Mathematik für BWL-Bachelor: Schritt für Schritt mit ausführlichen Lösungen

336 Pages·2010·56.921 MB·German

by  Dipl.-Math. Heidrun Matthäus, Dr. rer. nat. habil. Wolf-Gert Matthäus (auth.)

Heidrun Matthäus IWolf-Gert Matthäus
Mathematik für BWL-Bachelor
I
Heidrun Matthäus Wolf-Gert Matthäus
Mathematik
für BWL-Bachelor
Schritt für Schritt mit ausführlichen Lösungen
2., überarbeitete Auflage
STUDIUM
11
VIEWEG+
TEUBNER
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Dipl.-Math.Heidrun Matthäus
studiertevon 1970bis 1975Mathematik und Mathematik-Pädagogik ander Staatlichen Universität
Charkow (Ukraine). Anschließend arbeitete sie an der Technischen Hochschule Merseburg und ab
1991anderMartin-Luther-UniversitätHalle.Seit 1996ist sieals Lehrkraftfür besondere Aufgaben
zuständig für die mathematische Grundausbildung im BWL-Direkt- und Fernstudium am Standort
Stendal der Hochschule Magdeburg-Stendal (FH).
Dr.rer.nat. habil.Wolf-Gert Matthäus
studiertevon 1964bis 1969MathematikanderTUDresden.Dannlehrte eranderTHinMerseburg,
wo er 1973promovierte undsich 1978habilitierte.
Erwurde 1979zumDozenten für Numerische Mathematik berufen.Von 1991bis 1998wirkteeram
AufbauderdeutschsprachigenAbteilungen anderMarmara-UniversitätinIstanbul (Türkei)mit. Nach
seiner Rückkehr nach Deutschland übernahm er Lehraufträge an Universitäten, Fachhochschulen,
Berufsakademien undVerwaltungs-undWirtschaftsakademien.
1. Auflage 2006
2.,überarbeiteteAuflage 2010
Alle Rechtevorbehalten
© Vieweg+Teubner IGWVFachverlage GmbH,Wiesbaden 2010
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Nastassja Vanselow
Vieweg+Teubnerist Teilder Fachverlagsgruppe Springer Science+BusinessMedia.
www.viewegteubner.de
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berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zubetrachten wären und daher
vonjedermann benutztwerden dürften.
Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderischeVerarbeitung:STRAUSSGMBH,Mörlenbach
Gedrucktauf säurefreiem undchlorfrei gebleichtem Papier.
Printed inGermany
ISBN978-3-8348-1012-0
Vorwort
Die hier vorgelegte zweite Auflage, für die vom Verlag die attraktive Möglichkeit ge
schaffen wurde, farbigeGestaltungselementeeinfügen zu können,unterscheidetsich von
der Erstauflage durch ein völlig neu gefasstes Kapitel 17zu den linearen Gleichungssys
temen.Weiter wurden viele Hinweise von Leserinnen und Lesern, von Fachkolleginnen
und Fachkollegen und von Rezensenten berücksichtigt, für die wir uns hiermit aus
drücklichbedanken.
Nach dem Erscheinen der ersten Auflage wurden auch Wünsche nach Erweiterung lind
Vertiefung geäußert, vermisst wurde zum Beispiel die Integralrechnung mit ihren öko
nomischen Anwendungen, die Statistik sowie eine ausführlichere Darstellung der linea
ren Optimierung.
Nach Rücksprache mit dem Verlag entschieden wir uns aber dafür, derartige Erweite
rungen nicht in dieses Buch aufzunehmen, um Inhalt und Umfang (und Preis) in Gren
zen zu halten. Stattdessen erarbeiteten wireinen weiterführenden Titel "Mathematik für
BWL-Master", der seit Mitte 2009 im Buchhandel verfügbar ist. Für alle Interessenten
möchten wirhier einekurze Übersicht derdortbehandelten Themen angeben:
Teil I:ErgänzungenzurAnalysis
Elementederlntegralrecllllll/Jg/Dlffcrevzen-lindDiffemztialgleiclllwgCII
Teil 11:Transportopnrruerung, LineareOptimierung
Lineare Gleic!llIllgssysteme:Kanonische Formell,Basislösungen/ Eilljiilmmg indieTransportop
timierung/ Zuordnungeprooteme ILineareOptimieru/lg
TeilIII:Wahrscheinlichkeitund beurteilendeStatistik
WiederllO/zmg:Wahrsc/leinlid/keit/ Zlifa/lsgrößCII und Verteilungen / verteiumgenalternatioer
linddiskreterZlIfaUssrößell1Stetige verteitungen undstetigeZlIfallsgrößen/NonnaloeneiiungI
Didüejunktion,Stondoränormouerteitung. Quantile/ StatistischeTests:PrüflingVOllYeneilun
gell/StatistischeTests:ParameterfestsIParameterpriifzlllgbeikleinenStichproben
Teil IV:Grundzügeder Entscheidungstheorie
Grundbegriffe der Entecheidungettseorie I Kloseiedie Entscheidungskriterien / Das Bernoulli
Prinzip/ ElltsdieidllllgIInterUngewissheit
Wirhoffen,dass wirmit beiden Titelnden Bachelor-und Master-Studierenden von BWL
und VWL eine gute Unterstützung für ihr anstrengendes Studium geben können. Für
Anregungen und Hinweisesind wirstetsdankbar.
