Mathematik für Biowissenschaftler: Grundlagen mit Schwerpunkt Statistik für den Bachelor

300 Pages·2015·5.827 MB·German

by  Adolf Riede (auth.)

Mathematik für Biowissenschaftler
Adolf Riede
Mathematik für
Biowissenschaftler
Grundlagen mit Schwerpunkt Statistik
für den Bachelor
2., neu bearbeitete Auflage
Adolf Riede
Fak. für Mathematik und Informatik
Universität Heidelberg
Heidelberg
Deutschland
Die ersteAuflage des Buches erschien unter dem Titel „Mathematik für Biologen: Eine Grund-
vorlesung“.
ISBN 978-3-658-03686-7 ISBN 978-3-658-03687-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-03687-4
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Aus dem Vorwort der 1. Auflage
Ziel des Buches ist es – in einer dem Biowissenschaftler angemessenen Weise – die
mathematischenBegriffe, MethodenundTechnikenzuerklären, diezurAufstellungund
Analysierung mathematischer Modelle benötigt werden. Es geht also nicht nur um die
Beschreibung der mathematischen Modelle, sondern vor allem um die Vermittlung von
mathematischem Verständnis und mathematischen Fertigkeiten, mit denen der Biologe
die Modelle in neuen Situationen richtig anwenden kann und auch neue Probleme min-
destens bis zu einem gewissen Grade selbst mathematisch modellieren und analysieren
kann.
Die dabei benutzte Vermittlungsmethode kann umschrieben werden mit den Worten
„LernenamBeispiel“.Dasheißtkonkret,dassimallgemeinennichtdieabstraktemathe-
matische Definition der benötigten Begriffe amAnfang steht, sondern das Studium von
Beispielen, wobei sich die Intuition von einem dahinter stehenden Begriff entwickeln
kann. Dies reicht oft für ein experimentelles mathematisches Arbeiten aus. Besondere
Sorgfalt ist jedoch dann bei der Überprüfung der Richtigkeit der erhaltenen Ergebnisse
angeraten.FürdieÜberprüfungwirdderPraktikerdieÜbereinstimmungmitExperimen-
tenheranziehen,sodassihmdamiteinebesonderePrüfmöglichkeitgegebenist.Invielen
FällenwirdimLaufederUntersuchungeneinevollständigemathematischeDefinitionder
Begriffe erarbeitet.
Auf viele Beispiele aus Ökologie, Physiologie und Genetik wurde ich durch die imVer-
zeichnis genannte Literatur aufmerksam. Ich habe ihnen eine didaktische Darstellung
gegeben, welche die zumVerständnis benötigten mathematischen Begriffe in möglichst
elementarer und übersichtlicher Weise erklärt. Dabei habe ich mich sehr auf graphische
Darstellungen gestützt, die dem Leser die Begriffe und Ergebnisse lebendig vor Augen
führen.
Mannheim, im September 1992 Adolf Riede
V
Vorwort zur 2. Auflage
Die Entwicklung und Verwendung von Rechnern hat die quantitative Verarbeitung von
Daten, wie sie in den Biowissenschaften vorliegen, heute ermöglicht. Zur sinnvollen
Nutzung der neuen Möglichkeiten braucht es Verständnis und Kenntnisse der Grundla-
gen der Mathematik, auf denen die Funktionsweise der Rechner aufbaut. Dieses Buch
ist den Studierenden der Biowissenschaften im Bachelor-Studium zum Erlernen dieser
Grundlagengewidmet.EinLeitgedankewardabei,dieSprachederBiowissenschaftlerzu
benutzen,dieÜbersetzungindieSprachederMathematiksoverständnisvollundeinfach
wiemöglichzuerklärenunddieErgebnissewiederindieSprachederBiowissenschaftler
zurück zu übersetzen.
Eine Besonderheit ist – ähnlich wie in der 1. Auflage – die Verarbeitung von Analysis
einer Variablen, quantitativer Erfassung von Entwicklungsprozessen, Wahrscheinlich-
keitslehre und Statistik zu einem Ganzen. Der Schwerpunkt der 2. Auflage liegt auf
Wahrscheinlichkeitslehre und Statistik, die etwa zwei Drittel des Buches ausmachen.
