Mathematik der privaten Krankenversicherung PDF
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Torsten Becker Mathematik der privaten Krankenversicherung Studienbücher Wirtschaftsmathematik Herausgegebenvon Prof.Dr.BerndLuderer,TechnischeUniversitätChemnitz DieStudienbücherWirtschaftsmathematikbehandelnanschaulich,systematischund fachlichfundiertThemenausderWirtschafts-,Finanz-undVersicherungsmathematik entsprechenddemaktuellenStandderWissenschaft. Die Bände der Reihe wenden sich sowohl an Studierende der Wirtschaftsmathema- tik,derWirtschaftswissenschaften,derWirtschaftsinformatikunddesWirtschaftsinge- nieurwesensanUniversitäten,FachhochschulenundBerufsakademienalsauchanLeh- rendeundPraktikerindenBereichenWirtschaft,Finanz-undVersicherungswesen. Torsten Becker Mathematik der privaten Krankenversicherung TorstenBecker Wirtschaftsmathematik HochschulefürTechnikundWirtschaft Berlin,Deutschland StudienbücherWirtschaftsmathematik ISBN978-3-658-16665-6 ISBN978-3-658-16666-3(eBook) DOI10.1007/978-3-658-16666-3 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillier- tebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©SpringerFachmedienWiesbadenGmbH2017 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtausdrücklich vomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgiltinsbesondere fürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerar- beitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigt auchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinnederWarenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenindiesem WerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnochdieAutorenoder dieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdesWerkes,etwaigeFehler oderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografischeZuordnungenundGebietsbezeichnungenin veröffentlichtenKartenundInstitutionsadressenneutral. Planung:Ulrike-Schmickler-Hirzebruch GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumistTeilvonSpringerNature DieeingetrageneGesellschaftistSpringerFachmedienWiesbadenGmbH DieAnschriftderGesellschaftist:Abraham-Lincoln-Strasse46,65189Wiesbaden,Germany Vorwort DieAbsicherungeinesMenschengegendiefinanziellenBelastungendurchHeilbehand- lunginFolgevonKrankheitenoderVerletzungengehörtinDeutschlandseitEndedes19. JahrhundertszudenwichtigstenErrungenschaftendesSozialstaates.ÄrztlicheGrundver- sorgung,PflegeundHeilungwarendamitnichtmehrnurdenWohlhabendenvorbehalten, sondernkonntenauchvonwenigerbetuchtenPersonen,vorallemArbeitern,inAnspruch genommenwerden.Seitdiesen–fürdiedamaligeZeitsicherlichrevolutionären–Tagen hatsichdasSystem derKrankenversicherungstetiggewandeltundweiterentwickelt.Ist esindenletztenJahrenundJahrzehntenimmerwiederauchzueinschneidendenMaßnah- mengekommen,sogehörtdasdeutscheSystemderKrankenversicherungsicherlichnoch immerzudenleistungsstärkstenweltweit. Dieses System ruht heute auf zwei Pfeilern, der gesetzlichen Krankenversicherung (GKV) und der privaten Krankenversicherung(PKV). Jede in Deutschland lebendePer- sonmussineinemderbeidenTeilsystemeeinenVersicherungsschutzmiteinergegebenen Mindestausstattungbesitzen.DieMöglichkeiteinerVersicherunginderPKVistjedochan Bedingungengeknüpft,dieimWesentlichenmitdemberuflichenStatusderPersonoder ihrem Einkommen verbundensind. Derzeit ist in Deutschland etwa jeder zehnteBürger privatversichert. DieprivateKrankenversicherungkannausökonomischer,juristischer odermathema- tischer Sicht betrachtet werden. In diesem Buch steht die mathematische Behandlung derPKVim Zentrum.DieKrankenversicherungsmathematikist einTeilgebietderange- wandten Mathematik. Aus diesem Blickwinkelgehörtsie zur Personenversicherung,hat also kalkulatorisch viele Gemeinsamkeiten mit der Lebens- und Pensionsversicherung. Dies macht sich in der Verwendung des zentralen finanzmathematischen Konzepts der Bewertungvon Zahlungsströmenbemerkbar.Vom Leser werden daherGrundkenntnisse inAnalysis,elementarerFinanzmathematikundStochastik erwartet.Einigeausgewählte GrundlagenwerdenimAnhangzusammengefasst,aufdenbeiBedarfhingewiesenwird. KenntnissederLebensversicherungsmathematiksindnichtnötig,erleichternaberdasVer- ständnisaneinigenStellen. AuspraktischerSichtwirdeinereinmathematischeBehandlungdesThemasaberder Tatsache nicht gerecht, wonach vor allem juristische Vorgaben erst den Ausschlag für einenGroßteilderletztlichverwendetenFormelnundAnsätzegeben.Daherwerdenwir V VI Vorwort