Mathematik 2: Lehrbuch fur ingenieurwissenschaftliche Studiengange PDF
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Springer-Lehrbuch Albert Fetzer · Heiner Fränkel Mathematik 2 Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 7. Auflage Mit Beiträgen von Akad.Dir.Dr.rer.nat.Dietrich Feldmann Prof.Dr.rer.nat.Albert Fetzer Prof.Dr.rer.nat.Heiner Fränkel Prof.Dipl.-Math.HorstSchwarz† Prof.Dr.rer.nat.Werner Spatzek† Prof.Dr.rer.nat.Siegfried Stief† Prof.Dr.AlbertFetzer Prof.Dr.HeinerFränkel HochschulefürTechnik HochschuleUlm undWirtschaftAalen ISBN---- ISBN----(eBook) DOI./---- DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;de- tailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerVieweg ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg,,, DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtaus- drücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgilt insbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspei- cherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabe vonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe- rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. Lektorat:EvaHestermann-Beyerle Einbandentwurf:WMXDesignGmbH,Heidelberg GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerViewegisteineMarkevonSpringerDE. SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia www.springer-vieweg.de Vorwortzur siebten Auflage Band2deserfolgreicheneinführendenLehrwerksindieMathematikliegtnuninder7.Auflage vor.EszeichnetsichdurcheineexakteundanschaulicheDarstellungaus.DerStoffwirddurch eineFüllevonBeispielenundAbbildungenveranschaulichtundvertieft. ZahlreicheAufgabenmitLösungenzujedemAbschnitterleichterndasSelbststudium. Aalen,Ulm,imHerbst2011 AlbertFetzer HeinerFränkel Vorwortzur vierten Auflage SeitfastzwanzigJahrenwirddasvorliegendeMathematikwerkvonStudentenundDozentenan Fachhochschulenund Technischen Hochschulen verwendetund hat sich sowohl als Lehr- und LernmittelwieauchalsautodidaktischesHilfsmitteläußerstgutbewährt. Neue Aufgabengebieteund Anforderungender betreffendenBildungseinrichtungenhaben nun jedocheinevollständigeÜberarbeitungnotwendigerscheinenlassen.DamitwirdderEntwick- lungimBereichvonComputer-undKommunikationstechnikRechnunggetragen.Berücksichtigt wirdauch,daßderComputereinsatzneueArbeitsmethodenundAlgorithmenermöglicht. DieAufnahmeneuerStoffgebietemachteeinestraffereDarstellungeinigerKapitelerforderlich. DieInhaltewurdennunmehraufzweiBändeverteilt. FolgendeThemenwurdenzusätzlichaufgenommen: (cid:129) GeometrischeTransformationenund KoordinatentransformationenimR2 undR3 (cid:129) EigenwertevonMatrizen (cid:129) ProblematikderRundungsfehlerbeinumerischenVerfahren (cid:129) QR-Algorithmus (cid:129) KubischeSplines (cid:129) Fourier-Transformation (cid:129) LineareDifferentialgleichungenderOrdnung nmitkonstantenKoeffizienten (cid:129) NumerischeVerfahrenfürAnfangswertaufgaben InhaltdiesesBandes 1. AnwendungderDifferential-undIntegralrechnung 2. Reihen 3. FunktionenmehrererVariablen 4. KomplexwertigeFunktionen 5. GewöhnlicheDifferentialgleichungen VI VorwortzurviertenAuflage In Abschnitt 1 werden die Methoden der Differential- und Integralrechnung angewendet. Die AbsichtderAutorenwares,möglichstvieleProblemeausführlichundanschaulichdarzustellen. Auf Anwendungen aus der Geometrie, die auch die Interpolation mit Hilfe kubischer Splines enthält, folgen zahlreiche Beispiele aus der Physik. Die Aufgabenin den Abschnitten 8 und 9 vonBand1werdenhierdurcheineumfassendeAufgabensammlungergänzt. Die Theorie der Reihen wird in Abschnitt 2 behandelt, zunächst in ausführlicher Darstellung die Zahlenreihen.BesondererWert wird auf die in der