Mathematics for Economists

368 Pages·2014·5.58 MB·English

(cid:6)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:19)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:14)(cid:16)(cid:20)(cid:1)(cid:22)(cid:21)(cid:13)(cid:1)(cid:44)(cid:16)(cid:21)(cid:15)(cid:21)(cid:29)(cid:14)(cid:20)(cid:25)(cid:20)
(cid:8)(cid:44)(cid:9)(cid:23)(cid:37)(cid:30)(cid:31)
Edited by:
Dr.Dilfraz Singh
MATHEMATICS FOR ECONOMISTS
Edited By
Dr. Dilfraz Singh
Printed by
LAXMI PUBLICATIONS (P) LTD.
113, Golden House, Daryaganj,
New Delhi-110002
for
Directorate of Distance Education
Lovely Professional University
Phagwara
DLP-7822-167-MATH FOR ECONOMISTS (EM) C—
Typeset at : Athrav Writers Headway, Delhi Printed at :
SYLLABUS
Mathematics for Economists
Objectives
• To aware of students the mathematical aspects of Economics.
• To introduce the concept of interrelation and inter dependency of mathematical Economics.
• To increase understanding of the application of the mathematical properties of Economics.
S.No. Topics
Type of Functions: Constant Function, Polynomial Functions, Rational Functions, Non-algebraic Function, Exponential
1.
Function, Log Function
2. Limits and Continuity
3. Differentiation: Simple
4. Logarithmic Differentiation
5. Second and Higher Order Differentiation
6. Differentiation: Partial
7. Homogeneous Function and Euler’s Theorem
8. Economic Applications of Differentiation
9. Maxima and Minima of One Variable
10. Maxima and Minima of Two Variables
11. Constrained Maxima and Minima
12. Economic Applications of Maxima and Minima
13. Integration: Basic Rules of Integration
14. Methods of Integration
15. Integration as a Summation
16. Definite Integration
17. Economic Applications of Integration
18. Differential Equations: Introduction
19. Solution – Variable Separable Case, Homogenous Case
20. Matrices: Meaning and Types
21. Transpose, Trace of a Matrix, Adjoint and Inverse of Matrix
22. Cramer’s Rule
23. Determinants: Types and Properties
24. Rank of a Matrix
25. Application of Matrices in Economics
26. Input - Output Analysis
27. Hawkins – Simon Conditions
28. Closed Economic Input - Output Analysis
29. Introduction to Linear Programming
30. Formulation of Linear Programming Problems
31. Graphic Methods
32. Simplex Methods
CONTENT
Unit 1: Functions 1
Pavitar Parkash Singh, Lovely Professional University
Unit 2: Limits and Continuity 29
Pavitar Parkash Singh, Lovely Professional University
Unit 3: Differentiation 59
Pavitar Parkash Singh, Lovely Professional University
Unit 4: Logarithmic Differentiation 77
Pavitar Parkash Singh, Lovely Professional University
Unit 5: Second and Higher Order Differentiation 91
Hitesh Jhanji, Lovely Professional University
Unit 6: Differentiation: Partial 97
Hitesh Jhanji, Lovely Professional University
Unit 7: Homogeneous Function and Euler’s Theorem 105
Tanima Dutta, Lovely Professional University
Unit 8: Use of Differentiation in Economics 123
Tanima Dutta, Lovely Professional University
Unit 9: Maxima and Minima: One Variable 141
Dilfraz Singh, Lovely Professional University
Unit 10: Maxima and Minima: Two Variables and Constrained Maxima and Minima with 155
Lagrange’s Multiplier
Dilfraz Singh, Lovely Professional University
Unit 11: Constrained Maxima and Minima 169
Hitesh Jhanji, Lovely Professional University
Unit 12: Integration: Basic Rules of Integration 177
Hitesh Jhanji, Lovely Professional University
Unit 13: Methods of Integration 191
Dilfraz Singh, Lovely Professional University
Unit 14: Integration as a Summation 209
Pavitar Parkash Singh, Lovely Professional University
Unit 15: Definite Integration 227
Pavitar Parkash Singh, Lovely Professional University
Unit 16: Economic Applications of Integration 245
Dilfraz Singh, Lovely Professional University
Unit 17: Introduction to Differential Equations and Solutions: Variable Separable Case and 255
Homogeneous Equation
Tanima Dutta, Lovely Professional University
Unit 18: Matrices: Meaning and Types 265
Tanima Dutta, Lovely Professional University
Unit 19: Transpose and Inverse of Matrix 277
Hitesh Jhanji, Lovely Professional University
Unit 20: Cramer’s Rule 284
Tanima Dutta, Lovely Professional University
Unit 21: Determinant: Types and Properties 291
Pavitar Parkash Singh, Lovely Professional University
Unit 22: Rank of Matrix 305
Pavitar Parkash Singh, Lovely Professional University
