Mathematik der digitalen Medien

274 Pages·2017·4.251 MB·German

by  Martin Bossert, Sebastian Bossert

Martin Bossert · Sebastian Bossert
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Mathematik der
digitalen Medien
präzise – verständlich – einleuchtend
2., durchgesehene Auflage
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Martin Bossert
Sebastian Bossert
Mathematik der digitalen Medien
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Martin Bossert · Sebastian Bossert
Mathematik der
digitalen Medien
präzise – verständlich – einleuchtend
2., durchgesehene Auflage
VDE VERLAG GMBH
ICS 07.020; 35.040.01; 35.040.40
Titelbild: Funktionsprinzip des Rivest-Shamir-Adleman-(RSA-)Verfahrens zur Verschlüsse-
lung. Hintergrund: Roter Binär Code – Futuristisch, © Pixelot/Fotolia.
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen
des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Die
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auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne
der Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und von jedermann benutzt
werden dürfen. Aus der Veröffentlichung kann nicht geschlossen werden, dass die
beschriebenen Lösungen frei von gewerblichen Schutzrechten (z. B. Patente, Gebrauchs-
muster) sind. Eine Haftung des Verlags für die Richtigkeit und Brauchbarkeit der ver-
öffentlichten Programme, Schaltungen und sonstigen Anordnungen oder Anleitungen
sowie für die Richtigkeit des technischen Inhalts des Werks ist ausgeschlossen. Die gesetz-
lichen und behördlichen Vorschriften sowie die technischen Regeln (z. B. das VDE-Vor-
schriftenwerk) in ihren jeweils geltenden Fassungen sind unbedingt zu beachten.
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National-
bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de
abrufbar.
ISBN 978-3-8007-4456-5 (Buch)
ISBN 978-3-8007-4457-2 (E-Book)
© 2017 VDE VERLAG GMBH · Berlin · Offenbach
Bismarckstr. 33, 10625 Berlin
Alle Rechte vorbehalten.
Vorwort
Das Buch wurde gemeinsam von Martin Bossert, im Folgenden Vater genannt, und Sebas-
tian Bossert, im Folgenden Sohn genannt, geschrieben. Obwohl der Vater bereits mehrere
Bücher verfasst hat und sich dieses nie mehr antun wollte, ist dieses Werk entstanden. Bü-
cher schreiben bedeutet Entsagungen, Bewegungsmangel, Mangel an sozialen Kontakten,
Selbstzweifel undArbeitenbis spät indie Nacht,umnur einige der harmloseren Nebenwir-
kungenzunennen.
Es gibt mehrere Gründe, warum der Vater schwach wurde und doch ein weiteres Buch an-
ging.DieWahrscheinlichkeit,dassmangemeinsammitdemSohneinBuchschreibenkann,
ist nahezu null, aber es ist eben nicht unmöglich. Vater und Sohngestehen, dass ihre zahl-
losen Diskussionen ihnen sogar Spaß gemacht haben. Außerdem war das Jahr 2008 das
Jahr der Mathematik, was ein nicht allzu häufiges Ereignis ist. Ein weiterer Grund ist der
VereinzurFörderungmathematischbegabterJugendlicher[1],derjedesJahrinSüddeutsch-
land einen Mathematik-Wettbewerb durchführt, bei der Vater und Sohn viele Jahre bei der
DurchführunganderUniversitätUlm[2]mitgewirkthaben.AndiesemTagkommenca.200
Schülermitca.50Lehrernandie UniversitätUlmundmessensich imLösenvonkniffligen
Mathematikaufgaben. Während die Arbeiten korrigiert werden, dürfen die nicht korrigie-
renden Lehrer und die SchülerVorträge von Mathematik-, Informatik- und Elektrotechnik-
Professoren hören,indenenesumAnwendungenderMathematik geht.
Wer erlebt hat, wie motiviert die Schüler den Vorträgen folgen und wie dankbar die Leh-
rerdiemathematischenAnwendungenalsBeispielefürdenUnterrichtaufnehmen,derkann
sichnurfreuen,dassesnochsolcheinteressiertenJugendlichenundsolcheengagiertenLeh-
rergibt.DieseErlebnissegabendieMotivation,diesesBuchzuschreiben.DurchdiesesBuch
sollendiespannendenmathematischenLösungenvonProblemenausderTelekommunikati-
onstechnikundderangewandtenInformationstheorie,wiesieandenTagenderMathematik
vorgetragen wurden, einem größeren Kreis an technisch und mathematisch interessierten
Personen zugänglichgemachtwerden.
An dieser Stelle möchten sich Vater und Sohn bei den vielen Personen bedanken, die zur
EntstehungdesBuchsbeigetragenhaben.BeiMax RiederleundUwe Schöningfürdie kriti-
schen Anmerkungen und die guten Verbesserungsvorschläge. Bei Sabine Kampf, Katharina
Mir und Georg Schmidt für die Erstellung der Bilder und bei Christian Senger und Steffen
Schober fürdie Hilfe mitLaTeX.BeiFlorian Böhler,Marie-LuiseBossert,Felix Braun,Anas
Chaaban,ThomasDanner,AxelHeim,CarolinHuppert,JohannesKlotz,FredericKnabe,Ben-
jaminScheffold,SaskiaSchöningundAlexanderZehfürdasTestlesenvonTeilendesBuchs.