ZumArbeiten mit diesem Buch
Die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung ist in zwei Teilen behandelt. Zuerst in
den Kap. 1 bis 5 geht es um endliche diskreteWahrscheinlichkeitsmodelle. Wer danach
mit Statistik weiter lesen möchte, springt zu Kap. 13. Sollte der Leser oder die Lese-
rin dann mathematische Dinge nachschlagen wollen, so gibt es dazu Querverweise zu
den Kap. 6 bis 12, in denen die mathematischen Begriffe bereit gestellt werden. Ein
gegenüberder1.AuflagedeutlicherweitertesStichwortverzeichnissolldasArbeitenmit
diesem Buch erleichtern. Über das Internet gibt es beimVerlag Lösungshinweise zu den
Übungsaufgaben und mathematische Zusätze.
Die Differenzial- und Integralrechnung und die mathematische Erfassung von Ent-
wicklungsprozessen einer Variablen durch Differenzen- und Differentialgleichungen
werden in den Kap. 6 bis 12 behandelt. Somit werden mathematische Grundlagen für
die Systembiologie erklärt.
Durch meine Arbeiten in der ICTMA (International Community of Teachers in Mathe-
matical Modelling and Applications), der Zugehörigkeit zur GDM (Gesellschaft der
Didaktik der Mathematik) und viele Lehrveranstaltungen für Lehramtsstudierende habe
VII
VIII Vorwort zur 2. Auflage
ich sehr dazu gelernt. Mit diesem Buch möchte ich meine Erfahrungen gerne an die
Studierenden der Biowissenschaften weitergeben.
Allen Kollegen der Universität Heidelberg, meinen Freunden und Kollegen aus der ICT-
MA und der GDM, Herrn Oberstudienrat Hanspeter Eichhorn und Frau Prof. Ursula
Kummer aus dem COS (Centre for Organismal Studies Heidelberg), deren Ratschläge
die mathematische Lehre weitergebracht haben, sage ich herzlichen Dank.
Besonders danke ich meiner Familie, die mich in vielfacher Weise unterstützt hat.
Großer Dank gilt auch Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch, Springer Spektrum, für ihre
Unterstützung bei der 2.Auflage des Buches.
Mannheim, 2. Juli 2014 Adolf Riede
Inhaltsverzeichnis
1 Zahlen ............................................................. 1
1.1 Anzahlen....................................................... 1
1.2 Reelle Zahlen................................................... 10
1.3 Dokumentation von Messwerten................................... 12
1.4 Ausgewählte Übungsaufgaben..................................... 14
2 Beschreibende Statistik .............................................. 15
2.1 Merkmale und ihreAusprägungen ................................. 15
2.2 Empirische Häufigkeitsverteilung bei endlichem Merkmal ............ 21
2.3 Empirische Häufigkeitsverteilung bei kontinuierlichem Merkmal....... 26
2.4 Ausgewählte Übungsaufgaben..................................... 30
3 Statistische Maßwerte ............................................... 31
3.1 Das Zentrale Wertepaar und der Median............................ 31
3.2 Das arithmetische Mittel ......................................... 34
3.3 Streuungsmaße.................................................. 36
3.4 Der Fall der Klassenbildung ...................................... 40
3.5 Ausgewählte Übungsaufgaben..................................... 42
4 Endliche Wahrscheinlichkeitsmodelle ................................. 45
4.1 Zufällige Ereignisse ............................................. 45
4.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen ................................... 50
4.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.................... 53
4.4 Die Problematik bei einer Reihenuntersuchung ...................... 56
4.5 Ausgewählte Übungsaufgaben..................................... 58
5 Kombinatorische Modellbildung...................................... 61
5.1 Modell für unabhängige Messreihen ............................... 61
5.2 Zusammenfassen vonAusprägungen ............................... 62
5.3 Binomialverteilung .............................................. 63
5.4 HypergeometrischeVerteilung..................................... 65
IX
X Inhaltsverzeichnis
5.5 Multinomialverteilung ......................................... 67
5.6 Ausgewählte Übungsaufgaben................................... 70
6 Diskrete Entwicklungsprozesse ...................................... 71
6.1 Aufgabenstellung.............................................. 71
6.2 Lineare Modellierung von Geburtenzahl und Todesfällen ........... 72
6.3 Konvergenz von Folgen ....................................... 74
6.4 ExponentielleAbnahme bei konstanter Zufuhr .................... 78
6.5 Beschränktes Wachstum ....................................... 82
6.6 Innerspezifische Konkurrenz ................................... 85
6.7 Konstant bleibende Genotypverteilung ........................... 87
6.8 Ausgewählte Übungsaufgaben................................... 92