Uenglingen,im Herbst 2009 Heldrun Matthäus
Wolf-GertMatthäus
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage
An den höchsten Bildungsstätten desLandesvollziehtsich, von derbreitenÖffentlichkeit
weitgehend unbemerkt, eine der größten Umwälzungen des deutschen Hochschulwe
sens seit vielen Jahren:
6 Vorwort
Gemäß den EU-Beschlüssen von Bologna erfolgt schrittweise die Umstellung des spezi
fisch deutschen Studiensystems auf die international üblichen Bildungsabschnitte Ba
chelorund Master.Nahezu alle Studiengängewerden dafüraufden Prüfstandgestellt.!
Insbesondere betrifft dies die vielfältigen Studienformen. in denen bisher die Betriebs
wirtschaftslehrevermitteltwurde.
Die vorgeschriebene Akkreditienmg als Voraussetzung für den Erwerb der Lehrerlaub
nis wird dazu führen, dass es keine wesentuchen Unterschiede im dreijährigen BWL
Bachelor-Studium an den verschiedenen hohen Schulen des Landes mehr geben wird.
Damit wird bei sehr gut abgeschlossenem Bachelor-Studium die sofortige oder spätere
WeiterqualifizierungzumBWL-Masteran diesem oderanderemOrtermöglicht.
Einheitlich wird vor allem die Ausbildung in den ersten Semestern erfolgen. Das betrifft
insbesondere die überall erfolgende mathematische Grundlagenausbildung, deren Rah
men neu abgesteckt wird. Häufig werden dafür zweiSemester vorgesehen, allgemein 5
bis7creditpointserhält derStudierendedafürnach erfolgreichem Abschluss.
Das vorliegende Lehrbuch trägtder neuen Situation in jeder Hinsicht Rechnung. Esent
hält in siebzehn Kapiteln zusammengefasst den grundsätzlichen mathematischen lehr
stoff wieerin jedem Bwl.-Bachelor-Studiengang zu vermitteln ist.ZweiKapitelwidmen
sich ganz speziell der Frage, wie die Mathematik sinnvoll auf betriebswirtschaftliche
Fragestellungenangewandtwerden kann.
Daesalsbegleitendes Buch zu den Vorlesungen und gleichzeitig als Hilfe für dasSelbst
studium gedacht ist,stellte es die Autoren immer wieder vor die Frage, wiedie schwie
rige Balance zwischen strenger, aber nüchterner mathematischer Korrektheit und stärker
populärem Erläutern und Erklärengehaltenwerdenkann.
Im Zweifelsfall fiel die Entscheidung meist zugunsten der Erklärung aus. Wir hoffen,
dassdies auch imSinnederLeserseinwird.
Angesichts des vorgegebenen Umfangs mussteauch überlegt werden, welche mathema
tischen Themen zugunsten ausführlich vorgerechneter Beispiele gekürzt oder nur indi
rekt aufgenommen werden. So mussten einführende, systematisch aufbauende Kapitel
über mathematische Logik, Mengenlehre und den Aufbau des Zahlensystems entfallen,
wichtige Begriffewerden aberim Kontextdort erklärt, wosiebenötigt werden.
Nichtgekürzt wurde aber bei deneinführenden Kapiteln,die daselementareund höhere
"mathematische Handwerkszeug" wiederholend zusammenstellen, vertiefen und ergän
zen. Denn die Erfahrung beider Autoren, zusammen mehr als siebzig Jahre als Hoch
schul-Lehrendeund als Hochschullehreran diversen höheren und höchsten Bildungsein
richtungen tätig, weisen immer wieder aus, dass es nicht vordergründig intellektuelle
Defizite oder das Unverständnis der Mathematik sind. die die BWL-Studierenden so oft
an Mathematik-Klausuren scheitern lassen.