immerwiederaufdieseVorgabeneingehen.ImTexttauchendemnachhäufigAusschnitte ausGesetzes- undVerordnungstextenauf.DiesekannderLeservollständigz.B.aufder Webseite Gesetze im Internet finden. Oft wird nicht der gesamte Text des angegebenen Paragrafenbzw.Absatzeszitiert.AuslassungenwerdendurchdasSymbol[...]angezeigt. DieLiteraturzurMathematikderprivatenKrankenversicherungistsehrübersichtlich. Da die PKV mehr als jede andere Versicherungssparte von häufigen politisch oder ju- ristisch motivierten Anpassungen betroffen ist, ist es für jedes Fachbuch schwierig, auf demneuestenStandzusein.DiebeidenBüchervonBohn1undMilbrodt2besprechendie KalkulationsprinzipienderPKVausführlichundseienalsweitereLektüreaufjedenFall empfohlen.SieenthaltenabernichtdieNeuerungenderletztenJahre,wiez.B.denÜber- tragungswertoderdieUnisextarife.DervorliegendeTextorientiertsichinhaltlichsowohl andiesenbeidenWerkenalsauchandenLernzielendesGrundwissensderAktuarausbil- dungimBereichKrankenversicherung.DasBuchkannsomitauchalsBegleittextfürdie Aktuarausbildungdienen. Zudemsindüber70Übungsaufgabenenthalten.EingroßerTeilderAufgabenstammt mitfreundlicherGenehmigungder DeutschenAktuar Akademie(DAA) ausdenGrund- wissenprüfungen der Aktuarausbildung zur Krankenversicherungsmathematik (die seit 2011indiePrüfungzurPersonenversicherungsmathematikintegriertist)3.Dabeiwurden dieAufgabentextewörtlichübernommen,wobeiaber–soweitnotwendig–Anpassungen an zwischenzeitlich veränderte Gesetze und Verordnungen vorgenommen wurden. Die DarstellungsweisederTexteundTabellensowieeinigeNotationenwurdenzudemandie Spezifika des Buches angepasst. Alle DAA-Prüfungsaufgaben und deren Lösungen seit 1997sindauchaufderWebseitederDAVeinsehbar4.FürdierestlichenAufgabenistam EndedesBucheseineListedernumerischenErgebnissebeigefügt. EinigederindiesemBuchgetroffenenAussagenbasierenaufkonkretenErfahrungen des Autors in der Praxis. Sie können daher nicht ohne Einschränkung auf alle PKV- Unternehmenausgedehntwerden.InsofernkannesbeiallenThemen,dienichteindeutig durch Gesetze oder Verordnungen festgelegt sind oder dem allgemein anerkannten ver- sicherungsmathematischen Vorgehenentsprechen,durchauszu unterschiedlichenAusle- gungenundVorgehensweiseninderPraxiskommen. NocheinHinweiszudenBeispielenundAufgaben:DieverwendetenZuschlags-und Kostenparameter sind für Beispielzwecke ausgewählt worden, für alle weiteren Rech- nungsgrundlagen kommen Daten der Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht (BaFin) zum Einsatz. Welche Werte einzelne Versicherungsunternehmen für ihre Kal- 1Bohn, K.: Die Mathematik der deutschen Privaten Krankenversicherung. Schriftenreihe Ange- wandteVersicherungsmathematikHeft11.VerlagVVW,Karlsruhe,1980. 2Milbrodt,H.:AktuarielleMethodenderdeutschenPrivatenKrankenversicherung.Schriftenreihe AngewandteVersicherungsmathematikHeft34.VerlagVVW, Karlsruhe,2005.Eineaktualisierte underweiterteNeuauflageerschienimDezember2016. 3DieentsprechendenAufgabenhabenÜberschriftenwieDAV2009/1.Dasbedeutet,dassessich umdie1.AufgabederPrüfungimJahr2009handelt. 4GebenSieimSuchfeldderWebseitedenBegriffLösungsvorschlägeein. Vorwort VII kulation verwenden, ist Bestandteil der internen Geschäftspläne und nicht öffentlich zugänglich.InsofernkönnendieberechnetenPrämienundRückstellungendiesesBuches nichtalsArgumentationsgrundlagefüreinenVergleichmittatsächlichenWertendienen. IndenmeistenGrafikendesBuchesistdieAbhängigkeiteinerGrößevomAlterderbe- trachtetenPerson(en)abgebildet.WenndiehorizontaleAchsekeineandereBeschriftung besitzt, ist dort also immer das Alter aufgetragen. Die Größe auf der vertikalen Achse istderentsprechendenBildunterschriftzuentnehmen.Beweisewerdenmitdemüblichen Symbol(cid:2)abgeschlossen,BeispielemitN. Oft ist von Versicherungsnehmern die Rede. Damit sind immer sowohl versicherte MänneralsauchFrauengemeint. DieKapitelkönnenindergegebenenReihenfolgebearbeitetwerden.BeimerstenLe- senkönnendieAbschn.4.4,5.7,5.9,6.5,8.5,9.4und10.2aberohneNachteilübergangen werden. IchmöchtedemSpringerVerlag,vorallemFrauSchmickler-HirzebruchundFrauGer- lach,fürdieUnterstützungwährendderEntstehungdesBuchesherzlichdanken.Auchder DeutschenAktuarAkademiedankeichfürdieMöglichkeit,diebisherigenPrüfungsauf- gabenhier verwendenzu dürfen.Schließlich gilt mein besondererDank HerrnProf. Dr. Bernd Luderer für seine vielen wertvollen inhaltlichen und auch technischen Hinweise unddieAufnahmediesesBuchesindieReiheWirtschaftsmathematik. Berlin TorstenBecker imNovember2016 Inhaltsverzeichnis 1 Historie,Produkte,Gesetze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 EinekurzeHistoriederKrankenversicherunginDeutschland . . . . . . . 