Praxis häufig auftretendenPotenz- und Fourier-Reihengelegt.MitHilfedergliedweisenIntegrationundDifferentiationwerdenPotenz- reihenvoneinigenwichtigenFunktionenhergeleitetunddamitNäherungsformelnfürz.B.den Umfang einer Ellipse, das Durchhängeneines Seiles usw. angegeben.Die Fourier-Reihewird, auchinkomplexerForm,ausführlichdiskutiert,wobeisichdieErweiterungaufnichtperiodische Funktionen,dieFourier-Transformation,anschließt.BeispieleausderElektrotechnikzeigen,wie dieseTheorieninderPraxisverwendetwerden. Bei derBehandlungder FunktionenmehrererVariablenin Abschnitt3 istbesondererWertauf Anschaulichkeit gelegt worden. Das geschieht aus folgendem Grund: Ein Ingenieur muß z.B. beiderBestimmungeinesTrägheitsmomentes(mehrfachesIntegral),derBerechnungderArbeit eines Feldes (Linienintegral) oder der Untersuchung des Temperaturgefälles (Gradient) seine Fragestellung in eine geeignete mathematische Formulierung „übersetzen“ können. Die dabei entstehendenmathematischenProblemesindhäufiggeometrischinterpretierbar,alsoeinerAn- schauungzugänglich.Dasbedeutet,daßzunächstder„Raum“,der dreidimensionaleAnschau- ungsraum,miteinigenseinermöglichenKoordinatensystemebehandeltwird.Dadiemathemati- scheBeschreibungvonKörpern(z.B.vonKegeln,Zylindern,Ringen)erfahrungsgemäßdemAn- fängerSchwierigkeitenbereitet,wurdeihrim erstenTeilabschnittbreiterRaumgewidmet.Die Technikdes partiellenDifferenzierensfällt Anfängernmeist leicht, so daß(im zweiten Teilab- schnitt)besondererWertaufeineanschaulicheundausführlicheErläuterungderBegriffe„parti- elleAbleitung“und„Differenzierbarkeit“gelegtwerdenkonnte.DieIntegralrechnungimdritten TeilabschnittistebenfallsanschaulichdargestelltundenthältvieleAnwendungenfürIngenieure. EinweitererTeilabschnittisteinigenelementarenGrundbegriffenderVektoranalysisgewidmet. HierwirdinsbesonderedasLinienintegralaufeineWeise eingeführt,dieunseresErachtensfür Ingenieurebesondersgeeignetist:EswirdzunächsteinProblemderNaturwissenschaftengelöst (ArbeiteinesFeldeslängseinerKurve)unddanachdermathematischeBegriff„passend“erklärt. Bei der Behandlungder Wegunabhängigkeitvon Linienintegralen(konservativeFelder) wurde auf mathematische Allgemeinheit bewußt verzichtet, da in nahezu allen für Anwender wichti- genFällenderetwasumständlicheBegriffdes„einfachzusammenhängendenGebietes“unnötig allgemeinist. InAbschnitt4werdenkomplexwertigeFunktionenbehandelt,undzwarausschließlichimHin- blickaufdieAnwendunginderWechselstromlehre.DerVorteilderkomplexenSchreibweisebe- stehtdarin,daßlineareWechselstromkreisenachdengleichenGesetzenbehandeltwerdenkön- nenwiesolchefürGleichstrom.DieerstenbeidenTeilabschnittevermittelndiefürdieBerech- nungvonlinearenWechselstromkreisennötigenKenntnisse,wiez.B.dieAbbildungw D 1=z. Nachdem dann die komplexe Schreibweise in der Wechselstromtechnik eingeführtist, werden dieOrtskurvenvonNetzwerkfunktionenanhandvonBeispielenerläutert. VorwortzurviertenAuflage VII Abschnitt5istinsechsTeilabschnittegegliedert.ZunächstwerdendietheoretischenGrundlagen untersucht.WirstellenhierinsbesondereKriterienfürdieExistenzundEindeutigkeitvonLösun- genzurVerfügung.DerzweiteTeilabschnittbehandelteinigeTypenvonDifferentialgleichungen ersterOrdnung,undeswerdenLösungsmethodendafürvorgestellt.EinenwesentlichenTeilbil- denhierAnwendungenausderPhysikundderElektrotechnik.AlsnächsteswerdenlineareDif- ferentialgleichungenzweiterOrdnungmitkonstantenKoeffizientendiskutiert,anschließenddie Theorie der linearen Differentialgleichungender Ordnungn. Wir stellen mehrere Lösungsme- thodenvor,dieinAbhängigkeitvonderspeziellenGestaltderDifferentialgleichunganwendbar sind. Zuletzt diskutieren wir hier einige mechanische und elektrotechnischeProbleme, die