Mathematik für das Ingenieurstudium

677 Pages·2010·16.923 MB·German

by  Jürgen Koch, Martin Stämpfle

Koch · Stämpfle
Jürgen Koch
Mathematik für das Ingenieurstudium Martin Stämpfle
Dieses Buch enthält die Grundlagen der Mathematik eines technisch Mathematik
orientierten Studiums. Alle wesentlichen Themen sind in einem Band
zusammengefasst und dabei in Form und Inhalt auf die speziellen
Anforderungen eines Bachelor-Studiums ausgerichtet.
für das Ingenieurstudium
Der Zugang zu mathematischen Sachverhalten erfolgt durch verständ - m
liche Herleitungen, farbige Grafiken und sorgfältig ausgewählte Bei-
u
spiele. Viel Wert wird auf Klarheit und Transparenz in Struktur und
Sprache gelegt. Die analytische Herangehensweise wird durch nume- i
d
rische Verfahren ergänzt. Es wird aufgezeigt, wie Problemstellungen
u
auch mithilfe eines Computers gelöst werden können. Viele Kapitel
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enthalten einen Abschnitt mit ausgewählten Anwendungen. Eine kleine s
Formelsammlung und Kurzporträts einiger bedeutender Mathematiker r
k
u
im Anhang runden die Darstellung ab.
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Das Buch eignet sich zum vorlesungsbegleitenden Selbstlernen. an
Alle Beispiele enthalten einen ausführlichen Rechenweg mit vielen Prof. Dr. Jürgen Koch (o.) und e
m
Zwischen schritten und Abbildungen. Zahlreiche Aufgaben zum Ver - Prof. Dr. Martin Stämpfle (u.)
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ständnis, zur Rechentechnik und zu Anwendungen dienen der halten Vorl esungen zur Mathe -
n
matik an der Hochschule
Vertiefung und Prüfungsvorbereitung. Lösungen zu den Aufgaben e
Esslingen. I
sind über die Internetseiten der Autoren abrufbar:
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www.mathematik-fuer-ingenieure.de
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www.hanser.de
ISBN 978-3-446-42216-2
9 783446 422162
Koch · Stämpfle
Mathematik für das Ingenieurstudium

Titelei_Koch_Stämpfle_20072010.indd 1 22.07.2010 12:42:45 Uhr
Jürgen Koch
Martin Stämpfle
Mathematik

für das Ingenieurstudium
Mit 609 Abbildungen, 454 durchgerechneten Beispielen und
303 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen im Internet
Titelei_Koch_Stämpfle_20072010.indd 3 22.07.2010 12:42:45 Uhr
Prof. Dr. rer. nat. Jürgen Koch
Hochschule Esslingen, Fakultät Grundlagen
www.hs-esslingen.de/mitarbeiter/Juergen.Koch, [email protected]
Prof. Dr. rer. nat. Martin Stämpfle
Hochschule Esslingen, Fakultät Grundlagen
www.hs-esslingen.de/mitarbeiter/Martin.Staempfle, [email protected]
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen
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http://dnb.d-nb.de abrufbar.
ISBN 978-3-446-42216-2
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Geneh migung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes
Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung – mit Ausnahme der in den
§§ 53, 54 URG genannten Sonderfälle –, reproduziert oder unter Verwendung elektro-
nischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.

