Mathematical Objects in C++: Computational Tools in A Unified Object-Oriented Approach (Chapman & Hall Crc Numerical Analysis and Scientific Computing)

637 Pages·2009·1.9 MB·English

by  Yair Shapira

C++
MATHEMATICAL
OBJECTS
in
Computational Tools in a Unified
Object-Oriented Approach
(cid:39)(cid:44)(cid:37)(cid:52)(cid:49)(cid:37)(cid:50)(cid:3)(cid:10)(cid:3)(cid:44)(cid:37)(cid:48)(cid:48)(cid:19)(cid:39)(cid:54)(cid:39)
(cid:49)(cid:88)(cid:80)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:92)(cid:86)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:192)(cid:70)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:80)(cid:83)(cid:88)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)
Aims and scope:
(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:192)(cid:70)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:80)(cid:83)(cid:88)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:81)(cid:88)(cid:80)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:92)(cid:86)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:89)(cid:76)(cid:71)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:89)(cid:68)(cid:79)(cid:88)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:82)(cid:79)(cid:86)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:86)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:72)(cid:81)(cid:74)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:17)(cid:3)
(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:76)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:68)(cid:83)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:81)(cid:72)(cid:90)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:89)(cid:72)(cid:79)(cid:82)(cid:83)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:80)(cid:80)(cid:68)(cid:85)(cid:76)(cid:93)(cid:72)(cid:3)(cid:86)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:16)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:71)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:3)
(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:192)(cid:72)(cid:79)(cid:71)(cid:86)(cid:17)(cid:3)(cid:44)(cid:87)(cid:3)(cid:90)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:70)(cid:79)(cid:88)(cid:71)(cid:72)(cid:3)(cid:68)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:3)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:72)(cid:91)(cid:87)(cid:69)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:80)(cid:82)(cid:81)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:75)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:69)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:86)(cid:17)(cid:3)
(cid:57)(cid:82)(cid:79)(cid:88)(cid:80)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:92)(cid:15)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:70)(cid:79)(cid:88)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:71)(cid:76)(cid:86)(cid:70)(cid:85)(cid:72)(cid:87)(cid:76)(cid:86)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:84)(cid:88)(cid:72)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:81)(cid:88)(cid:80)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:68)(cid:79)(cid:74)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:87)(cid:75)(cid:80)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:79)(cid:87)(cid:76)(cid:86)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:87)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:84)(cid:88)(cid:72)(cid:86)(cid:15)(cid:3)
(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:71)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:76)(cid:69)(cid:88)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:68)(cid:79)(cid:74)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:87)(cid:75)(cid:80)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:86)(cid:3)(cid:90)(cid:72)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:68)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:83)(cid:83)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:71)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:79)(cid:87)(cid:76)(cid:16)(cid:71)(cid:76)(cid:86)(cid:70)(cid:76)(cid:83)(cid:79)(cid:76)(cid:81)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:192)(cid:72)(cid:79)(cid:71)(cid:86)(cid:15)(cid:3)
(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:72)(cid:79)(cid:70)(cid:82)(cid:80)(cid:72)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:70)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:85)(cid:72)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:68)(cid:79)(cid:16)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:79)(cid:71)(cid:3)(cid:72)(cid:91)(cid:68)(cid:80)(cid:83)(cid:79)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:75)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:71)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:68)(cid:81)(cid:87)(cid:3)
(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:68)(cid:83)(cid:83)(cid:72)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:68)(cid:85)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:72)(cid:81)(cid:74)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:80)(cid:83)(cid:88)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:86)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:17)
Editors
(cid:38)(cid:75)(cid:82)(cid:76)(cid:16)(cid:43)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:47)(cid:68)(cid:76) (cid:41)(cid:85)(cid:112)(cid:71)(cid:112)(cid:85)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:74)(cid:82)(cid:88)(cid:79)(cid:113)(cid:86)
School of Computing and Applied Mathematics and
Mathematical Sciences Systems Laboratory
University of Greenwich Ecole Centrale Paris
Editorial Advisory Board
(cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:36)(cid:76)(cid:81)(cid:86)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:87)(cid:75) (cid:51)(cid:72)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:45)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:70)(cid:78)
Mathematics Department School of Computing
Strathclyde University University of Leeds
(cid:55)(cid:82)(cid:71)(cid:71)(cid:3)(cid:36)(cid:85)(cid:69)(cid:82)(cid:74)(cid:68)(cid:86)(cid:87) (cid:55)(cid:68)(cid:78)(cid:68)(cid:86)(cid:75)(cid:76)(cid:3)(cid:46)(cid:68)(cid:78)(cid:82)
Institute for Computational Department of Computer Science
Engineering and Sciences The University of Electro-Communications
The University of Texas at Austin
(cid:51)(cid:72)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:48)(cid:82)(cid:81)(cid:78)
(cid:38)(cid:85)(cid:68)(cid:76)(cid:74)(cid:3)(cid:38)(cid:17)(cid:3)(cid:39)(cid:82)(cid:88)(cid:74)(cid:79)(cid:68)(cid:86) Department of Mathematical Sciences
Computer Science Department University of Delaware
University of Kentucky
(cid:41)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:82)(cid:76)(cid:86)(cid:16)(cid:59)(cid:68)(cid:89)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:53)(cid:82)(cid:88)(cid:91)
(cid:44)(cid:89)(cid:68)(cid:81)(cid:3)(cid:42)(cid:85)(cid:68)(cid:75)(cid:68)(cid:80) ONERA
Department of Mathematical Sciences
University of Bath (cid:36)(cid:85)(cid:87)(cid:75)(cid:88)(cid:85)(cid:3)(cid:40)(cid:17)(cid:51)(cid:17)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:79)(cid:71)(cid:80)(cid:68)(cid:81)
Institute of Mathematics and Computing Science
University of Groningen

