Mathematik fue Physiker

572 Pages·2007·3.508 MB·German

by  Hans Kerner, Wolf von Wahl

Springer-Lehrbuch
Hans Kerner · Wolf von Wahl
Mathematik
für Physiker
Zweite,überarbeiteteunderweiterteAuflage
123
Prof.Dr.HansKerner
UniversitätBayreuth
MathematischesInstitut
Universitätsstraße30
95440Bayreuth
E-mail:[email protected]
Prof.Dr.WolfvonWahl
UniversitätBayreuth
LehrstuhlfürAngewandteMathematik
Universitätsstraße30
95440Bayreuth
E-mail:[email protected]
BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillierte
bibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
MathematicsSubjectClassification(2000):00A05,00A06
ISBN 978-3-540-72479-7 2.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN 978-3-540-25393-8 1.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderediederÜbersetzung,des
Nachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunksendung,derMikroverfilmung
oderderVervielfältigungaufanderenWegenundderSpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbei
nurauszugsweiserVerwertung,vorbehalten.EineVervielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesist
auchimEinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublik
Deutschlandvom9.September1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungs-
pflichtig.ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes.
SpringeristeinUnternehmenvonSpringerScience+BusinessMedia
springer.de
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2006,2007
DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigtauch
ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und
Markenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften.Text
undAbbildungenwurdenmitgrößterSorgfalterarbeitet.VerlagundAutorkönnenjedochfüreventuellverbliebene
fehlerhafteAngabenundderenFolgenwedereinejuristischeVerantwortungnochirgendeineHaftungübernehmen.
Satz:DatenerstellungdurchdieAutorenunterVerwendungeinesSpringerTEX-Makropakets
Herstellung:LE-TEXJelonek,Schmidt&VöcklerGbR,Leipzig
Umschlaggestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg
GedrucktaufsäurefreiemPapier 175/3180/YL-543210
Fu¨rIlseKernerundEva-MarievonWahl
Vorwort
VorwortzurzweitenAuflage
NebenderBerichtigungorthographischerundmathematischerVersehenentha¨ltdie
zweiteAuflageeinigekurzeErga¨nzungen,diederinhaltlichenKlarstellungdienen,
undeinzusa¨tzlicheskompaktesKapitel.Esbehandeltunbeschra¨nkteOperatorenim
Hilbertraum. Obwohl der Stoff dieses Kapitels u¨ber das in der ersten Auflage an-
gesprocheneMaterialfu¨reinenviersemestrigenKurshinausreicht,schienunsseine
Aufnahme in unser Buch vertretbar. Es ist einerseits nicht lang und beeintra¨chtigt
denCharakterdesGesamtwerksnicht.AndererseitssinddieOperatorenderQuan-
tenmechanik als Differentialoperatoren unbeschra¨nkte Operatoren im Hilbertraum
der im Unendlichen quadratintegrierbaren Funktionen und ihr Spektrum, auf das
wirebenfallseingehen,weisteinigeBesonderheitenauf.
BeiderHerstellungdesManuskriptshabenunsFrauRegierungsra¨tinSABINEKER-
NERundwiebeidererstenAuflageHerrDipl.-Math.MARTINKERNERumfangrei-
cheundwichtigeHilfegeleistet,fu¨rdiewirihnenandieserStelledankenmo¨chten.
Bayreuth,imMai2007 HansKerner
WolfvonWahl
VIII Vorwort
VorwortzurerstenAuflage
DiesesBuchbehandeltimwesentlichendenStoffderviersemestrigenvierstu¨ndigen
Vorlesung Mathematik fu¨r Physiker“ wie sie von den Autoren an der Universita¨t
”
Bayreuthmehrfachgehaltenwurde.AneinigenStellengehenwiru¨berdiesenUm-
fang hinaus, einerseits um dem Dozenten eine Auswahlmo¨glichkeit zu bieten, an-
dererseitsumdenGebrauchalsNachschlagewerkzuermo¨glichen.
Wir haben uns bemu¨ht, einige neuere Konzepte der Mathematik, die in der Phy-
sikEinganggefundenhaben,einzubeziehen.EshandeltsichzumBeispielumDis-
tributionen, Mannigfaltigkeiten und Differentialformen, und funktionalanalytische
Methoden.
Die Darstellung ist zu¨gig gehalten, da die Autoren das dargebotene Material auf
einenBandbeschra¨nkenwollten.Dennochwerdenmeistvollsta¨ndigeHerleitungen
der behandelten Sa¨tze gegeben und zahlreiche Beispiele, die einen physikalischen
Hintergrund haben, in ihrem mathematischen Kontext vorgestellt. Soweit dies er-
forderlich ist,stellen wir einem Kapitel eine kurze Einfu¨hrung in den behandelten
Stoffvoraus.AnsEndeeinesjedenKapitelshabenwirU¨bungsaufgabenteilsleich-
terer teils schwierigerer Natur gestellt. Das letzte Kapitel entha¨lt dann die Lo¨sung
jederAufgabeund,sofernessichnichtumreineRechenaufgabenhandelt,auchden
vollsta¨ndigenLo¨sungsweg.
AndieserStellemo¨chtenwirHerrnDipl.-Math. MARTIN KERNERfu¨rseineHilfe
bei der Herstellung des Manuskripts danken. Ohne ihn wa¨re dieses Werk in der
vorliegendenFormnichtzuStandegekommen.
Bayreuth,imMai2005 HansKerner
WolfvonWahl
Inhaltsverzeichnis
1 FolgenundReihen ............................................. 1
1.1 GrundlegendeBegriffeundBezeichnungen.................... 1
1.2 DiereellenZahlen......................................... 3
1.3 DiekomplexenZahlen ..................................... 7
1.4 Folgen .................................................. 10
1.5 Reihen .................................................. 17
1.6 Vollsta¨ndigeInduktion ..................................... 25
2 StetigeFunktionen ............................................. 35
2.1 Stetigkeit ................................................ 35
2.2 StetigeFunktionenaufabgeschlossenenIntervallen............. 38
3 DifferenzierbareFunktionen .................................... 43
3.1 Differenzierbarkeit ........................................ 43
3.2 DieMittelwertsa¨tzederDifferentialrechnung .................. 48
3.3 DieUmkehrfunktion....................................... 54
3.4 UneigentlicheGrenzwerte .................................. 58
4 PotenzreihenundelementareFunktionen ......................... 61