© 2010 Carl Hanser Verlag München
www.hanser.de
Lektorat: Christine Fritzsch
Herstellung: Katrin Wulst
Satz: Jürgen Koch, Martin Stämpfle, Esslingen
Coverconcept: Marc Müller-Bremer, München, Germany
Coverrealisierung: Stephan Rönigk
Druck und Bindung: Druckhaus »Thomas Müntzer« GmbH, Bad Langensalza
Printed in Germany
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5
Vorwort
Drei wesentliche Gründe haben uns bewogen, ein Mathematikbuch zu schreiben. Zum
einen haben wir unser persönliches didaktisches Konzept umgesetzt. Zum anderen ist
diesesBuchsogestaltet,dassesdemWandel,derdurchdenEinsatzvonComputernent-
standenist,gerechtwird.SchließlichwirddurchvieleAnwendungsbeispieledieBedeutung
der Mathematik in der Technik sichtbar.
In diesem Mathematikbuch haben wir viel Wert auf eine verständliche Sprache gelegt.
Begriffe, Regeln und Sätze sind so formuliert, dass sie möglichst leicht zu lesen, schnell
aufzufassen und einfach zu merken sind. Bilder sagen mehr als tausend Worte. Gemäß
diesemGrundsatzwerdenSätze,RegelnundBeispielemitfarbigenSkizzenillustriert.Die-
se Abbildungen helfen, den Sachverhalt unmittelbar visuell aufzunehmen. Alle Beispiele
enthalten einen ausführlichen Rechenweg. Durch die Angabe von vielen Zwischenschrit-
ten sind sie auf das Niveau von Studienanfängern zugeschnitten. Dieses Buch ist nicht
nach dem strengen Prinzip Definition-Satz-Beweis aufgebaut. In diesem Sinne ist es kein
Mathematikbuch für Mathematiker. Trotzdem sind an vielen Stellen Herleitungen oder
Beweisskizzen enthalten. Sie fördern das Verständnis über die Zusammenhänge des ma-
thematischen Gedankengebäudes. Querbezüge zur Geschichte der Mathematik verdeutli-
chen, wie sich die Mathematik über Jahrhunderte aus Ideen genialer Personen entwickelt
hat. Kurzporträts einiger bedeutender Mathematiker befinden sich im Anhang.
Durch den Einsatz von Computern hat sich die Tätigkeit von Ingenieuren stark gewan-
delt. Berechnungen und Konstruktionen werden überwiegend mit Softwarewerkzeugen
durchgeführt. Dadurch steht die Vermittlung von Rechenschemata und Rechentricks bei
der Mathematikausbildung in einem Ingenieurstudium heute nicht mehr im Vordergrund.
ComputermachenMathematikabernichtüberflüssig,imGegenteil:DasKapitalderInge-
nieurabsolventenliegtimVerständnisderMathematik.DasWissenüberdieModellierung
unddieKenntnisunterschiedlicherBerechnungsverfahrensowiedieFähigkeitzueinersou-
veränen Interpretation der Ergebnisse zeichnen einen guten Ingenieur aus. Dieses Buch
wirddiesemgeändertenAnspruchgerecht.DiemeistenKapitelenthalteneinenAbschnitt
übernumerischeVerfahrenundeinenAbschnittüberausgewählteAnwendungen.Beidie-
sen Anwendungen sind die technischen Skizzen und Bezeichnungen teilweise vereinfacht
dargestellt und deshalb nicht immer normgerecht.
Zum Überprüfen des Lernfortschrittes stehen am Ende der Kapitel Aufgaben, unterteilt
in die Kategorien Verständnis, Rechentechnik und Anwendungen, zur Verfügung. Durch
selbstständigesÜbenundmiteinergesundenPortionHartnäckigkeitbeimBearbeitender
Aufgaben wird sich der gewünschte Studienerfolg einstellen. Lösungen zu den Aufgaben
sind über die Internetseiten der Autoren abrufbar: www.mathematik-fuer-ingenieure.de.
Das Dozentenportal des Carl Hanser Verlags stellt für Mathematikdozenten begleitend
zum Buch einen Foliensatz bereit.
6 Vorwort
UnserDankrichtetsichinersterLinieanunsereStudierenden.IhreFragenundBemerkun-
gen über viele Semester hinweg haben uns angeregt, immer wieder über Verbesserungen
der Darstellung des Stoffes zu reflektieren. Ebenfalls bedanken möchten wir uns bei un-
seren Kolleginnen und Kollegen der Fakultät Grundlagen an der Hochschule Esslingen.
Zahlreiche Hinweise sind an vielen Stellen eingeflossen. Ein herzlicher Dank geht an den
Carl Hanser Verlag, speziell an Frau Christine Fritzsch, Frau Renate Roßbach und Frau
Katrin Wulst, für die angenehme Zusammenarbeit bei der Entstehung dieses Buches.
Schließlich gilt ein besonderer Dank unseren Familien, die uns Freiräume geschaffen und
so die Entstehung des Manuskripts ermöglicht haben.
Esslingen, im Juli 2010
Jürgen Koch
Martin Stämpfle
7
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 11
1.1 Logik und Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Potenz und Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Lineare Gleichungssysteme 49
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Numerische Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Vektoren 73
3.1 Der Begriff eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Punkte, Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 Matrizen 117
4.1 Der Begriff einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.5 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.7 Numerische Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.8 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5 Funktionen 155
5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8 Inhaltsverzeichnis
5.2 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.4 Sinus, Kosinus und Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.5 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.6 Exponential- und Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.7 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.8 Numerische Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.9 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6 Differenzialrechnung 245
6.1 Steigung und Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.2 Ableitungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.5 Numerische Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7 Integralrechnung 295
7.1 Flächenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.3 Integrationstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.5 Numerische Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
7.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8 Potenzreihen 345
8.1 Unendliche Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
8.2 Potenzreihen und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
8.3 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
8.4 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
8.5 Numerische Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
8.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
8.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9 Kurven 363
9.1 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
9.2 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
9.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
9.4 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
9.5 Bogenlänge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
9.6 Numerische Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
9.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
9.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Inhaltsverzeichnis 9
10 Funktionen mit mehreren Variablen 387
10.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.2 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.3 Differenziation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
10.4 Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
10.5 Vektorwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
10.6 Numerische Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
10.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
10.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11 Komplexe Zahlen und Funktionen 425
11.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
11.4 Komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
11.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
11.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
12 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 455
12.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
12.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
12.3 Lineare Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
12.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
12.5 Differenzialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
12.6 Numerische Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
12.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
12.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
13 Fourier-Reihen 529
13.1 Fourier-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
13.2 Komplexe Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
13.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
13.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
14 Verallgemeinerte Funktionen 557
14.1 Heaviside-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
14.2 Dirac-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
14.3 Verallgemeinerte Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
14.4 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
14.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
15 Fourier-Transformation 567
15.1 Integraltransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
15.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
15.3 Inverse Fourier-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
15.4 Differenziation, Integration und Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
10 Inhaltsverzeichnis
15.5 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
15.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
15.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
16 Laplace-Transformation 601
16.1 Bildbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
16.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
16.3 Differenziation, Integration und Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
16.4 Transformation periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
16.5 Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
16.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
16.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
16.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
17 z-Transformation 627
17.1 Transformation diskreter Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
17.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
17.3 Lösung von Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
17.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
A Anhang 637
A.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
A.2 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
A.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
A.4 Integralregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
A.5 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
A.6 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
A.7 Fourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
A.8 Laplace-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
A.9 Griechisches Alphabet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
A.10 Bedeutende Mathematiker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
Literaturverzeichnis 663
Sachwortverzeichnis 665