auf Differentialgleichungender Ordnungzweiführen.Im fünftenTeilabschnittuntersuchenwir li- neare Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wir lösensieunduntersuchenAufgaben,dieaufdieseSystemeführen.ImletztenTeilabschnittwer- dennumerischeVerfahrenfürAnfangswertaufgabenvorgestellt. InhaltdeserstenBandes Mengen,reelleZahlen,Funktionen,ZahlenfolgenundGrenzwerte,GrenzwertevonFunktionen, komplexeZahlen,lineareGleichungssysteme,Matrizen,Determinanten,VektorenundihreAn- wendungen,Differentialrechnung,Integralrechnung. EineVielzahlvonBeispielen undAbbildungenveranschaulichenundvertiefenauchin diesem BanddenStoff.ZahlreicheAufgabenmitLösungenzujedemKapitelerleichterndasSelbststu- dium. WirdankendemVDI-VerlagfürdieguteZusammenarbeit. Düsseldorf,März1995 AlbertFetzer HeinerFränkel Auszug aus dem Vorwort zur ersten Auflage Zielgruppen Das dreibändige Werk richtet sich hauptsächlich an Studenten und Dozenten der technischen Fachrichtungen an Fachhochschulen. Auch Studenten an Universitäten und Technischen Hoch schulen können es während ihrer mathematischen Grundausbildung mit Erfolg verwenden. Die Darstellung des ausgewählten Stoffes ist so ausführlich, daß es sich zum Selbststudium eignet. Vorkenntnisse Der Leser sollte mit den folgenden Themen, die in Band 1 ausführlich diskutiert werden, vertraut sein: Mengen und reelle Zahlen, Funktionen, Zahlenfolgen und Grenzwerte, Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung. Darstellung Besonderer Wert wurde auf eine weitgehend exakte und doch anschauliche Darstellung gelegt. Das erfordert, einerseits Beweise mathematischer Sätze nicht fortzulassen und andererseits sie durch Beispiele und Zusatzbemerkungen zu erhellen. Da die Beweise einiger Sätze jedoch über den Rahmen dieses Buches hinausgehen, wurde in solchen Fällen der Beweis ersetzt durch zusätzliche Gegenbeispiele, die die Bedeutung der Voraussetzungen erkennen lassen. Hinweise für den Benutzer Die Strukturierung ist ein wertvolles didaktisches Hilfsmittel, auf das die Autoren gerne zurück gegriffen haben. Die Hauptabschnitte werden mit einstelligen, die Teilabschnitte mit zweistelligen Nummern usw. versehen. Am Ende eines jeden Teilabschnittes findet der Leser ausgewählte Aufgaben (schwierige Aufgaben sind mit einem Stern gekennzeichnet), an Hand derer er prüfen kann, ob er das Lernziel erreicht hat. Zur Kontrolle sind die Lösungen mit zum Teil ausführlichem Lösungsgang im Anhang zu finden, so daß sich eine zusätzliche Aufgabensammlung erübrigt. Definitionen sind eingerahmt, wichtige Formeln grau unterlegt, Sätze eingerahmt und grau unterlegt. Das Ende des Beweises eines Satzes ist durch einen dicken Punkt gekennzeichnet. Oft werden Definitionen und Sätze durch anschließende Bemerkungen erläutert, oder es wird auf Besonderheiten hingewiesen. Hannover, im März 1978 Albert Fetzer Heiner Frankel Inhaltsverzeichnis 1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung 1 1.1 Geometrische Probleme 1 1.1.1 Kurven in der Ebene 1 1.1.2 Kurventangente und Kurvennormale, Berührung höherer Ordnung 15 1.1.3 Bogenlänge einer ebenen Kurve 22 1.1.4 Krümmung ebener Kurven 26 1.1.5 Interpolation mit Hilfe kubischer Splines 35 1.1.6 Flächeninhalt 45 1.1.7 Volumen und Oberflächeninhalt von Rotationskörpern 51 Aufgaben 61 1.2 Anwendungen in der Physik 68 1.2.1 Schwerpunkte 68 1.2.2 Momente 77 1.2.3 Arbeit einer Kraft 82 1.2.4 Mittelwerte 85 1.2.5 Durchbiegung eines Balkens 87 1.2.6 Bewegung im Schwerefeld 90 1.2.7 Weitere Anwendungen 96 Aufgaben 99 2 Reihen 103 2.1 Zahlenreihen 103 2.1.1 Definitionen und Sätze 103 2.1.2 Konvergenzkriterien 108 2.1.3 Bedingte und absolute Konvergenz 123 Aufgaben 126 2.2 Potenzreihen 129 2.2.1 Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen 129 2.2.2 Sätze über Potenzreihen 136 2.2.3 Die Taylor-Reihe 144 2.2.4 Reihen mit komplexen Gliedern 158 Aufgaben 163 2.3 Fourier-Reihen 166 2.3.1 Trigonometrische Reihen und Fourier-Reihen 166 2.3.2 Beispiele von Fourier-Reihen 172 2.3.3 Komplexe Schreibweise der Fourier-Reihe 179 Aufgaben 182 X Inhaltsverzeichnis 2.4 Fourier-Transformation 185 2.4.1 Einführung und Definition der Fourier-Transformation 185 2.4.2 Beispiele zur Fourier-Transformation 188 2.4.