, Gruppen, Ringe 117
5.1 Modulares Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3 RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.2 Die Einheitengruppe von Z/n . . . . . . . . 121
5.3.3 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.4 Nachrichtenübertragung . . . . . . . . . . . 124
5.4 Primfaktorisierung mit dem Verfahren von Pollard 126
5.5 Diffie-Hellman Schlüsselaustausch . . . . . . . . . . 128
5.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6 Vektorräume 131
6.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 Gaußalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Vektorräume und Basen . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.5 Vektorraumhomomorphismen . . . . . . . . . . . . 156
6.6 Algorithmen für Kern und Bild . . . . . . . . . . . 166
6.7 Isomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.8 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.9 Klassifikation von Homomorphismen . . . . . . . . 178
6.10 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.11 Inhomogene lineare Gleichungssysteme . . . . . . . 182
6.12 Urbilder unter Isomorphismen . . . . . . . . . . . . 188
6.13 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.14 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
INHALTSVERZEICHNIS iii
7 Anwendungen: Vektorräume 208
7.1 Lineare Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.1.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.1.2 Fehlererkennung . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.1.3 Fehlerkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.2 Eigenvektoren und Page-Rank . . . . . . . . . . . . 218
7.2.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . 220
7.2.3 Markovmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Abbildungsverzeichnis
1 Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Vier Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Durchschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Graph der Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Identische Abbildung R→R . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Äquivalenzklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Die Türme von Hanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 Wieviele kürzeste Wege gibt es von A nach B. . . 22
2.1 Zwei Konfigurationen von drei Zahnrädern . . . . 40
3.1 Die Platonischen Körper . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Komposition von zwei Symmetrien des Tetraeders 42
3.3 Eine Drehsymmetrie des Tetraeders . . . . . . . . . 46
3.4 Eine Spiegelsymmetrie des Tetraeders . . . . . . . 47
3.5 Restklassen modulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 Beispiel einer Bewegung des R2. . . . . . . . . . . . 56
3.8 Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.9 Spiegelsymmetrie (2,3) des Tetraeders . . . . . . . 71
3.10 Bahnen von Punkten des Tetraeders . . . . . . . . 72
3.11 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.12 Nachbarschaftsverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . 74
3.13 Isomorphe Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.14 Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
iv
ABBILDUNGSVERZEICHNIS v
3.15 Regelmäßiges 5-Eck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.16 Tetraeder mit Kantenmittendiagonalen. . . . . . . 88
3.17 Ikosaeder mit Nummerierung der Ecken . . . . . . 89
4.1 Polynom mit vorgegebenen Funktionswerten und
Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1 Kubische Polynome mit Nullstellen bei −1 und 2
und Wendepunkt bei 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2 Geraden im R2, die Untervektorräume sind . . . . 142
6.3 Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.4 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.5 Zwei Erzeugendensysteme der Ebene {z =0}⊂R3 146
6.6 Affine Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.7 Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.8 Subtraktion eines Vielfachen des ersten Erzeugers
des Parallelogramms vom zweiten. . . . . . . . . . 190
6.9 Parallelogramm nach Scherung . . . . . . . . . . . 191
6.10 Scherung zum Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.11 Zum Parallelogramm flächengleiches Rechteck . . 192
7.1 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.2 GerichteterGraphvonLinkszwischenInternetsei-
ten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Symbolverzeichnis
