Mathematik für Informatiker: Algebra, Analysis, Diskrete Strukturen

460 Pages·2009·4.479 MB·German

by  Bernd Kreußler, Gerhard Pfister (auth.)

eXamen.press
eXamen.press ist eineReihe, dieTheorieund
Praxis aus allen Bereichen der Informatik für
dieHochschulausbildungvermittelt.
·
Bernd Kreußler Gerhard Pfister
Mathematik für Informatiker
Algebra, Analysis, Diskrete Strukturen
123
Dr.BerndKreußler Prof.Dr.GerhardPfister
MaryImmaculateCollege FachbereichMathematik
SouthCircularRoad TechnischeUniversitätKaiserslautern
Limerick 67653Kaiserslautern
Irland Deutschland
[email protected] pfi[email protected]
ISBN978-3-540-89106-2 e-ISBN978-3-540-89107-9
DOI10.1007/978-3-540-89107-9
eXamen.pressISSN1614-5216
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(cid:2)c 2009Springer-VerlagBerlinHeidelberg
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GedrucktaufsäurefreiemPapier
987654321
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F¨ur Andrea, Manja, Jana
B. K.
F¨ur Marlis, Alexander, Jeannette
G. P.
Vorwort
Dieses Buch richtet sichvor allem an Informatikstudenten der erstenSemes-
ter. Es ist hervorgegangenaus Vorlesungen, die von den Autoren an der TU
Kaiserslautern gehalten wurden. Der Inhalt und Stoffumfang wurden mehr-
fachinder Praxiserprobt.DainKaiserslauternsowohlimFru¨hjahralsauch
im Herbst ein Studieneinstieg m¨oglich ist, beginnen dort einige Studenten
mit Algebra (Kapitel 1 und 2), andere jedoch mit Analysis und Diskreter
Mathematik (Kapitel 3–5). Der Text ist so aufgebaut, dass dies m¨oglich ist.
Ein guter Informatiker ben¨otigt ein breites mathematisches Grundwissen.
Dabei geht es nicht vordergru¨ndig um Formeln und Fakten, sondern um die
F¨ahigkeit, abstrakte Strukturen zu erkennen und zu verstehen. Bevor ein
Rechner ein kompliziertes Problem l¨osen kann, muss es in der Regel vom
Menschen (Informatiker) bearbeitet werden. Die besten Ergebnisse werden
dabei erzielt, wenn die dem Problem innewohnenden abstrakten Strukturen
erkannt und ausgenutzt werden.
Die KonzeptiondiesesLehrbuchesunterscheidetsichvonvielenanderenMa-
thematikbu¨chern vor allem in den folgenden drei Punkten:
JedesKapitelbeginntmitkonkreten,demLeservertrautenBegriffenoder
•
Situationen.Davonausgehendwirdschrittweiseabstrahiertbishinzuden
gebr¨auchlichen abstrakten Begriffen der modernen Mathematik.
In jedem Kapitel werden viele interessante Situationen des Alltagslebens
•
beschrieben, in denen die zuvor eingefu¨hrten abstrakten Begriffe und die
bewiesenenErgebnissezumEinsatzkommen.DabeistehenAnwendungen
im Mittelpunkt, die einen engen Bezug zur Informatik besitzen.
DasKapitelu¨berMengenlehreistamEndedesBucheszufinden.Eskann
•
jederzeit unabh¨angig vom restlichen Text gelesen werden.
Dieses Lehrbuch besteht aus drei Teilen, die jeweils zwei Kapitel enthalten
und weitgehend voneinander unabh¨angig sind. Sie sind so angelegt, dass sie
im Wesentlichen einzeln verstanden werden k¨onnen:
Teil I – Algebra Teil II – Analysis Teil III – Diskrete Strukturen.
vii
viii Vorwort
TeilIbestehtausdenzweiKapitelnZahlen undLineare Algebra.Besonderer
Wert wird auf die Vermittlung wichtiger Beweistechniken und der Methode
der Abstraktion (A¨quivalenzklassenbildung) gelegt.