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation 192 Aufgaben 201 3 Funktionen mehrerer Variablen 203 3.1 Grundbegriffe: n-dimensionaler Raum, Stetigkeit 203 3.1.1 Die Ebene 203 3.1.2 Der drei-und der n-dimensionale Raum 207 3.1.3 Beispiele für Funktionen mehrerer Variablen und die Veranschaulichung von Funktionen zweier Variablen 217 3.1.4 Stetige Funktionen mehrerer Variablen 226 Aufgaben 232 3.2 Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Variablen 233 3.2.1 Partielle Ableitungen 233 3.2.2 Differenzierbarkeit, totales Differential 239 3.2.3 Extrema der Funktionen mehrerer Variablen 250 3.2.4 Kettenregel 259 3.2.5 Richtungsableitung und Gradient 263 3.2.6 Implizite Funktionen 271 3.2.7 Integrale, die von einem Parameter abhängen 275 Aufgaben 278 3.3 Mehrfache Integrale (Bereichsintegrale) 280 3.3.1 Doppelintegrale 280 3.3.2 Dreifache Integrale 288 3.3.3 Anwendungen dreifacher Integrale: Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Körpers 293 Aufgaben 303 3.4 Linienintegrale und ihre Anwendungen 305 3.4.1 Vektorfelder 306 3.4.2 Kurven im Raum 313 3.4.3 Das Linien- oder Kurvenintegral 315 3.4.4 Wegunabhängigkeit und Potentialfelder 322 3.4.5 Divergenz und Rotor eines Vektorfeldes 331 Aufgaben 335 4 Komplex wertige Funktionen 338 4.1 Komplexe Funktionen 338 4.1.1 Lineare komplexe Funktionen 339 4.1.2 Die Funktion / mit/(z) = - 339 z Aufgaben 344 Inhaltsverzeichnis XI 4.2 Komplexwertige Funktionen einer reellen Variablen 345 Aufgaben 347 4.3 Anwendungen bei der Berechnung von Wechselstromkreisen 347 4.3.1 Komplexe Schreibweisen in der Wechselstromtechnik 347 4.3.2 Ortskurven von Netzwerkfunktionen 350 Aufgaben 355 5 Gewöhnliche Differentialgleichungeji 357 5.1 Grundlegende Begriffe 357 Aufgaben 364 5.2 Differentialgleichungen erster Ordnung 364 5.2.1 Geometrische Deutung 364 5.2.2 Spezielle Lösungsmethoden 368 5.2.3 Geometrische Anwendungen 378 5.2.4 Physikalische Anwendungen 383 Aufgaben 390 5.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 392 5.3.1 Die homogene Differentialgleichung 392 5.3.2 Das Grundlösungsverfahren zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 397 5.3.3 Der Ansatz in Form des Störgliedes 398 5.3.4 Operatorenmethode 406 5.3.5 Lösung mit Hilfe der Laplace-Transformation 417 5.3.6 Anwendungen der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 434 Aufgaben 454 5.4 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten . . . 455 5.4.1 Die homogene Differentialgleichung 456 5.4.2 Das Grundlösungsverfahren 461 5.4.3 Der Ansatz in Form des Störgliedes 462 5.4.4 Operatorenmethode 467 Aufgaben 469 5.5 Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten 470 5.5.1 Grundlagen 470 5.5.2 Anwendungen 475 Aufgaben 480 5.6 Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben 480 5.6.1 Das Polygonzugverfahren (Euler-Verfahren) der Ordnung 1 482 5.6.2 Das verbesserte Polygonzugverfahren der Ordnung 2 483 5.6.3 Das Verfahren 2. Ordnung von Heun 484 5.6.4 Gewinnung zweistufiger Verfahren 485 5.6.5 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung 487
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