m∈M m ist Element von M . . . . . . . . . . . 4
N Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . 5
N Die natürlichen Zahlen mit 0 . . . . . . 5
0
Z Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 5
Q Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . 5
∣ mit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
⇒ daraus folgt . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
⇔ genau dann wenn . . . . . . . . . . . . . 5
M/N Komplement von N in M . . . . . . . . 5
M ∪N Vereinigung von N und M . . . . . . . . 5
M ∩N Durchschnitt von N und M . . . . . . . 5
∀ für alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
∃ es existiert . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
∣M∣ Anzahl der Elemente von M . . . . . . . 7
M ×N Kartesisches Produkt von M und N . . 7
2M Potenzmenge von M . . . . . . . . . . . 8
∑n a Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
k=1 k
∏n a Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
k=1 k
f(A) Bild von A unter der Abbildung f . . . 12
Bild(f) Bild der Abbildung f . . . . . . . . . . . 12
f−1(B) Urbild von B unter der Abbildung f . . 12
Graph(f) Graph von f . . . . . . . . . . . . . . . . 12
f−1 Umkehrabbildung der bijektiven Abb. f 13
(n) Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . 21
k
b∣a b teilt a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
a≡bmodm a kongruent zu b modulo m . . . . . . . 27
π(x) Anzahl der Primzahlen kleiner gleich x 29
ggT Größter gemeinsamer Teiler . . . . . . . 30
kgV Kleinstes gemeinsames Vielfaches . . . . 30
vi
SYMBOLVERZEICHNIS vii
S(X) Gruppe der Selbstabbildungen von X . 45
S Symmetrische Gruppe. . . . . . . . . . . 45
n
G ×G Kartesisches Produkt von G und G . 46
1 2 1 2
Z/n Restklassengruppe . . . . . . . . . . . . . 48
Z Restklassengruppe . . . . . . . . . . . . . 48
n
kerϕ Kern von ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Bildϕ Bild von ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
⟨E⟩ Untergruppe erzeugt von E . . . . . . . 54
ord(g) Ordnung von g . . . . . . . . . . . . . . . 54
E(n) Gruppe der Euklidischen Bewegungen . 56
Sym(M) Symmetriegruppe . . . . . . . . . . . . . 57
Gm Bahn von m unter der Operation von G 59
Stab(N) StabilisatorderMengeN unterderOpe-
ration von G . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Stab(m) Stabilisator von m unter der Operation
von G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
[G∶H] Index der Untergruppe H ⊂G . . . . . . 67
R× Einheitengruppe von R . . . . . . . . . . 91
R[x] Polynomring in x über R . . . . . . . . . 95
deg(f) Grad des Polynoms f . . . . . . . . . . . 95
char(K) Charakteristik von K . . . . . . . . . . . 104
ϕ(n) Eulersche Phi-Funktion, n∈N . . . . . . 122
dimV Dimension von V . . . . . . . . . . . . . 153
ϕ Koordinatenabbildung bezüglich Ω . . . 157
Ω
MΩ(F) Darstellende Matrix von F bezüglich
∆
der Basen Ω und ∆ . . . . . . . . . . . . 162
Kn×m Vektorraum der n×m-Matrizen . . . . . 165
Hom (V,W) Vektorraum der Homom. V →W . . . . 165
K
LΩ(A) Zur Matrix A bezüglich der Basen Ω
∆
und ∆ zugeordneter Homomorphismus 165
L(A,b) Lösungsmenge von A⋅x=b . . . . . . . 182
det(A) Determinante von A . . . . . . . . . . . . 192
At Transponierte von A . . . . . . . . . . . 210
d(a,b) Hammingabstand von a und b . . . . . . 213
d (U) Minimalabstand des Codes U . . . . . . 213
min
Eig(A,λ) Eigenraum von A zum Eigenwert λ. . . 220
⊕ Direkte Summe. . . . . . . . . . . . . . . 223
SYMBOLVERZEICHNIS viii
0
Einleitung
Wir wollen uns mit den Grundlagen der Zahlentheorie, Algebra
und insbesondere der linearen Algebra beschäftigen. Dies sind
eng verknüpfte Teilgebiete der reinen Mathematik, neben Ana-
lysis, Kombinatorik1, Geometrie und Topologie2.
Was ist Zahlentheorie? Wie der Name schon verrät befas-
sen sich die Zahlentheoretiker mit den Eigenschaften von Zahlen
(...,−1,0,1,2,3,...),insbesonderemitderBeziehungzwischender
Addition und der Multiplikation. Viele zahlentheoretische Pro-
blemekönnensehreinfachformuliert,abernursehrschwergelöst
werden. Das bekannteste Beispiel ist sicherlich Fermats letzter
Satz von 1637: Es gibt für n≥3 keine (nichttriviale) ganzzahlige
Lösung der Gleichung
xn+yn =zn
1Mit Hilfe der Kombinatorik kann man zum Beispiel berechnen, dass es
beim Ziehen der Lottozahlen (49)≈14000000 mögliche Ergebnisse gibt.
6
2In der Topologie sieht man zum Beispiel, dass sich der Knoten in Ab-
bildung 1 nicht ohne Aufschneiden entwirren läßt.
Abbildung 1: Knoten
1