Unit 23: Application of Matrices in Economics 309
Dilfraz Singh, Lovely Professional University
Unit 24: Input-Output Analysis 315
Dilfraz Singh, Lovely Professional University
Unit 25: Conditions of Hawkins and Simon 327
Hitesh Jhanji, Lovely Professional University
Unit 26: Closed Economy: Input-Output Model 333
Tanima Dutta, Lovely Professional University
Unit 27: Linear Programming 337
Dilfraz Singh, Lovely Professional University
Unit 28: Formulation of Linear Programming 343
Pavitar Parkash Singh, Lovely Professional University
Unit 29: Graphic Method 345
Hitesh Jhanji, Lovely Professional University
Unit 30: Simplex Method 351
Hitesh Jhanji, Lovely Professional University
Pavitar Parkash Singh, Lovely Professional University Unit 1: Functions
Unit 1: Functions Note
CONTENTS
Objectives
Introduction
1.1 Quantities
1.2 Related Quantities
1.3 Functions
1.4 Definition of Functions
1.5 Explanation of Functions
1.6 Functional Notations
1.7 Value of Functions
1.8 Definition of Functions by Mapping
1.9 Domain and Range of Functions
1.10 Kinds of Functions
1.11 Operations in the Set of Functions
1.12 Graph of Functions
1.13 Use of Linear Functions in Economics
1.14 Summary
1.15 Keywords
1.16 Review Questions
1.17 Further Readings
Objectives
After reading this unit, students will be able to :
(cid:122) Know the Functions and Related Quantities.
(cid:122) Determine the Value of Functions.
(cid:122) Know the Definition of Functions by Mapping.
(cid:122) Determine the Domain and Range of Functions.
(cid:122) Understand the use of Linear Functions in Economics.
Introduction
In many of the questions, we have to determine the effect of increase-decrease of an independent
number on a number dependent on it. For example, area of circle always depends on the radius of
it, because if radius is increased or decreased, then area of the circle will also decrease or increase
according to the radius. Here radius of the circle is a number and area of the circle is another
number, which are related to each other. Thus volume of a cylinder depends on its radius, area of
square and volume of a cuboid depend on the length of its arm. The distance covered by a running
train in dynamic velocity depends on the time taken. Velocity of a falling particle depends on the
distance covered by it. Atmospheric pressure of a certain place depends on the alleviation of its
height from sea-coast etc.
LOVELY PROFESSIONAL UNIVERSITY 1
Mathematics for Economists
Note With the change of value of one number, the rate of change in the value of other number and
questions related to rate of such change and analysis and study of functions is referred to as Differential
Calculus.
1.1 Quantities
There are two types of quantities:
1. Variable 2. Constant
1. Variables – Changing quantities are referred to as variables. Quantities for which values keeps on
changing viz which can be given indefinite numerical values are Variables. These are general
expressed with the last characters such as x, y, z, u, v, w etc. of English Words.
2. Constants – Numbers for which value is unchangeable under any process of mathematics, are
constants. Constant (cid:84)uantities are of two types:
(i) Absolute constants
(ii) Arbitrary constants
Value of which in any problem is unchanged, is referred to as absolute constants e.g.
2
5,(cid:16)3,1,1, 5,(cid:83), ,eetc.
5
Value of which remains constant in a problem, but get different value in different problems, they
are called arbitrary constants. These are expressed with the beginning letters such as a, b, c, d, etc. of
English word.
1.2 Related Quantities
We know that the area of the circle depends on its radius. In other words, circles with different radii
have different areas. Similarly, square of any positive number increases or decreases with any
change in it. Here radius of circle and its area or number and its square are related quantities.
Notes Any two numbers, in which change in any one number affects another number, are
referred to as related quantities.
Although both these two numbers are constants, but value of any one number can be changed
liberally and the value of other number will change not independently but applying any rule. For
example if we assume liberally 1, 2, 3, 4 …….. for the radius of the circle (r), then its area (A) applying
the rule A = πr2 would be π, 4π, 9π, 16π,..... respectively.
