Mathematik für Anwender I (Sommersemester 2013)

215 Pages·2014·1.066 MB·German

by  Julio José Moyano Fernández

Mathematik fu¨r Anwender I
Julio Jose´ Moyano Ferna´ndez
Skript zur Vorlesung SS 2013

Inhaltsverzeichnis
Vorwort 1
Motivation 3
1. Aussagenlogik (fu¨r Anwender) 5
2. Beweismethoden. Das Induktionsprinzip 13
3. Mengen und Abbildungen 21
4. Angeordnete Ko¨rper. Die reellen Zahlen 29
5. Folgen reeller Zahlen (I): Konvergenz 37
6. Folgen reeller Zahlen (II): Monotonie. Konvergenzkriterien 45
7. Folgen reeller Zahlen (III): Reihen 51
8. Stetigkeit und Grenzwerte reeller Funktionen 61
9. Der Zwischenwertsatz von Bolzano 69
10. Elementare Funktionen der Analysis 77
11. Differenzierbarkeit reeller Funktionen 87
12. Mittelwertsa¨tze der Differenzialrechnung 97
13. Integrierbarkeit reeller Funktionen a` la Riemann 105
14. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung 117
15. Ein Ru¨ckblick auf die Infinitesimalrechnung 125
16. Lineare Gleichungssysteme 133
17. Vektorra¨ume 145
18. Basen und Dimension 155
19. Lineare Abbildungen 165
20. Matrizenrechnung (I): Der Rang einer linearen Abbildung 173
iv Abschnitt0
21. Matrizenrechnung (II): Basiswechsel 181
22. Determinanten 189
23. Eigenwerte und Eigenvektoren 201
Nachwort 209
Literaturverzeichnis 211
Vorwort
Der vorliegende Text ist die Niederschrift der Vorlesung Mathematik fu¨r An-
”
wenderI”,dieichimSommersemester2013gehaltenhabe.ZieldesKursesist,die
wichtigsten Begriffe der Infinitesimalrechnung und linearen Algebra – auf einem
universita¨ren Niveau– zu vermitteln.
Das Skript basiert auf vorangegangenen Vorlesungen, insbesondere der Ma-
”
thematik fu¨r AnwenderI”, die im Wintersemester2012/13 beiHerrn Prof.Dr. Tim
Ro¨mer gehalten wurde. Inspirationsquellen sind die Skripte von meinen Kollegen
Herrn Prof. Dr. Winfried Bruns (vor allem der Abschnitt 23) und Herrn Prof. Dr.
Holger Brenner, sowie das Buch von Alexander Markowitsch Ostrowski Vorle-
”
sungen u¨ber Differential- und Integralrechnung”. Auch das Buch Analysis by Its
”
History” von Ernst Hairer und Gerhard Wanner, vor allem was den Abschnitt u¨ber
Integration angeht, soll in diesem Zusammenhang genannt werden.
IchdankedenTutoren,diebeidermu¨hsamenTa¨tigkeitdeswo¨chentlichenKor-
rigierens mitgeholfenhaben;auch Frau MarianneGausmann, die meine Lu¨ckenin
LATEX immer gerne gefu¨llthat, und Herr Franceso Pascariello, fu¨r seine sorgfa¨ltige
Lektu¨redesTextes.MeinDankgiltinsbesondereDr.JanUlickzafu¨rseinesorgfa¨lti-
geBetreuungderU¨bung,seinkonstantesInteresseandenFortschrittenderStuden-
ten und seine didaktischen und wissenschaftlichen Kommentare und Vorschla¨ge,
welche die Veranstaltung zweifellos bereichert haben.
Osnabru¨ck,Juli2013 JulioJose´ MoyanoFerna´ndez