Ulm,imSeptember2017
Sebastian Bossert Martin Bossert
[email protected]

Inhalt
1 Einleitung.............................................................. 9
2 Das Navigationssystem.................................................. 13
2.1 Problemstellung......................................................... 14
2.2 Mathematische Grundlagen.............................................. 15
2.2.1 Wahrscheinlichkeitsrechnungundbinäre Zufallssequenzen ................ 15
2.2.2 Korrelation.............................................................. 27
2.2.3 Pseudo-Zufallssequenzen................................................ 30
2.3 Navigation.............................................................. 33
2.3.1 Satellitensequenzen...................................................... 34
2.3.2 Positionsbestimmung.................................................... 37
2.4 Datenübertragung....................................................... 43
2.5 Verschlüsselung......................................................... 44
2.6 Übungsaufgaben........................................................ 48
3Das Handy .............................................................. 55
3.1 Problemstellung......................................................... 57
3.2 Mathematische Grundlagen.............................................. 60
3.3 KanalschätzungmitTrainingssequenzen.................................. 63
3.4 FaltungscodeszurFehlerkorrektur........................................ 69
3.4.1 Faltungscodierer......................................................... 69
3.4.2 Trellis................................................................... 71
3.4.3 Viterbi-Algorithmus..................................................... 74
3.5 Nutzeridentität.......................................................... 77
3.6 InternationalesRoaming................................................. 79
3.7 Übungsaufgaben........................................................ 82
4 Der MP3-Player......................................................... 91
4.1 Problemstellung......................................................... 92
4.2 Mathematische Grundlagen.............................................. 94
4.3 Digitale Signalverarbeitung.............................................. 98
4.3.1 Fibonacci-Zahlen........................................................ 99
4.3.2 Z-Transformation........................................................ 102
4.3.3 Linearezeitinvariante Systeme........................................... 108
4.4 Übungsaufgaben........................................................ 111
8 Inhalt
5 Der CD-Player.......................................................... 117
5.1 Problemstellung......................................................... 118
5.2 Elementare mathematische Grundlagen................................... 120
5.2.1 ModulorechnungbeiganzenZahlen...................................... 121
5.2.2 Primkörper, GaloisfeldGF(p)............................................. 124
5.3 FehlerkorrekturmitReed-Solomon-CodesGF(7)........................... 134
5.4 Weitere mathematische Grundlagen....................................... 143
5.4.1 Diskrete Fourier-Transformation (DFT).................................... 145
5.4.2 EuklidischerAlgorithmus................................................ 149
5.5 FehlerkorrekturmitReed-Solomon-CodesGF(p)........................... 154
5.5.1 DecodierungvonRS-CodeüberGF(p)..................................... 156
5.5.2 DecodierungmitdemeuklidischenAlgorithmus........................... 157
5.6 Übungsaufgaben........................................................ 164
6Die DVD ................................................................ 181
6.1 Problemstellung......................................................... 183
6.2 Mathematische Grundlagen.............................................. 184
6.3 Informationstheorie: Quellencodierung.................................... 189
6.3.1 Shannon’scheUnsicherheit,Entropie ..................................... 193
6.3.2 Shannon-Quellencodiertheorem.......................................... 200
6.3.3 Huffman-Codierung..................................................... 206
6.3.4 Arithmetische Codierung................................................. 210
6.4 Übungsaufgaben........................................................ 214
7Das Internet ............................................................ 221
7.1 Problemstellung......................................................... 222
7.2 Vielfachzugriff,Multiple Access.......................................... 225
7.2.1 Mathematische Grundlagen.............................................. 226
7.2.2 Slotted-ALOHA-Protokoll................................................ 227
7.3 Zuverlässige DatenübertragungzwischenRechnern........................ 233
7.3.1 Mathematische Grundlagen.............................................. 234
7.3.2 Stop-and-wait-ARQ..................................................... 236
7.4 BerechnungdeskürzestenWegs imNetz.................................. 242
7.4.1 Dijkstra-Algorithmus.................................................... 245
7.5 Kryptologie............................................................. 246
7.5.1 Mathematische Grundlagen.............................................. 247
7.5.2 Rivest-Shamir-Adleman-(RSA-)Verfahren................................. 251
7.6 Übungsaufgaben........................................................ 256
8Literatur ................................................................ 267
9 Bezeichnungen.......................................................... 269
10 Bildnachweis........................................................... 271
1 Einleitung
Bild1.1 ClaudeE.Shannon30.4.1916–24.2.2001(©IvanMassar)
Die Mathematik ist eine trockene abstrakte Angelegenheit,und ein gebildeter Mensch muss
sich darin nicht auskennen; dies behaupten zumindest einige Autoren [3]. Weit gefehlt,
denn Mathematik lebt! DasGedankengebäude der Wissenschaft Mathematik suchtin seiner
Schönheit und Eleganz seinesgleichen. Vieles, was wir täglich ohne Scheu und Angst be-
nutzen,enthältMathematik,vordervieleScheuundAngstzeigen.Diessolltenichtsosein,
denn es existieren viele elegante und wunderschöne praktische Konzepte, die das Erlernen
vonMathematik vonselbst motivieren.