There are two types of constants:
(i) Independent Variables, (ii) Dependent variables
If two constants x and y are related in a manner where one variable can be given any value liberally
and the value of y depends on it, then x will be referred to as independent variables and y would be
its dependent variables.
For example: Assume y = 2x + 5
Now giving x variable different values like 0, 1, 2, ….. etc. we get different results for y variable such
5, 7, 9, …… etc. respectively, which is completely depended on x.
Therefore, here x is independent variable and y is a dependent one.
2 LOVELY PROFESSIONAL UNIVERSITY
(cid:11)(cid:23)(cid:21)(cid:27)(cid:1)(cid:3)(cid:4)(cid:1)(cid:8)(cid:28)(cid:23)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:24)(cid:23)(cid:26)
(cid:10)(cid:7)(cid:12) (cid:27)(cid:65)(cid:58)(cid:47)(cid:64)(cid:53)(cid:59)(cid:58)(cid:63) (cid:34)(cid:59)(cid:64)(cid:49)
(cid:45)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:68)(cid:70)(cid:61)(cid:66)(cid:55)(cid:61)(cid:68)(cid:64)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:71)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:65)(cid:73)(cid:72)(cid:73)(cid:53)(cid:64)(cid:64)(cid:77)(cid:1)(cid:54)(cid:53)(cid:71)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:70)(cid:57)(cid:64)(cid:53)(cid:72)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:69)(cid:73)(cid:53)(cid:66)(cid:72)(cid:61)(cid:72)(cid:61)(cid:57)(cid:71)(cid:8)
(cid:26)(cid:71)(cid:71)(cid:73)(cid:65)(cid:57)(cid:1)(cid:53)(cid:70)(cid:57)(cid:53)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:1)(cid:53)(cid:1)(cid:55)(cid:61)(cid:70)(cid:55)(cid:64)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:1)(cid:53)(cid:66)(cid:77)(cid:1)(cid:70)(cid:53)(cid:56)(cid:61)(cid:73)(cid:71)(cid:1)(cid:3)(cid:41)(cid:4)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:3)(cid:12)(cid:4)(cid:6)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:66)(cid:12)(cid:1)(cid:23)(cid:12)(cid:41)(cid:12)
(cid:33)(cid:57)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:70)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:1)(cid:53)(cid:66)(cid:1)(cid:61)(cid:66)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:57)(cid:66)(cid:56)(cid:57)(cid:66)(cid:72)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:1)(cid:53)(cid:66)(cid:56)(cid:12)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:1)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:57)(cid:66)(cid:56)(cid:57)(cid:66)(cid:72)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:6)(cid:1)(cid:71)(cid:61)(cid:66)(cid:55)(cid:57)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:53)(cid:70)(cid:57)(cid:53)(cid:1)(cid:3)(cid:12)(cid:4)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:55)(cid:61)(cid:70)(cid:55)(cid:64)(cid:57)(cid:1)(cid:61)(cid:71)
(cid:54)(cid:53)(cid:71)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:70)(cid:53)(cid:56)(cid:61)(cid:73)(cid:71)(cid:1)(cid:3)(cid:41)(cid:4)
(cid:34)(cid:66)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:71)(cid:61)(cid:72)(cid:73)(cid:53)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:75)(cid:57)(cid:1)(cid:71)(cid:53)(cid:77)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:53)(cid:72)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:1)(cid:3)(cid:12)(cid:4)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:1)(cid:3)(cid:41)(cid:4)(cid:6)(cid:1)(cid:75)(cid:60)(cid:61)(cid:55)(cid:60)(cid:1)(cid:61)(cid:66)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:64)(cid:53)(cid:66)(cid:59)(cid:73)(cid:53)(cid:59)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:1)(cid:65)(cid:53)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:65)(cid:53)(cid:72)(cid:61)(cid:55)(cid:71)(cid:1)(cid:61)(cid:71)