Motivation
Ex nihilo nihil fit: Von nichts kommt nichts. Mit diesem beru¨hmten Prinzip,
das von Parmenides kommen soll, wollen wir unseren Weg durch die Grundla-
gen der Mathematik beginnen. Deswegen mu¨ssen wir zuna¨chst pra¨sentieren, was
u¨berhaupt no¨tig ist, damit wir uns mo¨glichst bald mit der Erarbeitung der Grund-
lagen der reellen Analysis und der linearen Algebra als Basis fu¨r Anwendungen
bescha¨ftigen ko¨nnen. Es ist also unvermeidlich, u¨ber Aussagenlogik, Mengen und
Zahlenbereiche ein paar Abschnitte aufzugreifen. Auch scheint es sinnvoll, eine
Beschreibung der typischen Beweismethoden, die im Laufe der Vorlesung auftau-
chen werden, zu thematisieren. Nebenbei gemerkt, der Name der Veranstaltung ist
Mathematik fu¨r Anwender”, und nicht Anwendungen der Mathematik”. Damit
” ”
ist gemeint, dass in erster Linie mathematische Begriffe betrachtet werden.
Nach den Grundlagen der Mathematik knu¨pfen wir unmittelbar an die Infini-
tesimalrechnung an. In diesem Teil fangen wir mit den wichtigsten Eigenschaften
der reellen Zahlen an, und analysieren ihr Verhalten der Unendlichkeit gegenu¨ber:
So untersuchen wir Folgen reeller Zahlen, und als Spezialfa¨lle davon, Reihen reel-
ler Zahlen. Ein zweiter Teil der Analysis ist dem Begriff von Funktion gewidmet:
Definition, bedeutungsvolle Beispiele und Untersuchung der Stetigkeit, Differen-
zierbarkeit und Integierbarkeit von Funktionen. Hierzu werden Ableitungs- und
Stammfunktionsrechnung in Erinnerung gerufen.
Alle diese Kenntnisse fu¨hren in natu¨rlicher Weise zum Begriff Gleichung,
oder allgemeiner,Gleichungssystem. Die Lo¨sung einer Gleichung bzw. eines Glei-
chungssystems ist in der Regel alles anderes als einfach. Es ha¨ngt von Art der
involvierten Funktionen und vom Zahlbereich der gesuchten Lo¨sung ab 1. Es
gibt aber Spezialfa¨lle, in denen dies einfach ist; als einfachste, die linearen Glei-
chungssysteme. Die Lo¨sungsmenge eines linearen Gleichungssystems besitzt eine
besondere Struktur, na¨mlich die Struktur eines affinen Raumes, welche aus der
Struktur von Vektorraum verallgemeinert wird. Dies ist unsere Motivation um die
lineare Algebra zu entwickeln. Die lineare Algebra ist dann fu¨r uns die Untersu-
chung von Vektorra¨umen und ihren Relationen (lineare Abbildungen gennant).
1Diesistschonklar:Betrachtenwirz.B.dieGleichungx2+√2=0.WievieleLo¨sungenko¨nnenwir
innerhalbdernatu¨rlichenZahlenfinden?
4 Abschnitt0
Dies ist allerdings nicht trivial. Vektoren werden nicht mehr nur Pfeilchen auf
derEbenesein:WirabstrahierendenBegriff;Vektorenko¨nnennunFunktionen,In-
tegrale,Matrizensein,d.h.alles,woraufeineVektorraumsstrukturdefiniertwerden
kann.DieserGedankenstilistdasAundOderho¨herenMathematik,undmachtden
gro¨ßten Unterschied zum Mathematikunterricht. Aber keine Panik! Wir werden in
dieser Vorlesung nur einen eingeschra¨nkten Abstraktionsgrad erreichen, weil wir
uns einfach eine Einfu¨hrung vornehmen.
Schließlich mo¨chte ich noch ein paar Ratschla¨ger geben: Falls Sie eines nicht
verstehen, oder anderes vertiefen mo¨chten... einfachfragen! Tutoren, U¨bungsleiter
und ich selber werden uns gerne immer wieder zur Verfu¨gung stellen.
Auch rufen wir uns noch den Spruch in Erinnerung, den H. Hauser in seinem
Lehrbuch der Analysis” erwa¨hnt: Bruder Beispiel ist der beste Prediger. Wenn
”
Sie also eine neue Definition wirklich verstehen wollen, sollten Sie sich immer die
folgenden drei Objekte vorstellen ko¨nnen:
(i) Ein triviales Beispiel davon (etwa: Entspricht die leere Menge, oder der
ganze Raum, der Definition?)
(ii) Ein nicht triviales Beispiel: (d.h. eines, bei dem Sie ein paar Rechnungen
machen mu¨ssen, um sich selber zu u¨berzeugen.)
(iii) Ein Gegenbeispiel (d.h., ein Objekt, das der Definition nicht entspricht.)
Ich hoffe, lieber Besucher dieser Vorlesung, es wird Ende des Sommerse-
mesters gesagt: Wir haben etwas gelernt! Und vielleicht noch dazu: Wir hatten
(manchmal) Spaß dabei!
Valladolid/Osnabru¨ck, Karwoche 2013
Julio Jose´ Moyano Ferna´ndez
ABSCHNITT 1
Aussagenlogik (fu¨r Anwender)
SehenwirdenMathematikeralseinenRechner,derBehauptungeninTheoreme
