ebook img

Mathematics At A Glance for Class XI & XII, Engineering Entrance and other Competitive Exams PDF

425 Pages·2014·5.3 MB·English
Save to my drive
Quick download
Download
Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.

Preview Mathematics At A Glance for Class XI & XII, Engineering Entrance and other Competitive Exams

for Class XI & XII, Engineering Entrance and other Competitive Exams Mathematics at a Glance Sanjay Mishra B. Tech (IIT-Varanasi) (cid:39)(cid:72)(cid:79)(cid:75)(cid:76)(cid:3)(cid:135)(cid:3)(cid:38)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:81)(cid:68)(cid:76) Copyright © 2015 Pearson India Education Services Pvt. Ltd Published by Pearson India Education Services Pvt. Ltd, CIN: U72200TN2005PTC057128, formerly known as TutorVista Global Pvt. Ltd, licensee of Pearson Education in South Asia No part of this eBook may be used or reproduced in any manner whatsoever without the publisher’s prior written consent. This eBook may or may not include all assets that were part of the print version. The publisher reserves the right to remove any material in this eBook at any time. ISBN: 978-93-325-2206-0 eISBN: 978-93-325-3736-1 Head Office: A-8 (A), 7th Floor, Knowledge Boulevard, Sector 62, Noida 201 309, U Registered Office: Module G4, Ground Floor, Elnet Software City, TS-140, Block 2 Salai, Taramani, Chennai 600 113, Tamil Nadu, India. Fax: 080-30461003, Phone: 080-30461060 www.pearson.co.in, Email: [email protected] Contents Preface iv Acknowledgements v 1. Foundation of Mathematics ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 1�1-1�28 2. Exponential Logarithm ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 2�29-2�36 3. Sequence and Progression ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3�37-3�47 4. Inequality ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4�48-4�54 5. Theory of Equation ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 5�55-5�63 6. Permutation and Combination ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� 6�64-6�78 7. Binomial Theorem ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7�79-7�83 8. Infinite Series���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 8�84-8�86 9. Trigonometric Ratios and Identities�������������������������������������������������������������������������������������������������� 9�87-9�97 10. Trigonometric Equation ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 10�98-10�109 11. Properties of Triangle ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 11�110-11�120 12. Inverse Trigonometric Function ������������������������������������������������������������������������������������������������ 12�121-12�131 13. Properties of Triangle ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 13�132-13�139 14. Straight Line and Pair of Straight Line �������������������������������������������������������������������������������������� 14�140-14�151 15. Circle and Family of Circle ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 15�152-15�161 16. Parabola ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 16�162-16�172 17. Ellipse �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 17�173-17�179 18. Hyperbola ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 18�180-18�188 19. Complex Number ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 19�189-19�211 20. Sets and Relation �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 20�212-20�225 21. Functions �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 21�226-21�254 22. Limit, Continuity and Differentiability ������������������������������������������������������������������������������������� 22�255-22�272 23. Method of Differentiation ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� 23�273-23�277 24. Application of Derivatives ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� 24�278-24�304 25. Indefinite Integration ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 25�305-25�321 26. Definite Integration and Area Under the Curve ��������������������������������������������������������������������� 26�322-26�336 27. Differential Equation ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 27�337-27�350 28. Vectors ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 28�351-28�365 29. Three Dimensional Geometry ��������������������������������������������������������������������������������������������������� 