7 Funktionen........................................................ 95
7.1 Grundlagen des Funktionsbegriffs ............................... 95
7.2 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit........................ 100
7.3 Ausgewählte Übungsaufgaben................................... 103
8 Exponentialfunktion und Logarithmus............................... 105
8.1 Gleichmäßiges stetiges Wachstum ............................... 105
8.2 Potenzen mit reellen Exponenten und Exponentialfunktion.......... 109
8.3 Logarithmen.................................................. 111
8.4 Das Webersche Gesetz ........................................ 115
8.5 Das psycho-physikalische Gesetz von Weber-Fechner ............. 117
8.6 Logarithmische Skalen ........................................ 122
8.7 Ausgewählte Übungsaufgaben................................... 125
9 Differenzialrechnung ............................................... 127
9.1 Wachstumsrate und Differenzialquotient.......................... 127
9.2 Differenziationsregeln ......................................... 132
9.3 Drittes Modell für gleichmäßiges kontinuierliches Wachstum........ 134
9.4 Konstante, monotone und konvexe Funktionen .................... 137
9.5 Extremwerte.................................................. 139
9.6 Taylorpolynome und Taylorreihe ............................... 142
9.7 Ausgewählte Übungsaufgaben................................... 145
10 Anwendung auf diskrete Entwicklungsprozesse ....................... 147
10.1 Beschreibung durch die Reproduktionsfunktion.................... 147
10.2 Graphische Methoden ......................................... 149
10.3 Stabilität von Gleichgewichten.................................. 151
10.4 Das logistische Modell ........................................ 152
10.5 Beziehungen zwischen den Entwicklungsmodellen................. 155
10.6 Ausgewählte Übungsaufgaben................................... 157
Inhaltsverzeichnis XI
11 Integralrechnung .................................................. 159
11.1 Integral und Flächeninhalt .................................... 159
11.2 Berechnung von Integralen durch Stammfunktionen .............. 162
11.3 Integrationsregeln ........................................... 166
11.4 Uneigentliche Integrale ....................................... 170
11.5 Ausgewählte Übungsaufgaben ................................. 172
12 Kontinuierliche Entwicklungsprozesse ............................... 173
12.1 Exponentieller Prozess ....................................... 173
12.2 ExponentiellerAbbau bei konstanter Zufuhr ..................... 175
12.3 Logistisches Modell und begrenztes Wachstum................... 177
12.4 Ein Zwei-Gruppen-Modell für Epidemien ....................... 181
12.5 Ausgewählte Übungsaufgaben ................................. 183
13 Unendliche diskrete Wahrscheinlichkeits-Modelle ..................... 185
13.1 Poissonverteilung ............................................ 185
13.2 GeometrischeVerteilung ..................................... 189
13.3 Ausgewählte Übungsaufgaben ................................. 192
14 Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsmodelle .......................... 193
14.1 Verteilungsfunktion .......................................... 193
14.2 Wahrscheinlichkeitsdichte und Exponentialverteilung ............. 195
14.3 Die Normalverteilung ........................................ 199
14.4 Maßzahlen ................................................. 200
14.5 Quantile für kontinuierlicheVerteilungen........................ 204
14.6 Skalenwechsel............................................... 206
14.7 Standardisierung vonVerteilungen.............................. 207
14.8 Addition von Zufallsgrößen ................................... 210
14.9 Warum eine Normalverteilung so oft die Norm ist................ 212
14.10 Binomialverteilung und Normalverteilung ....................... 212
14.11 Ausgewählte Übungsaufgaben ................................. 213
15 StochastischeAbhängigkeit ......................................... 215
15.1 Häufigkeitstafel und Punktwolke ............................... 215
15.2 Maßzahlen für lineareAbhängigkeit ............................ 218
15.3 DieAusgleichsgerade......................................... 219
15.4 Nichtlineare Regression....................................... 223
15.5 Regression eines sinusförmigen Biorhythmus .................... 224
15.6 Ausgewählte Übungsaufgaben ................................. 226
16 Statistische Schätzverfahren ........................................ 227
16.1 Punktschätzungen ........................................... 227
16.2 Maximum-Likelihood-Schätzungen ............................. 231