Für den Dialog mit den Lesern wird aufder Internet-Seite www.w-g-m.de unter der ge
sonderten Rubrik Leserservice aufoft gestellteFragen zum Buchgeantwortet.
Uenghngen,im Sommer 2006 Heidrun Matthaus
Wolf-GertMatthäus
Inhaltsverzeichnis
1 Analysis 17
1.1 Funktionen 17
1.1.1 Begriff . ............17
1.1.2 Nutzen von Funktionen . .............19
1.1.3 Graph der Funktion 19
1.2 Aufgaben derAnalysis 21
1.3 Vorschau 22
2 Elementares Handwerkszeug 23
2.1 Klammersetzung 23
2.1.1 Punkt-vorStrichrechnung 23
2.1.2 Potenz-vorPunktrechnung 23
2.1.3 Klammern 23
2.2 Bruchrechnung 24
2.2.1 Grundsätzliches 24
2.2.2 Multiplikation und Division von Brüchen 25
2.2.3 Addition und Subtraktion von Brüchen 26
2.3 Größenverhältnissebei Brüchen 27
3 Erweitertes Handwerkszeug.•••........••........•••........•••........•••........•••........••........•••........•••29
3.1 Potenzen,Wurzeln,Logarithmen 29
3.1.1 Potenzen 29
3.1.2 Potenzgesetze 29
3.1.3 Wurzeln 30
3.1.4 Wurzelgesetze 31
3.1.5 Der BegriffdesLogarithmus 32
3.1.6 Dualer,dekadischerund natürlicherLogarithmus 33
3.1.7 Logarithmengesetze 34
8 Inhaltsverzeichnis
3.2 Gleichungen, Ungleichungen,Beträge 35
3.2.1 Allgemeineszu Gleichungen 35
3.2.2 QuadratischeGleichungen 37
3.2.3 Ungleichungen - Begriffund Lösungsmenge 38
3.2.4 Ungleichungen - Multiplikation mitbekannten Zahlen 39
3.2.5 Ungleichungen - DivisiondurchbekannteZahlen 40
3.2.6 Ungleichungen - MultiplikationlDivisionohne Vorzeicheninformation 40
3.2.7 Beträge 45
3.2.8 Betragsgleichungenund -ungleichungen 45
3.3 Umgang mitdem Summenzeichen 47
3.3.1 EinfacheSummen 47
3.3.2 Rechenregeln füreinfacheSummen 49
3.3.3 Doppelsummen 49
3.3.4 Rechenregeln fürDoppelsummen 50
4 Elementare Funktionen und ihre Graphen 51
4.1 Polynome 51
4.1.1 Allgemeines 51
4.1.2 Berechnungvon Funktionswerten von Polynomen 51
4.1.3 Graphen von Polynomen u-ten Grades,wenn nungeradeist.. 52
4.1.4 Graphen von Polynomen /1-ten Grades,wenn ngerade ist 54
4.1.5 Graphen von Polynomen zweiten Grades 55
4.1.6 Parabeln zeichnen 57
4.1.7 Graphenvon PolynomenerstenGrades 60
4.1.8 Polynomenullten Gradesund ihre Graphen 61
4.2 Exponentialfunktionen 61
4.2.1 Begriff. 61
4.2.2 Graphen von Exponentialfunktionen 62
4.2.3 Zeichnen desGraphen 63
4.3 Logarithmusfunktionen 64
4.3.1 Begriff 64
4.3.2 Graphen von Logarithmusfunktionen 64
Inhaltsverzeichnis 9
5 Verwandte Funktionen und ihreGraphen 65
5.1 Begriffserklärung 65
5.2 Additionen und Subtraktionen 66
5.2.1 Addition und Subtraktion zur Funktion 66
5.2.2 Addition und Subtraktion zum Argument 67
5.3 Multiplikationen 68
5.3.1 Multiplikation derFunktion mit(- 1) . 68
5.3.2 Multiplikation desArgumentsmit (-1) . 68
5.4 Betragsbildungen 69
5.4.1 Betragsbildung im Argument 69
5.4.2 Von derFunktion zum Betrag derFunktion 70
6 Kurvendiskussion.......•••........••........•••.........••........•••........•••........•••........••........•••........•••73
6.1 Begriffund Aufgabensteilung 73
6.2 Definitionsbereich 74
6.2.1 BestimmungdesDefinitionsbereiches 74