verwandelt1,dannsolltenwirunsfragen,wasfu¨reineMethaspracheerversteht.Sie
ist nichts anderes als die Lehre des vernu¨nftigen Schlussfolgerns, d.h., die Logik.
Mit Hilfe von definierten Regeln der Schlussfolgerung wollen die Mathematiker
sta¨ndig Aussagen auf ihrer Gu¨ltigkeit pru¨fen. Das Versta¨ndnis des grundlegenden
Prozesses dabei ist die Aufgabe der Logik. Aus terminlichen Gru¨nden werden wir
nur diewichtigsten Aspektender fu¨r unsinteressantesten Situation,na¨mlich dieso
genannte Aussagenlogik, thematisieren.
Die Aussagenlogik ist jenes Teilgebiet der Logik, das sich mit Aussagen und
deren Verknu¨pfungen durch Junktoren befasst. Im Folgenden erkla¨ren wir, was
unter Aussagen und Junktoren zu verstehen ist.
Aussagensinddeskriptive,alsobeschreibendeSa¨tze: DasGeba¨udeistscho¨n”,
”
die Schnee ist weiß”. Fragen, normative Sa¨tze und andere sprachliche A¨ußerun-
”
gen geho¨ren nicht dazu. Bei den folgenden Beispielen handelt es sich nicht um
Aussagen:
* 0/;
* 67+78;
* Eine Multiplikation von sechs Quadraten;
* Die Menge aller ganzen Zahlen.
AusgangspunktesinddieElementaraussagen,d.h.,einfacheAussagen(wiez.B.
Das Ma¨dchen ist klein”), im Gegensatz zu zusammengesetzten Aussagen (wie
”
Das Ma¨dchen ist klein und ihr Bruder auch”). Diesen Elementaraussagen wird
”
ein Wahrheitswertzugeordnet. Grundlegend bleiben Sa¨tze, die innerhalb eines Sy-
stemsnichtbegru¨ndetoderabgeleitetwerden(ko¨nnen):DiesenennenwirAxiome.
Der Ausdruck Axiom bezeichnet
(i) einen unmittelbar einleuchtenden Grundsatz (klassischer Axiombegriff);
(ii) ein vielfach besta¨tigtes allgemeines Naturgesetz (naturwissenschaftlicher
Axiombegriff);
(iii) einen zu Grunde gelegten, nicht ableitbaren Ausgangssatz (moderner
Axiombegriff).
1Paraphrase des beru¨hmtenZitats von P. Erdo˝s: Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in
”
Theoremeverwandelt.”
6 Abschnitt1
In der Aussagenlogik von Aristoteles befinden sich die folgenden klassischen
Beispiele von Axiomen:
(a) Das Indentita¨tsprinzip, das besagt, dass ein Gegenstand A genau dann mit
einem Gegenstand B identisch ist, wenn sich zwischen A und B kein Un-
terschied finden la¨sst.
(b) DasPrinzipvomausgeschlossenenWiderspruch,dasbesagt,dasszweiein-
ander widersprechende Gegensa¨tze nicht zugleich zutreffen ko¨nnen.
(c) DasPrinzipvomausgeschlossenenDrittel,dasberu¨hmtePrincipiumexclu-
si tertii2, oder Tertium non datum (d.h., ein Drittes ist nicht gegeben): Es
besagt,dassvonzweieinanderwidersprechendenGegensa¨tzenmindestens
einer zutreffen muss.
Es gibt viele andere Beispiele. In der Mathematik ko¨nnen wir hierzu zwei
erwa¨hnen:
(d) Das Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf
dieser Geraden liegt, gibt es genau eine zu der Geraden parallele Gerade
durch diesen Punkt3.
(e) Jede natu¨rliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n+1.
Tatsa¨chlich kann man aus mehreren verschiedenen Aussagen neue Aussagen
bilden. Aus der Aussage Peter ist hier” kann man die negierte Aussage Peter ist
” ”
nicht hier” machen. Aus den Aussagen
Julia ist krank” und Julia ist im Krankenhaus”
” ”
kann man beispielsweise die folgenden neuen Aussagen basteln:
Julia ist krank, deswegen ist sie im Krankenhaus.
Julia ist nicht krank, aber sie ist im Krankenhaus.
Julia ist nicht im Krankenhaus, obwohl sie krank ist.
Zwei verschiedene Aussagen sind in dieser Art und Weise in einen logischen
Zusammenhang zueinander gebracht worden. Dieser Prozess erfolgt nach Ge-
brauch logischer Verknu¨pfungen, die man Junktoren nennt. Der Wahrheitsgehalt
derzusammengesetztenAussagenergibtsichallein ausdenWahrheitsgehalten der
beteiligten Aussagen.
Bemerkungen:
(i) Die Untersuchung, ob eine einfache Aussage wahr ist oder nicht, fa¨llt nicht in
den Bereich der formalen Logik. Wir werden nur die wahrheitsdefinierte, klassi-
sche,zweiwertigeAussagenlogikbetrachten(d.h.,eswirdvorausgesetzt,dassjede
2
Principiumexclusiitertiisivemediiinterduocontradictoria.
3
Das Parallelenaxiom ist ein umstrittenes Axiom der Euklidischen Geometrie, mit einer langen Ge-
schichtehintersich.Eslohntsich,etwasdaru¨berzulesen.