29�366-29�381 30. Probability ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 30�382-30�391 31. Matrices and Determinants �������������������������������������������������������������������������������������������������������� 31�392-31�411 32. Statistics ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 32�412-32�419 Preface Any presentation or work on Mathematics must be conceived as an art rather than a text� This is where this work holds it differently� During my school days and throughout my long teaching career, I realized that most of the JEE aspirants feel the need of a book that may provide them with rapid revision of all the concepts they learned and their important applications, throughout their two years long time of preparation� I prefer to call it Mathematics at a Glance� The present book is written with sole objective of that� The entire syllabus of Mathematics for AIEEE, JEE Mains and JEE Advanced has been presented in an unprecedented format� The reader ought to have the following pre requisites before going through it: (i) He/She must have ample knowledge of high school Mathematics (ii) Must have conceptual/theoretical knowledge behind the various mathematical thoughts presented� (iii) Must be confident enough that he/she is not the father of Mathematics and, if not comfortable with any concept or text, we shall be thankful to have your valuable advice� As the name of this work suggests that it has been designed to help during revision� It must be kept in mind that the motive of the text is to provide a recapitulation of the entire mathematics that you have studied in your mainstream syllabus� While going through the book if you want detailed analysis of any thought or idea you must go for: “Fundamentals of Mathematics---By Sanjay Mishra”� All the suggestions for improvement are welcome and shall be greatfully acknowledged� —Sanjay Mishra Acknowledgements I am really grateful to “Pearson Education”, for showing their faith in me and for providing me an opportunity to transform my yearning, my years-long teaching experience and knowledge into the present rapid revision book, “Mathematics at a Glance”� I would like to thank all teachers and my friends, for their valuable criticism, support and advice that was really helpful to carve out this work� I wish to thank my parents and all my family members, for their patience and support in bringing out this book and contributing their valuable share of time for this cause� I extend my special thanks to my team, including my assistant teachers Rakesh Gupta, Parinika Mishra, managers and computer operators, for their hard work and dedication in completing this task� —Sanjay Mishra 1 Chapter Foundation oF MatheMatiCs MatheMatical Reasoning 1.1 INTRODUCTION Mathematics is a pure application of brains. To crack mathematical problems an analytical approach is required. 1.2 PRE-REQUISITES  Flush out your thoughts of maintaining algorithms for mathematical problems.  Try to connect the text and work in this chapter from high-school mathematics and make conclusive analysis of applying basic principles of mathematics. 1.2.1 Greek Words (Symbols) Symbol Meaning Symbol Meaning Symbol Meaning α Alpha β Beta g Gamma δ, D Delta ∈, ε Epsilon ξ Zeta η Eta θ Theta i Iota κ Kappa λ Lambda µ Mu v Nu ξ Xi o Omicron π Pi ρ Rho σ, ∑ Sigma τ Tau υ Upsilon f Phi χ Chi ψ Psi ω Omega 1.3 UNDERSTANDING THE LANGUAGE OF MATHEMATICS Well! Obviously mathematics is no language by itself but as remarked by Albert Einstein “Mathematics is the language in which god has written the universe.” 1.2 Mathematics at a Glance 1.3.1 Mathematical Symbols Symbol Meaning Symbol Meaning Symbol Meaning \ Therefore ∫ Single Integration D Triangle ∵ Because, Since ∫ ∫ Double Integration ⇒ Implies : Such that Σ Sigma N The set of natural numbers :: So as a Proportionate to ⇔ Implies and is implied by : Ratio f Function Z or I The set of integers :: Proportion ∞ Infinity Q The set of rational numbers = Equal to _ Line bracket ℝ The set of real numbers ≠ Not equal to () Small bracket |x| Absolute value of x > Greater than {} Mid bracket i.e. i.e., (that is) < Less than [] Large bracket e.g. example gratia (for example) ≥ Greater than or ∈ Belongs to Q.E.D. Quod erat demonstrandum equal to ≤ Less than or ∉ Does not belong to ⊄ Is not a subset of equal to ∢ Not less than ⊂ Is a subset of ∪ Universal set nth root ∪ Union of sets ~ Similar to Cube root ∩ Intersection of sets iff If and only if ∠ Angle A × B Cartesian product || Parallel of A and B ^ Perpendicular A – B Difference of two f Null Set (phi) sets A and B @ Congruent to ∀ For all ∩ Arc $ There exists 1.4 STATEMENTS AND MATHEMATICAL STATEMENTS 1.4.1 Statement It is a sentence which is complete in itself and explains its meanings completely, e.g., Delhi is the capital of India. 