(cid:57)(cid:76)(cid:68)(cid:70)(cid:57)(cid:71)(cid:71)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:61)(cid:66)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:58)(cid:67)(cid:64)(cid:64)(cid:67)(cid:75)(cid:61)(cid:66)(cid:59)(cid:1)(cid:65)(cid:53)(cid:66)(cid:66)(cid:57)(cid:70)(cid:20)(cid:12)(cid:1)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:41)(cid:4)
(cid:45)(cid:60)(cid:73)(cid:71)(cid:6)(cid:1)(cid:51)(cid:12)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:41)(cid:52)
(cid:10)(cid:7)(cid:13) (cid:25)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:58)(cid:53)(cid:64)(cid:53)(cid:59)(cid:58)(cid:1)(cid:59)(cid:50)(cid:1)(cid:27)(cid:65)(cid:58)(cid:47)(cid:64)(cid:53)(cid:59)(cid:58)(cid:63)
(cid:33)(cid:57)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:72)(cid:75)(cid:67)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:71)(cid:47)(cid:1)(cid:3)(cid:61)(cid:66)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:57)(cid:66)(cid:56)(cid:57)(cid:66)(cid:72)(cid:4)(cid:1)(cid:53)(cid:66)(cid:56)(cid:48)(cid:3)(cid:1)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:57)(cid:66)(cid:56)(cid:57)(cid:66)(cid:72)(cid:4)(cid:1)(cid:53)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:70)(cid:57)(cid:64)(cid:53)(cid:72)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:75)(cid:61)(cid:72)(cid:60)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:3)(cid:31)(cid:4)(cid:1)(cid:61)(cid:66)(cid:1)(cid:71)(cid:73)(cid:55)(cid:60)(cid:1)(cid:53)(cid:1)(cid:75)(cid:53)(cid:77)
(cid:72)(cid:60)(cid:53)(cid:72)(cid:1)(cid:58)(cid:67)(cid:70)(cid:1)(cid:57)(cid:53)(cid:55)(cid:60)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:64)(cid:73)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58) (cid:47)(cid:6)(cid:1)(cid:53)(cid:1)(cid:55)(cid:57)(cid:70)(cid:72)(cid:53)(cid:61)(cid:66)(cid:1)(cid:53)(cid:66)(cid:56)(cid:1)(cid:73)(cid:66)(cid:61)(cid:69)(cid:73)(cid:57)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:64)(cid:73)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58) (cid:48)(cid:1)(cid:55)(cid:53)(cid:66)(cid:1)(cid:54)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:54)(cid:72)(cid:53)(cid:61)(cid:66)(cid:57)(cid:56)(cid:6)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:66) (cid:48)(cid:1)(cid:75)(cid:67)(cid:73)(cid:64)(cid:56)(cid:1)(cid:54)(cid:57)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)
(cid:58)(cid:7)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:47)(cid:6)(cid:1)(cid:75)(cid:60)(cid:61)(cid:55)(cid:60)(cid:1)(cid:55)(cid:53)(cid:66)(cid:1)(cid:54)(cid:57)(cid:1)(cid:57)(cid:76)(cid:68)(cid:70)(cid:57)(cid:71)(cid:71)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:53)(cid:71)(cid:48)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:47)(cid:4)(cid:8)
(cid:45)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:71)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:47)(cid:1)(cid:53)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:57)(cid:76)(cid:68)(cid:70)(cid:57)(cid:71)(cid:71)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:75)(cid:61)(cid:72)(cid:60)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:71)(cid:77)(cid:65)(cid:54)(cid:67)(cid:64)(cid:71)(cid:31)(cid:3)(cid:47)(cid:3)(cid:5)(cid:1)(cid:32)(cid:2)(cid:47)(cid:3)(cid:5)(cid:11)(cid:2)(cid:47)(cid:3)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:57)(cid:72)(cid:55)(cid:8)
(cid:10)(cid:7)(cid:14) (cid:26)(cid:68)(cid:60)(cid:56)(cid:45)(cid:58)(cid:45)(cid:64)(cid:53)(cid:59)(cid:58)(cid:1)(cid:59)(cid:50)(cid:1)(cid:27)(cid:65)(cid:58)(cid:47)(cid:64)(cid:53)(cid:59)(cid:58)(cid:63)
(cid:34)(cid:58)(cid:1)(cid:48)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:47)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:66)(cid:48)(cid:1)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:47)(cid:4)(cid:8)