(cid:51)(cid:85)(cid:82)(cid:83)(cid:82)(cid:86)(cid:68)(cid:79)(cid:86)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:75)(cid:82)(cid:88)(cid:79)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:80)(cid:76)(cid:87)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:69)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:76)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:29)
CRC Press, Taylor & Francis Group
(cid:23)(cid:87)(cid:75)(cid:15)(cid:3)(cid:41)(cid:79)(cid:82)(cid:82)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:43)(cid:82)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
(cid:20)(cid:16)(cid:23)(cid:3)(cid:54)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:87)
(cid:47)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:40)(cid:38)(cid:21)(cid:36)(cid:3)(cid:23)(cid:37)(cid:52)
(cid:56)(cid:46)
Published Titles
A Concise Introduction to Image Processing using C++
Meiqing Wang and Choi-Hong Lai
Decomposition Methods for Differential Equations:
Theory and Applications
Juergen Geiser
Grid Resource Management: Toward Virtual and Services Compliant
Grid Computing
Frédéric Magoulès, Thi-Mai-Huong Nguyen, and Lei Yu
Introduction to Grid Computing
Frédéric Magoulès, Jie Pan, Kiat-An Tan, and Abhinit Kumar
Mathematical Objects in C++: Computational Tools in a Unified
Object-Oriented Approach
Yair Shapira
Numerical Linear Approximation in C
Nabih N. Abdelmalek and William A. Malek
Numerical Techniques for Direct and Large-Eddy Simulations
Xi Jiang and Choi-Hong Lai
Parallel Algorithms
Henri Casanova, Arnaud Legrand, and Yves Robert
Parallel Iterative Algorithms: From Sequential to Grid Computing
Jacques M. Bahi, Sylvain Contassot-Vivier, and Raphael Couturier