6.2.2 Beschreibung desDefinitionsbereiches 75
6.2.3 Definitionsbereich alsLösungeinerUngleichung 75
6.2.4 Definitionsbereich alsLösungvon Betragsgleichungen 77
6.2.5 DefinitionsbereichederGrundfunktionen 77
6.2.6 Definitionsbereicheverwandter Funktionen.... ...78
6.3 Randuntersuchungen............................................. ..80
6.3.1 Grundfunktionen 80
6.3.2 BeliebigeFunktionen 81
6.3.3 UnbestimmteAusdrücke 83
6.4 Wertebereich 84
6.4.1 Begriffund Bedeutung 84
6.4.2 WertebereichederGrundfunklionen 85
6.4.3 Wertebereiche verwandterFunktionen 86
6.4.4 WertebereichebeliebigerFunktionen 89
10 Inhaltsverzeichnis
6.5 Schnittpunkte mitden Achsen 89
6.5.1 Schnittpunktmit dersenkrechten Achse 89
6.5.2 Schnittpunkte mitderwaagerechten Achse 90
6.6 Ausblick 92
7 Eigenschaften von Funktionen 93
7.1 Stetigkeit 93
7.1.1 Definition 93
7.1.2 Konsequenzen vonStetigkeitund Unstetigkeit 94
7.1.3 Arten der Unstetigkeit 95
7.1.4 Suchenach Unstetigkeitsstellen 96
7.2 Beschränktheit 98
7.2.1 Definitionen 98
7.2.2 Stetigkeitund Beschränktheit 99
7.3 Monotonie ]00
7.3.1 Definitionen ]00
7.3.2 RechnerischeBestimmungdesMonotonieverhaltens 102
7.3.3 Stetigkeit und Monotonie ]03
7.4 Umkehrfunktion ]04
7.4.1 Fragestellung ]04
7.4.2 BerechnungderUmkehrfunktion ]06
7.5 Mittelbare Funktionen:Funktionen von Funktionen 107
8 Differentialrechnung 113
8.] Vorbemerkung,Bilanz,Ausblick ]13
8.2 DerersteAbleitungswert. ]]3
8.2.1 Begriffund Bedeutung ]]3
8.2.2 Symbolik ]14
8.3 Berechnungdesersten Ableitungswertes.Theorie ]]5
8.4 Berechnungdesersten Ableitungswertes:Praxis ]16
8.4.1 ErsterAbleitungswert und erste Ableitungsfunktion ]16
8.4.2 ErsteAbleitungsfunktion vonwichtigen Grundfunktionen ]16
8.4.3 Faktor-und Summenregel ]18
8.4.4 Produktregel ]19
Inhaltsverzeichnis 11
8.45 Quotientenregel 120
8.5 Kettenregel 120
8.6 LogarithmischesDifferenzieren 123
9 Kurvendiskussion (Fortsetzung) 125
9.1 Bedeutung desersten AbleitungswertesfürdenGraphen 125
9.I.1 AnstiegderTangente 125
9.1.2 WaagerechteTangente 128
9.1.3 Existenzdesersten Ableitungswertes 129
9.2 Bedeutungderersten Ableitungsfunktion fürdenGraphen 132
9.2.1 Grundsätzliches 132
9.2.2 NullstellendererstenAbleitung 134
9.3 ZweiteAbleitungsfunktion 135
9.3.1 Begriffund Berechnung 135
9.3.2 Bedeutung für dieKurvendiskussion . 135
9.3.3 Kriterien und hinreichende Bedingungen für relative Extrema . 138
9.3.4 Lösung von Extremwertaufgaben....................................................... . 138
9.3.5 HöhereAbleitungsfunktionen 140
9.4 Ableitungsfunktionen nicht überalldifferenzierbarerFunktionen 140
9.5 Grenzwerteunbestimmter Ausdrücke 141
10 Folgen mitReihen 143
10.1 Folgenalsspezielle Funktionen 143
10.2 Beschränktheitund Monotonie, alternierendeFolgen 144
10.2.1 Beschränktheit von Folgen 144
10.2.2 Monotonievon Folgen 144
10.2.3 AlternierendeFolgen 145
10.3 Konvergenzund Divergenz von Folgen 145
10.3.1 DasProblem mitdem Unendlichen 145
10.3.2 Definitionen derbestimmten Divergenz 147
10.3.3 Definitionder Konvergenz 148
10.3.4 UnbestimmteAusdrücke 149