1 1.2 DasaktuelleSystemderKrankenversicherunginDeutschland. . . . . . . 4 1.2.1 DiegesetzlicheKrankenversicherunginDeutschland . . . . . . . . 5 1.2.2 DieprivateKrankenversicherunginDeutschland . . . . . . . . . . 11 1.3 ProduktederPKV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 GesetzlicheGrundlagenderPKV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 KrankenversicherungalsRisiko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1 VersicherungsfallundErstattungsbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 RisikotheoriederKrankenversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Risiko-undTarifmerkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Rechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1 Rechnungszins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Kopfschäden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 GrundkopfschadenundProfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.2 Selbstbehalte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.3 BeispielefürKopfschadenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.4 HerleitungvonKopfschädenfürdieTarifierung . . . . . . . . . . . 52 3.2.5 KopfschädenvonKindernundJugendlichen . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Ausscheideordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1 Sterbewahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.2 Stornowahrscheinlichkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.3 ZusammengesetzteOrdnungundBestandsentwicklung . . . . . . 74 3.3.4 Übertrittswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 IX X Inhaltsverzeichnis 3.4 WeitereZuschläge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 VersicherungsmathematischeBewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1 FinanzmathematischeBewertung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 VersicherungsmathematischeBarwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3 Leistungs-undBeitragsbarwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.4 KollektiveSichtweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 BewertungzubeliebigenZeitpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.6 Kommutationswerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5 PrämienkalkulationfürdasNeugeschäft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1 NettoprämienfürdasNeugeschäft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2 SensitivitätenderNettoprämie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3 BruttoprämienfürdasNeugeschäft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.4 ZillmerprämienfürdasNeugeschäft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.5 Zahlprämien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.6 SensitivitätenderBruttoprämie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.7 MonotoniederBruttoprämienundZillmersätze . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.8 Einmalbeträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.9 ErmittlungvonStückkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6 Alterungsrückstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.1 Netto-Alterungsrückstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.2 Zillmer-Rückstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.3 Bilanz-Rückstellung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.4 Zusatz-Alterungsrückstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.5 ErmittlungangemessenerStornowahrscheinlichkeiten. . . . . . . . . . . . 165 6.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7 Tarifänderungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.1 ArtenderTarifänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.2 AlterungsrückstellungbeibeliebigerBruttoprämie . . . . . . . . . . . . . . 177 7.3 PrämienformelnacheinerTarifänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.3.1 KVAV-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.3.2 Zuschlags-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.3.3 Abschlags-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.4 AlterungsrückstellungnacheinerTarifänderung . . . . . . . . . . . . . . . 192
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