1.4.2 Mathematical Statements A given statement is mathematical, if either it is true or it is false but not both. 1.4.3 Scientific Statement A given sentence will qualify as a scientific statement even if it may be true conditionally, e.g., mass can be neither created nor destroyed. Foundation of Mathematics 1.3 1.5 CLASSIFICATION OF MATHEMATICAL STATEMENTS 1. axiom: Mathematical statements which are accepted as truth without any formal proof given for it. e.g., Equals added to equals are equals. 2. Definition: Mathematical statement which is used to explain the meaning of certain words used in the subject. E.g. “The integers other than ±1 and 0 which are divisible by either one or by themselves are called prime integers”. 3. Theorems: A mathematical statement which is accepted as ‘truth’ only when a formal proof is given for it like summation of interior angles of a triangle is 180 degree, is a theorem. 1.5.1 Conjectures In mathematics, a conjecture is an unproven proposition that appears correct. For example, every even integer greater than two, can be expressed as a sum of two primes. 1.5.2 Mathematical Reasoning Reasoning is a process of logical steps that enables us to arrive at a conclusion. In mathematics there are two types of reasoning. These are as follows: 1. inductive Reasoning: Like that in mathematical induction. 2. Deductive Reasoning: Series of steps to deduct one mathematical statement from the other and their proof, which will be discussed in the text. 1.6 WORKING ON MATHEMATICAL STATEMENTS 1.6.1 Negation of a Statement The denial of a statement is called its negation. To negate a statement we can use phrases like “It is false” “is not”. Rita is at home ⇒ Rita is not at home. 1.6.2 Compounding of Statements Compounding of statements is defined as combining two or more component statements using the connecting words like ‘and’ and ‘or’, etc. The new statement formed is called a compound statement. Compounding p : x is odd prime number. x is a odd prime or a perfect with OR q : x is perfect square of integer. square integer. Compounding p : 2 is a prime number. 2 is a prime and even natural with AND q : 2 is an even number. number. Note: OR be inclusive or exclusive depending both conditions are simultaneously possible or not respectively. 1.4 Mathematics at a Glance 1.7 IMPLICATION OF A STATEMENT If two statement p and q are connected by the group of words, ‘if…, then…’ the resulting compound statement: ‘if p then q’ is called ‘conditional implications’ of p and q is written in symbolic form as ‘p → q’ (read as ‘p implies q’) e.g., p: the pressure increases q: the volume increases Then, implication of the statements p and q is given by p → q: if the pressure increases, then the volume decreases. 1.7.1 Converse of a Statement it is given by p ⇒ q means q ⇒ p. If a integer n is even then n2 is divisible by 4. Converse is “If n2 is divisible by 4, then n must be even”. (cid:54) (cid:54) (cid:83) (cid:83) (cid:84)(cid:84) (cid:84) 1.7.2 Contra Positive of a Statement p ⇒ q is ~q ⇒ ~p (cid:54) If a triangle has two equal sides, then it is isosceles triangle. Its contrapositive is: ‘if a (cid:84) (cid:97)(cid:84) triangle is not isosceles then it has no two sides equal’. (cid:83) (cid:97)(cid:83) 1.8 TRUTH VALUE The truth (T) or falsity (F) of any statement is called its truth value. E.g., every mathematical statement is either true or false. Truth value of a true statement is (T), and that of a false statement is (F). Given below in the table are Venn Diagrams and truth tables of various mathematical and logical operations: Operation Venn Diagram Truth Table And (cid:54) p q p and q/p ^ q (cid:83)(cid:3)(cid:9)(cid:3)(cid:84) T T T (cid:83) (cid:84) T F F F T F F F F Or (cid:54) p q p or q/p ∨ q T T T T F T F T T (cid:83) (cid:84) F F F

See more

The list of books you might like

Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.