(cid:45)(cid:60)(cid:57)(cid:66)(cid:47)(cid:75)(cid:67)(cid:73)(cid:64)(cid:56)(cid:1)(cid:54)(cid:57)(cid:1)(cid:53)(cid:66)(cid:1)(cid:61)(cid:66)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:57)(cid:66)(cid:56)(cid:57)(cid:66)(cid:72)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:1)(cid:53)(cid:66)(cid:56)(cid:48)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:1)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:57)(cid:66)(cid:56)(cid:57)(cid:66)(cid:72)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:64)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:8)
(cid:34)(cid:58)(cid:48)(cid:1)(cid:23)(cid:1)(cid:15)(cid:47)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:66)(cid:1)(cid:58)(cid:67)(cid:70)(cid:1)(cid:57)(cid:53)(cid:55)(cid:60)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:64)(cid:73)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:47)(cid:6)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:1)(cid:55)(cid:57)(cid:70)(cid:72)(cid:53)(cid:61)(cid:66)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:64)(cid:73)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:48)(cid:8)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:70)(cid:57)(cid:58)(cid:67)(cid:70)(cid:57)(cid:6)(cid:48)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:71)(cid:53)(cid:61)(cid:56)(cid:1)(cid:72)(cid:67)(cid:1)(cid:54)(cid:57)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)
(cid:67)(cid:58)(cid:47)(cid:8)
(cid:10)(cid:7)(cid:15) (cid:27)(cid:65)(cid:58)(cid:47)(cid:64)(cid:53)(cid:59)(cid:58)(cid:45)(cid:56)(cid:1)(cid:34)(cid:59)(cid:64)(cid:45)(cid:64)(cid:53)(cid:59)(cid:58)(cid:63)
(cid:38)(cid:53)(cid:66)(cid:77)(cid:1)(cid:71)(cid:77)(cid:65)(cid:54)(cid:67)(cid:64)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:73)(cid:71)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:72)(cid:67)(cid:1)(cid:57)(cid:76)(cid:68)(cid:70)(cid:57)(cid:71)(cid:71)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:75)(cid:60)(cid:57)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:77)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:67)(cid:58) (cid:47)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:8)(cid:1)(cid:45)(cid:60)(cid:57)
(cid:71)(cid:77)(cid:65)(cid:54)(cid:67)(cid:64)(cid:1)(cid:65)(cid:67)(cid:71)(cid:72)(cid:64)(cid:77)(cid:1)(cid:73)(cid:71)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:61)(cid:71)
(cid:48)(cid:1)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:47)(cid:4)(cid:8)
(cid:48)(cid:60)(cid:61)(cid:55)(cid:60)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:70)(cid:57)(cid:53)(cid:56)(cid:1)(cid:53)(cid:71)(cid:1)(cid:92)(cid:48)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:57)(cid:69)(cid:73)(cid:53)(cid:64)(cid:1)(cid:72)(cid:67)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:47)(cid:93)
(cid:40)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:70)(cid:1)(cid:71)(cid:77)(cid:65)(cid:54)(cid:67)(cid:64)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:70)(cid:57)(cid:20) (cid:48)(cid:6)(cid:16)(cid:3)(cid:47)(cid:4)(cid:6)(cid:48)(cid:6)(cid:11)(cid:3)(cid:47)(cid:4)(cid:6) (cid:48)(cid:6)(cid:14)(cid:3)(cid:47)(cid:4)(cid:6)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:6)(cid:57)(cid:72)(cid:55)(cid:8)
Did u know? (cid:34)(cid:58)(cid:1)(cid:58)(cid:67)(cid:70)(cid:1)(cid:53)(cid:66)(cid:77)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:64)(cid:73)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:47)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:6)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:53)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:65)(cid:67)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:53)(cid:66)(cid:1)(cid:67)(cid:66)(cid:57)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:64)(cid:73)(cid:57)(cid:6)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:66)(cid:48)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:1)(cid:66)(cid:67)(cid:72)(cid:1)(cid:55)(cid:53)(cid:64)(cid:64)(cid:57)(cid:56)