Im ersten Kapitel werden, ausgehend von den ganzen Zahlen, die wichti-
gen algebraischenStrukturen Gruppe, Ring und K¨orper erkl¨art.Als Anwen-
dungwerdendieGrundlagendermodernenKryptographieunddasRSAVer-
schlu¨sselungsverfahrenerl¨autert.ManfindetauchdiezurZeitgr¨oßtebekann-
tePrimzahl.ImZusammenhangmitdemGruppenbegriffwirderl¨autert,was
es mit Geldscheinnummern, der ISBN und der EAN auf sich hat. Es kommt
auch der Rubik-Wu¨rfel und seine Interpretation als Gruppe vor. Im zweiten
Kapitel wird die Lineare Algebra dargestellt. Sie besch¨aftigt sich nicht nur
mit Verfahren zur Bestimmung von L¨osungsmengen linearer Gleichungssys-
teme, sondern auch mit strukturellen Eigenschaftensolcher L¨osungsmengen.
Als Anwendung findet man fehlerkorrigierende Codes und deren Bedeutung
fu¨r die gute Qualit¨at der Musikwiedergabe eines CD-Spielers.
Der Teil II enth¨alt die Kapitel Reelle Zahlen und Folgen und Funktionen.
Zun¨achst werden die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung be-
handelt. Darauf aufbauend werden verschiedene M¨oglichkeiten der Approxi-
mation von Funktionen diskutiert. Dies umfasst die Approximation stetiger
Funktionen durch Polynome und die Approximation periodischer Funktio-
nen durch Fourier-Reihen. Das fu¨hrt schließlich zu den schnellen Fourier-
Transformationen und deren Anwendung bei der Bildkompression (JPEG-
Verfahren)undAudiokompression(MP3-Verfahren).Weitere Anwendungen,
die in diesem Kapitel besprochen werden, sind verschiedene Methoden zur
Berechnung der Zahl π und die n¨aherungsweise Berechnung von n! fu¨r sehr
große natu¨rliche Zahlen n.
Die Kapitel im Teil III heißen Diskrete Mathematik und Grundlagen der
Mathematik. In der Diskreten Mathematik werden die elementaren Grund-
lagen der Kombinatorik,Wahrscheinlichkeitstheorie und Graphentheorie be-
handelt. Als Anwendungen werden einerseits die Funktionsweise von Spam-
filternund die VerwaltunggroßerDatenmengen mitHashtabellendiskutiert.
Andererseits wird erkl¨art, wie Suchmaschinen effizient Informationen im In-
ternet finden und wie ein Routenplaner einen optimalen Weg bestimmt. Es
wir auch der mathematische Hintergrund eines Sudokus erkl¨art. Schließlich
werden effiziente Primzahltests, die auf Methoden der Wahrscheinlichkeits-
theorie beruhen, vorgestellt.
Das Kapitel u¨ber die Grundlagen der Mathematik besch¨aftigt sich mit Aus-
sagenlogik,Mengenlehre und Relationen. Darin wird das Standardvokabular
der modernen Mathematik erl¨autert.Es ist so angelegt,dasses mehr als nur
eine trockene, kurze und knappe Sprachschulung ist. Durch die Darstellung
einiger Bezu¨gezur Arbeit mit Datenbankenwirdder Versuchunternommen,
dieRelevanzderGrundbegriffederMathematikinderInformatikdenLesern
nahezubringen. Dieses Kapitel kann jeder Zeit unabh¨angig vom u¨brigen Teil
dieses Buches gelesen werden.
Vorwort ix
AmEndediesesBuchesistnebeneinemSymbolverzeichnis,einemStichwort-
verzeichnis und einem Verzeichnis der erw¨ahnten Personenauch ein Anhang
zu finden, der die L¨osungen aller U¨bungsaufgaben enth¨alt. Dadurch ist das
vorliegende Buch auch sehr gut zum Selbststudium geeignet.
Hinweise fu¨r Studierende
Die drei Teile dieses Lehrbuches sind unabh¨angig voneinander lesbar. Wir
empfehlen, Kapitel 6 u¨ber die Grundlagen der Mathematik fru¨hzeitig we-
nigstens zu u¨berfliegen und nach dem Studium von Teil I oder Teil II bzw.
bei Bedarf nochmals fu¨r ein tieferes Studium zu Kapitel 6 zuru¨ckzukehren.
DasZieldesKursesbestehtimVerst¨andnisvonKonzepten,Begriffsbildungen
und von Methoden zur Probleml¨osung.Ohne aktive Mitarbeit des Lesers ist
diesesZielnichterreichbar.DasKonsumierendesTextesbeziehungsweiseder
Vorlesungals reinerZuschauerist beiweitem nichtausreichend.Daherlegen
wirjedemLeseransHerz,alleU¨bungsaufgabenselbst¨andigzul¨osenoderdies
zumindest ernsthaft zu versuchen. Die L¨osungen im Anhang dienen nur zur
Kontrolle, ob die eigene L¨osung korrektist.
