Springer-Lehrbuch FürweitereBände: http://www.springer.com/series/1183 Klaus Jänich Mathematik 2 Geschrieben für Physiker Zweite, korrigierte Auflage 123 Prof.em.Dr.KlausJänich FakultätfürMathematik UniversitätRegensburg 93040Regensburg Deutschland [email protected] ISSN0937-7433 ISBN978-3-642-16149-0 e-ISBN978-3-642-16150-6 DOI10.1007/978-3-642-16150-6 SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNation- albibliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.de abrufbar. MathematicsSubjectClassification:26-01,58-01,70-01 (cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2002,2011 DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbeson- derediederÜbersetzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildun- genundTabellen,derFunksendung,derMikroverfilmungoderderVervielfältigungauf anderenWegenundderSpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinur auszugsweiserVerwertung,vorbehalten.EineVervielfältigungdiesesWerkesodervon TeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichenBestim- mungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublikDeutschlandvom9.September 1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungspflichtig. ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesemWerkberechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dass solcheNamenimSinnederWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizu betrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. Einbandentwurf:WMXDesignGmbH,Heidelberg GedrucktaufsäurefreiemPapier SpringeristTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia (www.springer.com) Vorwort zur zweiten Auflage Von Fehlern in dieser zweiten Auflage der Mathematik 2 weiß ich natu¨rlichnichts,dennallemirbekanntgewordenenDruckfehlerder ersten Auflage habe ich jetzt korrigiert. Ich h¨atte nun die Gelegen- heit, auf Fehler in der 2004 erschienenen zweiten Auflage meiner Mathematik 1 hinzuweisen, jedoch, gute Nachricht: es gibt keine. Glaube ich! Und so gehe ich bis auf weiteres von der angenehmen Vorstellung aus, beide B¨ande l¨agen nun in tadelloser Form vor. Seit ein paar Jahren nehme ich am aktiven Universit¨atsleben nicht mehr teil, aber E-Mails beantworte ich noch in alter Frische, undalseremitischer Emeritusschaueichsovonferneaufdieneuen ZeitenanderUniversit¨atunddenkemirmeinenTeil.Esstu¨ndemir nichtan,ausdemLehnstuhl,hinterdemKachelofenhervorunerbe- teneRatschl¨agezuerteilen. Dochwu¨nsche ichmeinen Lesern einen Guten Rutsch ins Masterstudium! Wer m¨ochte auch ein Bachelor bleiben, sein Leben lang. Langquaid, im Oktober 2010 K. J¨anich Vorwort zur ersten Auflage DieerstenbeidenKapitel23und24stellenimRahmendiesesKur- ses eigentlich den Abschluss des ersten Semesters dar. Das Kapi- tel 25 bringt die Taylorentwicklung, nicht nur in einer, sondern auchinmehrerenVariablen.DiefolgendenKapitel26-28bildenden einenderbeidenSchwerpunktedesBandes,darinwerdenausgehend vom Umkehrsatz die zentralen Techniken der Differentialrechnung in mehreren Variablen behandelt. Der zweite Schwerpunkt ist die Vektoranalysis. Urspru¨nglich waren das zwei u¨berlange Kapitel Klassische Vektoranalysis und Cartan-Kalk¨ul, die ich nun zu besserer U¨bersicht in je drei Kapi- telchen unterteilt habe. Der klassische Teil pr¨asentiert die Vektor- analysis in der ¨außeren Form, in der sie in den Physikvorlesungen dann mit physikalischem Inhalt gefu¨llt wird. Aber erst durch den Cartan-Kalku¨lversteht man denmathematischen Sinn derVektor- analysis. Die Vektoranalysis ist n¨amlich nicht nur ein Sammelsuri- um erstaunlicher Einzelformeln, sondern sie beruht einheitlich auf einereinfachengeometrischenIdee,dieinderDefinitionderCartan- Ableitung zum Ausdruck kommt. In der O¨konomie des Kurses hat derCartan-Kalku¨labernocheinenweiterenZweck:erfu¨hrtdenLe- ser auf ein h¨oheres Niveau mathematischer Raffinesse und ist eine der Bru¨cken zu physikalisch relevanten Vorlesungen des mathema- tischen Hauptstudiums. DieletztendreiKapitelsindmathematischenAspektendertheo- retischen Mechanik gewidmet. Sie sind aber weniger als Vorberei- tung auf die Vorlesung u¨ber theoretische Mechanik gedacht, denn Vorwort vii ausreichend mathematisch vorbereitet darauf sind die Teilnehmer dieses Kurses auch ohnedies. Vielmehr sollen Leser, die mit der theoretischen Mechanik schon in Beru¨hrung gekommen sind, etwas u¨ber die mathematischen Begriffsbildungen hinter den Koordina- tenformeln erfahren und lernen, ihrinzwischen