Mathematics for Physicists DRAFT

81 Pages·2002·0.943 MB·English

by  Niels Walet

ii
Mathematics for Physicists
DRAFT
Niels Walet, Fall 2002
Last changed on October 30, 2002
ii
Contents
1 Introduction 1
1.1 Why mathematics for physics? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Mathematics as the language for physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Revision 3
2.1 Powers, logs, exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 The product of two powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.4 The Logarithmic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Trigonometric identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Inverse Trig Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Polar curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Vectors in 2-space and 3-space 15
3.1 solid geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Vectors and vector arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 What is a vector? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Graphical representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.3 Equality and line of action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.4 Negative of a vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.5 magnitude of a vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.6 Multiplication by a scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.7 Unit vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Vector Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.1 Triangle Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.2 Parallelogram Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.3 General Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.4 Associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.5 Closed sets of vectors: null vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.6 Subtraction of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.7 Zero or Null Vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Vectors: Component Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.1 Components in 2 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.2 Vectors in 3 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.3 Sum and Difference of vectors in Component Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.4 Unit vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.5 Scaling of Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.6 Physical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Vector products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 The scalar or dot product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.1 Component form of dot product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 Angle between two vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.8 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.9 The vector product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
iv CONTENTS
3.10 *triple products* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.10.1 Component Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.10.2 Some physical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.11 *Vector Triple Product* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.12 *The straight line* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.12.1 Standard form of L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Differentiation 31
4.1 Assumed knowledge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.1 First principles definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 Meaning as slope of a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.3 Differential of a sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.4 Differential of product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.5 Differential of quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.6 Function of a function (chain rule) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.7 some simple physical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.8 Differential of inverse function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.9 Maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.10 Higher Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Other techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Implicit Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2 Logarithmic differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3 Differentiation of parametric equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Vector functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.1 Polar curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.1 Multiple partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5 Differentiation and curve sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6 Application of differentiation: Calculation of small errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Integration 43
5.1 What is integration? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 Inverse of differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2 Area under a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Integration by substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.1 Type 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.2 Type 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.5 Integrals of the form I = (1)/(ax+b)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.6 Integrals of the form I = (px+q)/(x2+ax+b)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
(cid:82)
5.6.1 Completing the Square. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
(cid:82)
5.6.2 Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.7 Integration of rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.7.1 Partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.8 Integrals with square roots in denominator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Applications of Integration 57
6.1 Finding areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.1 Area between two curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.2 Basic Derivation of Area Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2 Volumes of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Centroids (First moment of area) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.1 First moment of the area about the y axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.2 First Moment of the area about the x axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.3 Centroid of a plane area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3.4 Meaning of the centroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4 Second Moment of Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
CONTENTS v
7 Differential Equations 65
7.1 introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Some special types of DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.1 Separable type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.2 linear type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2.3 Homogeneous Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3 Bernoulli’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
vi CONTENTS
Introduction
Here you find the lecture notes for the first semester of the course “Mathematics for Physicsists”. These
notes are terse, but should cover more-or-less what has been said in class. You can use them as a guide to
the material you are expected to be able to deal with, and we give ample reference to the two textbooks
(Lambourne and Tinker, “Basic Mathematics for the Physical Sciences”, denoted as 1.xxx, and Tinker and
Lambourne, “FurtherMathematicsforthePhysicalSciences”, denotedas2.xxxx). You’llnoticethatwejump
through those books in a rather random order, but your are expected to read up on those parts that you find
difficult, or are not covered in enough detail in the notes.
Niels Walet, Manchester, 2002
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viii CONTENTS