(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:47)(cid:6)(cid:1)(cid:54)(cid:73)(cid:72)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:70)(cid:57)(cid:64)(cid:53)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:8)(cid:1)(cid:31)(cid:67)(cid:70)(cid:1)(cid:57)(cid:8)(cid:59)(cid:8)(cid:48)(cid:12)(cid:1)(cid:23)(cid:47)(cid:6)(cid:1)(cid:1)(cid:60)(cid:57)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:58)(cid:67)(cid:70)(cid:1)(cid:57)(cid:53)(cid:55)(cid:60)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:64)(cid:73)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:47)(cid:6)(cid:1)(cid:72)(cid:75)(cid:67)
(cid:74)(cid:53)(cid:64)(cid:73)(cid:57)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:54)(cid:72)(cid:53)(cid:61)(cid:66)(cid:57)(cid:56)(cid:6)(cid:1)(cid:71)(cid:73)(cid:55)(cid:60)(cid:1)(cid:72)(cid:77)(cid:68)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:1)(cid:70)(cid:57)(cid:64)(cid:53)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:70)(cid:57)(cid:1)(cid:71)(cid:67)(cid:65)(cid:57)(cid:72)(cid:61)(cid:65)(cid:57)(cid:71)(cid:1)(cid:53)(cid:64)(cid:71)(cid:67)(cid:1)(cid:55)(cid:53)(cid:64)(cid:64)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:65)(cid:73)(cid:64)(cid:72)(cid:61)(cid:7)
(cid:74)(cid:53)(cid:64)(cid:73)(cid:57)(cid:56)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:8)
(cid:10)(cid:7)(cid:16) (cid:42)(cid:45)(cid:56)(cid:65)(cid:49)(cid:1)(cid:59)(cid:50)(cid:1)(cid:27)(cid:65)(cid:58)(cid:47)(cid:64)(cid:53)(cid:59)(cid:58)(cid:63)
(cid:26)(cid:71)(cid:71)(cid:73)(cid:65)(cid:57)(cid:1)(cid:53)(cid:66)(cid:77)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:70)(cid:61)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:57)(cid:47)(cid:1)(cid:61)(cid:71)(cid:48)(cid:1)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:47)(cid:4)
(cid:41)(cid:73)(cid:72)(cid:72)(cid:61)(cid:66)(cid:59)(cid:47)(cid:23)(cid:26)(cid:1)(cid:61)(cid:66)(cid:31)(cid:3)(cid:47)(cid:4)(cid:1)(cid:75)(cid:57)(cid:1)(cid:59)(cid:57)(cid:72)(cid:31)(cid:3)(cid:26)(cid:4)(cid:1)(cid:75)(cid:60)(cid:61)(cid:55)(cid:60)(cid:1)(cid:75)(cid:67)(cid:73)(cid:64)(cid:56)(cid:1)(cid:54)(cid:57)(cid:1)(cid:72)(cid:60)(cid:57)(cid:1)(cid:74)(cid:53)(cid:64)(cid:73)(cid:57)(cid:1)(cid:67)(cid:58)(cid:1)(cid:58)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:72)(cid:61)(cid:67)(cid:66)(cid:1)(cid:58)(cid:67)(cid:70)(cid:47)(cid:1)(cid:11)(cid:1)(cid:26)(cid:8)
(cid:42)(cid:45)(cid:56)(cid:65)(cid:49)(cid:1)(cid:59)(cid:50)(cid:18)(cid:2)(cid:30)(cid:3)(cid:1)(cid:59)(cid:58)(cid:30)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:14)(cid:67)(cid:59)(cid:65)(cid:56)(cid:48)(cid:1)(cid:46)(cid:49)(cid:18)(cid:2)(cid:14)(cid:3)
(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:47)(cid:52)(cid:1)(cid:53)(cid:63)(cid:1)(cid:59)(cid:46)(cid:64)(cid:45)(cid:53)(cid:58)(cid:49)(cid:48)(cid:1)(cid:62)(cid:49)(cid:60)(cid:56)(cid:45)(cid:47)(cid:53)(cid:58)(cid:51)(cid:30)(cid:1)(cid:67)(cid:53)(cid:64)(cid:52)(cid:1)(cid:45)(cid:1)(cid:53)(cid:58)(cid:18)(cid:2)(cid:30)(cid:3)
(cid:31)(cid:67)(cid:70)(cid:30)(cid:6)(cid:32)(cid:6)(cid:53)(cid:71)(cid:71)(cid:73)(cid:65)(cid:57) (cid:31)(cid:3)(cid:47)(cid:4)(cid:6)(cid:12)(cid:47)(cid:12)(cid:4)(cid:13)(cid:47)(cid:3)(cid:15)
(cid:32)(cid:35)(cid:42)(cid:26)(cid:32)(cid:44)(cid:1)(cid:36)(cid:38)(cid:35)(cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:39)(cid:30)(cid:35)(cid:34)(cid:23)(cid:32)(cid:1)(cid:41)(cid:34)(cid:30)(cid:42)(cid:26)(cid:38)(cid:39)(cid:30)(cid:40)(cid:44) (cid:12)