4.1 Potenzreihen ............................................. 61
4.2 ExponentialfunktionundLogarithmus........................ 64
4.3 DietrigonometrischenFunktionen ........................... 70
5 Integration .................................................... 81
5.1 RiemannschesIntegral ..................................... 81
5.2 DieMittelwertsa¨tzederIntegralrechnung ..................... 86
5.3 DerHauptsatzderDifferential-undIntegralrechnung ........... 87
5.4 PartielleIntegrationundSubstitutionsregel .................... 90
5.5 UneigentlicheIntegrale .................................... 93
X Inhaltsverzeichnis
6 AnalytischeFunktionen......................................... 97
6.1 Gleichma¨ßigeKonvergenz.................................. 97
6.2 DieTaylorreihe ...........................................102
7 LineareAlgebra ...............................................113
7.1 Gruppen,Ringe,Ko¨rper....................................113
7.2 Vektorra¨ume .............................................118
7.3 Basis....................................................120
7.4 Dimension ...............................................126
7.5 Matrizen.................................................129
7.6 LineareGleichungssysteme.................................142
7.7 Determinanten............................................146
7.8 Eigenwerte...............................................152
7.9 EuklidischeVektorra¨ume...................................159
7.10 EigenwerteselbstadjungierterAbbildungen ...................174
7.11 Unita¨reVektorra¨ume.......................................179
7.12 Dualita¨t..................................................183
7.13 AlternierendeMultilinearformen.............................187
7.14 Tensoren.................................................189
8 Differentialgleichungen .........................................199
8.1 DerExistenz-undEindeutigkeitssatz.........................199
8.2 EinigeLo¨sungsmethoden...................................204
8.3 SystemevonDifferentialgleichungen.........................210
8.4 Differentialgleichungenho¨hererOrdnung .....................218
9 DifferentialrechnungimRn .....................................227
9.1 MetrischeRa¨ume .........................................227
9.2 DifferenzierbareFunktionen ................................233
9.3 ImpliziteFunktionen.......................................247
9.4 LokaleExtrema...........................................254
9.5 Kurven ..................................................259
9.6 Vektorfelder,DivergenzundRotation.........................264
10 DasLebesgue-Integral .........................................273
10.1 DefinitiondesLebesgue-IntegralsinRn ......................273
10.2 DieSa¨tzevonLeviundLebesgue,derSatzvonFubini..........281
10.3 DieBanachra¨umeL (I)...................................288
p
10.4 Hilbertra¨ume,Fourierreihen ................................290
10.5 Fourier-TransformationundFaltung .........................302
Inhaltsverzeichnis XI
11 UntermannigfaltigkeitenundDifferentialformen ..................311
11.1 Untermannigfaltigkeiten....................................311
11.2 DasDifferential...........................................319
11.3 Differentialformen ........................................322
11.4 DifferentialformenundVektorfelderimR3 ....................328
11.5 DifferentialformenundDifferentialgleichungen ................333
12 DistributionenundGreenscheFunktion ..........................339
12.1 Distributionen ............................................339
12.2 DistributionenundDifferentialgleichungen....................348
12.3 DifferentialgleichungenaufabgeschlossenenIntervallen.........351
12.4 GreenscheFunktion .......................................353
12.5 Randwertprobleme ........................................358
12.6 DifferentialoperatorenvomSturm-Liouville-Typ ...............360
12.7 DieLegendrescheDifferentialgleichung ......................369
13 Integralsa¨tze...................................................375
13.1 StokesscherundGaußscherIntegralsatzimR2 .................375
13.2 IntegrationaufUntermannigfaltigkeiten.......................379
13.3 DerGaußscheIntegralsatzimRn ............................383
13.4 DieGreenscheFormel .....................................387
13.5 DerSatzvonStokes .......................................390
14 Funktionentheorie .............................................399
14.1 HolomorpheFunktionen ...................................399
14.2 DieCauchy-RiemannschenDifferentialgleichungen ............403
14.3 Kurvenintegrale...........................................405
14.4 Stammfunktionen .........................................408
14.5 DerCauchyscheIntegralsatz ................................412
14.6 DieCauchyscheIntegralformel..............................417
14.7 Fundamentalsa¨tzederFunktionentheorie......................421
14.8 DerSatzvonderoffenenAbbildungunddasMaximumprinzip ...424
14.9 Laurentreihen ............................................427
14.10 LogarithmusundUmlaufzahl ...............................432
14.11 DerResiduensatz .........................................436
14.12 FolgerungenausdemResiduensatz ..........................442
14.13 KonformeAbbildungen,Stro¨mungen.........................448
14.14 HarmonischeFunktionen...................................454
14.15 DiePoissonscheIntegralformel..............................458
15 Einfu¨hrungindieFunktionalanalysis ............................467
15.1 Zielsetzungen.Einfu¨hrendeBemerkungen.....................467
15.2 Beschra¨nktelineareFunktionale .............................468
15.3 LineareOperatoreninH,dieFourier-Transformation ...........472
15.4 DieInverseeineslinearenOperators..........................479