In diesem Buch wollen wir ausgewählte mathematische Verfahren beschreiben, die in all-
täglich genutzten Geräten stecken. Ohne mathematische Verfahren wären die Geräte nicht
möglich,selbstverständlichauchnichtohnedieTechnologieundMikroelektronik,mitderen
Hilfe die Mathematik umgesetzt wird. Im Mittelpunkt der Verfahren steht die Informati-
onstheorie, die sowohl die Telekommunikation als auch die Medien revolutioniert hat. Die
10 1 Einleitung
Intention dieses Buchsist, technisch interessierte Lesermit Mathematikkenntnissen indiese
Welt einzuführen, indem die Ideen, die Prinzipien und Konzepte und die ihnen zugrunde
liegende Mathematik beschriebenwerden.
NachdemdieklassischeNachrichtentechnikdenWandelvonphysikalischerBetrachtunghin
zumathematischerDenkweisevollzogenhat,wurdeeineRevolutiongestartet.Denmomen-
tanen Stand kennen wir: das Internet mit all seinen Computern, Telefon und Mobilfunk,
die digitalen Kameras, die Unterhaltungselektronik mit CDs, DVDs, MP3 und vieles mehr.
Die Geburtsstunde dieser Revolution war die bahnbrechende Arbeit von Claude E. Shan-
non [4,5], in der er die Informationstheorie begründet hat. In Bild 1.1 ist er vor einer Tafel
zusehen,aufderdersog.Fehlerexponentaufgemaltist.DieBesonderheitseinerArbeitwar,
dassererstmalsInformationmathematischdefiniertunddamitmessbargemachthat.Darauf
hat er die mathematische Theorie zur Telekommunikation aufgebaut, wodurch der Weg zur
Digitalisierung, d.h. zum Bit frei war. Claude E. Shannon hat bit eigentlich als Einheit der
Information eingeführt. Heute wird Bit als Bezeichnung einer binären Zahl verwendet, also
einerZahl,dienurdieWerte0und1annehmenkann.NahezualletechnischenGerätearbei-
tenheutzutageaufderBasisvonBits.BemerkenswertanderArbeitvonClaudeE.Shannon
ist, dass er damals Schranken abgeleitet hat, die die Grenzen der Kommunikation aufzei-
gen und die bis heute nicht erreicht wurden. Die Realisierung der Kommunikation durch
immer bessere Verfahren und immer leistungsfähigere Geräte nähert sich diesen Schranken
immer mehr an. Das mag auf den ersten Eindruck paradox klingen, da aber seine Theorie
auf mathematischen Beweisen basiert, kann man nie besser werden als die Schranken, die
er angegebenhat.Leidergeben die Beweise von Claude E. Shannonkeinen Hinweis darauf,
mit welchen Verfahren man die Schranken erreichen kann. Deshalb haben sich Ingenieure
undMathematikerindenseithervergangenen60JahrenimmerneueVerfahrenausgedacht,
umsich SchrankenvonClaudeE. Shannonanzunähern.
In diesem Buch soll die Mathematik einiger bedeutender Konzepte in alltäglichen Anwen-
dungenderTelekommunikationstechnik,den MedienundderInformationstheorie beschrie-
benwerden.DieDarstellungstütztsichaufBeispieleab,dennschonderrömischePhilosoph
Lucius Annaeus Seneca sagte:
Ist es ein langer Weg, der durchBelehrung,
ein kurzer und erfolgreicher, der durch das Beispielwirkt.
6.BriefdesjüngerenSeneca (4–65n.Chr.)[6]
Die ausgewähltenBeispiele sollen verdeutlichen,wie nützlich Algebrasein kann,wie durch
Zahlentheorie viele Probleme gelöst werden können und dass Wahrscheinlichkeitsrechnung
hilfreicheEinsichtengebenkann.DasBuchrichtetsichaneinentechnischinteressiertenPer-
sonenkreis mit mathematischen Grundkenntnissen. Die Lösungen einiger technischer Pro-
blemstellungen werden mit mathematischen Methoden erläutert. Der Einsatz der einzelnen
KapitelalsErgänzungfürdenMathematikunterrichtanGymnasien wirdnichtausgeschlos-
sen. Als Systeme wurden ausgewählt: das Navigationssystem, das Handy, der MP3-Player,
der CD-Player, die DVD und das Internet, alles Dinge, mit denen die meisten fast täglich
umgehen.