entwickeltes mathe- matisches Anschauungsverm¨ogen mit der spezifisch physikalischen Sichtweise der Mechanikvorlesung in Einklang zu bringen. Was ein Autor im ersten Band u¨ber den noch nicht vorhandenen zweiten sagt, hat den Charakter eines Blickes in die Zukunft und kann als solcher nicht immer verl¨asslich sein. Sind doch schon an- geku¨ndigtezweiteB¨andeg¨anzlichausgeblieben!Ichhatteurspru¨ng- lichvor,ausmeinerzweistu¨ndigen Zusatzvorlesungmanchesinden zweiten Band mit aufzunehmen. Das ist nun nicht geschehen, viel- leicht sp¨ater einmal, aber versprechen sollte ich lieber nichts. Besser l¨asst sich im zweiten Band u¨ber den ersten reden, zum Beispiel u¨ber dessen Druckfehler. Wer schon einmal ein druckfeh- lerfreies Buch herausgebracht hat, werfe den ersten Stein! Torsten Becker aus Saarbru¨cken hat den ersten Band gelesen und mir eine Druckfehlerliste geschickt, und Ulrich Riegel, der hier in Regens- burg im vergangenen Semester die Vorlesung hielt, hat mir auch eineu¨berreicht. IchdankebeidenHerrenundgebeumseitigdiemir jetzt bekannten Druckfehler und Versehen des ersten Bandes an, die beim Lesen st¨oren k¨onnten. Dass irgendwo infintesimale statt infinitesimale steht, fu¨hre ich also nicht mit auf. Immerhin haben mich die beiden Listen bewogen, Margarita Kraus, die im Sommer die Vorlesung u¨bernehmen wird, zu bitten, die Kapitel 23-34 einmal durchzusehen. Frau Kraus hat das auch getan und ich dankeihr fu¨r diese Arbeit, nehme abernatu¨rlich alle etwastehengebliebenenVersehenaufmich,zumalichinFragender neuen Rechtschreibung und Grammatik ¨ofters an meiner Version festgehalten habe, sei es aus besserer Einsicht, aus Starrsinn oder aus Unverstand. Wieder zu danken habe ich meinem Physiker-Kollegen Herrn Prof. Keller, der mit mir die drei Mechanik-Kapitel durchgegangen istund mich aufmanchekl¨arungs-oder¨anderungsbedu¨rftigeStelle aufmerksam gemacht hat. Herrn PD Dr. Thomas Pruschke, jetzt viii Vorwort in Augsburg, danke ich fu¨r die Erlaubnis, auch jene R-Aufgaben mit aufzunehmen, die er im Sommer 2000 beigesteuert hat, als er mit mir hier in Regensburg die U¨bungen zur Mathematik II durchfu¨hrte. Schließlichteileichmit,dassichbeiderHerstellungderFiguren dasProgrammMFPIC von Thomas E. Leathrumdankbar benutzt habe. Ich habe es von Herrn Riegel bekommen, der hier ausrichten l¨asst, es sei im Comprehensive TeX Archive Network (CTAN) im Verzeichnis graphics/mfpic/ zu finden. Langquaid, den 24. Februar 2002 K. J¨anich Druckfehler im ersten Band, 1. Auflage 2001. Die Zeilenangabe “10-7” bedeutet “Seite 10, siebente Zeile von unten”: 10-7: Statt “R1” setze “R+” (oder kurz: 10-7: R1 :: R+) / 10-5: R :: R+ / 0 0 0 0 0 0 13-2:R→R+ ::R+ →R/69,untereFigur:L¨osungkannbeieiner autonomen Gleichung so nicht aus(cid:2)sehen. /(cid:2)133-6: [a1,bn] :: [an,bn] / 150+3: i (cid:3)= j :: i = j / 172+2: n :: n / 177+4,+8,+11: j=1 i=1 ν1w(cid:3)t :: νtw(cid:3)t / 196-1: grad(cid:2)x :: grad(cid:2)xf / 228+8,+11: Aij :: detAij / 228+11,+12:Aji ::detAji/258+5:R2 ::R/280-4:π+t0 ::π−t0 / 285-15:f(t +h)::f(t ±h)/287,rechteFigur:π,−π::−π,π/309- 0 0 11: B ⊂ Rn :: B ⊂ R×Rn / 354+5: f(cid:3)(A)−f(cid:3)(B) :: f(cid:3)(B)−f(cid:3)(A) / 382+4: dϕdθ :: sinθdϕdθ / 398-7: ab + ac :: ac + bc / 409-4: U :: V / 416-12: d(cid:3)(x,x ) :: d(cid:3)(f(x),f(x )) / 476+9: Eigenwerte :: 0 0 0 0 Eigenvektoren / Inhaltsverzeichnis 23. Mathematische Grundlagen der Analysis 23.1 Die Axiome der reellen Zahlen.......................1 23.2 Die Konvergenz von Folgen..........................6 23.3 Die Anwendung des Vollst¨andigkeitsaxioms.........11 24. Funktionenfolgen und Reihen 24.1 Punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen.......23 24.2 Eine Grundausstattung an Konvergenzs¨atzen ....... 28 24.3 Reelle und komplexe Zahlenreihen..................34 24.4 Potenzreihen.......................................42 24.5 Schuldenru¨ckzahlung...............................48 24.6 U¨bungsaufgaben...................................53 25. Taylorentwicklung 25.1 Taylorreihen.......................................55 25.2 Taylorpolynome....................................58 25.3 Das Restglied......................................63 25.4 Taylorentwicklung in mehreren Variablen...........66 25.5 Hesse-Matrix und kritische Stellen..................70 25.6 Wie untersucht man die Definitheit der Hesseform?..75 25.7 U¨bungsaufgaben...................................78
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