Hinweise fu¨r Vorlesende
Auf der Grundlagedieses Bucheskannmanzwei4-stu¨ndige Vorlesungen(je-
weils ein Semester mit etwa 13–15 Wochen) gestalten. Erprobt wurde, in
einemSemesterdieKapitel1,2und6,undimanderendieKapitel3,4und5
zubehandeln. Dabeimuss manin Abh¨angigkeitvonder konkretenSituation
eventuell etwas ku¨rzen. Die beiden Vorlesungen k¨onnen so gestaltet werden,
dass sie unabh¨angig und damit in ihrer Reihenfolge vertauschbar sind.
Die regelm¨aßige w¨ochentliche Abgabe eigener schriftlicher L¨osungsversuche
der Studenten und begleitende U¨bungsstunden mit sachkundiger Betreuung
scheinen den Autoren wesentlich fu¨r den Erfolg des Kurses.
Dankesworte
Durch zahlreiche Diskussionen mit unseren Kollegen Magdalena Schweigert
und Klaus Wirthmu¨ller und dadurch, dass sie uns Einsicht in ihre Vorle-
sungsmanuskripte gew¨ahrt haben, sind ihre langj¨ahrigen Erfahrungen bei
der Mathematikausbildung von Informatikstudenten sehr wesentlich in die-
ses Lehrbuch mit eingeflossen. Dafu¨r und fu¨r die konstruktive und kritische
Durchsicht unseres Manuskripts m¨ochten wir uns an dieser Stelle bedanken.
Wir bedanken uns bei Carsten Damm, Christian Eder, Ralf Korn, Thomas
Markwig, Stefan Steidel und Rolf Wiehagen, die durch viele sehr nu¨tzliche
Hinweise nach der Lektu¨re eines vorl¨aufigen Manuskripts zur Verbesserung
desvorliegendenTextesbeigetragenhaben.WirdankenPetraB¨asell,dieTeile
des Manuskriptes getippt hat, und Oliver Wienand, der uns bei schwierigen
LATEX-Problemen beraten hat.
Schließlich danken wir unseren Frauen, Andrea und Marlis, fu¨r die Geduld,
die sie w¨ahrend der Entstehung dieses Buches mit uns hatten.
Kaiserslauternund Limerick, Bernd Kreußler
im November 2008 Gerhard Pfister
Inhaltsverzeichnis
Teil I Algebra
1 Zahlen.................................................... 3
1.1 Rechnen mit ganzen Zahlen.............................. 3
1.2 Restklassen............................................ 16
1.3 Gruppen .............................................. 25
1.4 Ringe und K¨orper ...................................... 46
1.5 Kryptographie ......................................... 64
2 Lineare Algebra .......................................... 73
2.1 Lineare Gleichungssysteme............................... 73
2.2 Vektorr¨aume und lineare Abbildungen .................... 93
2.3 Anwendungen des Gaußschen Algorithmus................. 110
2.4 Quadratische Matrizen .................................. 120
2.5 FehlerkorrigierendeCodes ............................... 147
Teil II Analysis
3 Reelle Zahlen und Folgen................................. 165
3.1 Reelle und komplexe Zahlen ............................. 165
3.2 Folgen ................................................ 174
3.3 Reihen ................................................ 186
3.4 Zahlen im Computer.................................... 195
3.5 Asymptotische Notation................................. 200
4 Funktionen ............................................... 205
4.1 Stetigkeit.............................................. 205
4.2 Differentialrechnung .................................... 221
4.3 Potenzreihen........................................... 235
4.4 Integralrechnung ....................................... 238
4.5 Approximation von Funktionen........................... 256
xi
xii Inhaltsverzeichnis
Teil III Diskrete Strukturen
5 Diskrete Mathematik ..................................... 281
5.1 Kombinatorik.......................................... 281
5.2 Wahrscheinlichkeit...................................... 293
5.3 Graphentheorie ........................................ 317
5.4 Primzahltests .......................................... 348
6 Grundlagen der Mathematik.............................. 359
6.1 Aussagenlogik.......................................... 360
6.2 Mengen ............................................... 371
6.3 Relationen............................................. 378
L¨osungen ..................................................... 397
Literaturverzeichnis .......................................... 443
Symbolverzeichnis ............................................ 445
Personenverzeichnis .......................................... 447
Sachverzeichnis ............................................... 449