C++
MATHEMATICAL
OBJECTS
in
Computational Tools in a Unified
Object-Oriented Approach
Yair Shapira
CRC Press
Taylor & Francis Group
6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300
Boca Raton, FL 33487-2742
© 2009 by Taylor and Francis Group, LLC
CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group, an Informa business
No claim to original U.S. Government works
Printed in the United States of America on acid-free paper
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
International Standard Book Number: 978-1-4398-1147-4 (Hardback)
This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reasonable efforts
have been made to publish reliable data and information, but the author and publisher cannot assume
responsibility for the validity of all materials or the consequences of their use. The authors and publishers
have attempted to trace the copyright holders of all material reproduced in this publication and apologize to
copyright holders if permission to publish in this form has not been obtained. If any copyright material has
not been acknowledged please write and let us know so we may rectify in any future reprint.
Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted, reproduced, transmit-
ted, or utilized in any form by any electronic, mechanical, or other means, now known or hereafter invented,
including photocopying, microfilming, and recording, or in any information storage or retrieval system,
without written permission from the publishers.
For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copyright.
com (http://www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222 Rosewood
Drive, Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that provides licenses and
registration for a variety of users. For organizations that have been granted a photocopy license by the CCC,
a separate system of payment has been arranged.
Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used
only for identification and explanation without intent to infringe.
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Shapira, Yair, 1960-
Mathematical objects in C++ : computational tools in a unified object-oriented
approach / Yair Shapira.
p. cm. -- (CHAPMAN & HALL/CRC numerical analysis and scientific computing)
Includes bibliographical references and index.
ISBN-13: 978-1-4398-1147-4 (alk. paper)
ISBN-10: 1-4398-1147-4 (alk. paper)
1. Numerical analysis--Data processing. 2. C++ (Computer program language) I. Title.
II. Series.
QA297.S464 2010
518.0285’5133--dc22 2009007343
Visit the Taylor & Francis Web site at
http://www.taylorandfrancis.com
and the CRC Press Web site at
http://www.crcpress.com
Contents
Part I Numbers∗ 1
1 Natural Numbers 5
1.1 The Need for Natural Numbers ........................... 5
1.2 Mathematical Induction ................................. 5
1.3 Unboundedness ......................................... 6
1.4 Infinity ................................................ 6
1.5 Adding Natural Numbers ................................ 7
1.6 Recursion .............................................. 8
1.7 The Addition Function .................................. 8
1.8 Stack of Calls .......................................... 9
1.9 Multiplying Natural Numbers ............................ 9
1.10 One and Zero .......................................... 11
1.11 Decimal Representation ................................. 12
1.12 Binary Representation ................................... 13
1.13 Prime Numbers ........................................ 14
1.14 Prime Factors .......................................... 14
1.15 Mathematical Induction in Proofs ......................... 15
1.16 The Greatest Common Divisor ........................... 16
1.17 Least Common Multiple ................................. 17
1.18 The Factorial Function .................................. 18
1.19 Exercises .............................................. 18
2 Integer Numbers 21
2.1 Negative Numbers ...................................... 21
2.2 The Prisoner Problem ................................... 22
2.3 The Integer Numbers ................................... 23
2.4 The Number Axis ...................................... 23
2.5 Angles of Numbers ...................................... 24
2.6 Exercises .............................................. 25
3 Rational Numbers 27
3.1 Rational Numbers ...................................... 27
3.2 The Unique Form ....................................... 28
3.3 Adding Rational Numbers ............................... 28
3.4 Multiplying Rational Numbers ........................... 28
3.5 Periodic Decimal Representation .......................... 29
3.6 Diverging Series ........................................ 31
3.7 The Harmonic Series .................................... 32
3.8 Converging Series ....................................... 32
3.9 Finite Power Series ..................................... 33
3.10 Infinite Power Series .................................... 34
3.11 Periodic Decimal Fractions ............................... 35
3.12 Exercises .............................................. 36
4 Real Numbers 37
4.1 The Square Root of 2 ................................... 37
4.2 The Least-Upper-Bound Axiom .......................... 39
4.3 The Real Numbers .......√............................... 40
4.4 Decimal Representation of 2 ............................ 41
4.5 Irrational Numbers ..................................... 42
4.6 Transcendental Numbers ................................ 43
4.7 The Natural Exponent .................................. 43
4.8 Exercises .............................................. 45
5 Complex Numbers 47
5.1 The Imaginary Number ................................. 48
5.2 The Number Plane ..................................... 50
5.3 Sine and Cosine ........................................ 51
5.4 Adding Complex Numbers ............................... 51
5.5 Multiplying Complex Numbers ........................... 52
5.6 The Sine and Cosine Theorems ........................... 53
5.7 Exercises .............................................. 54
Part II Geometrical Objects∗ 57
6 Euclidean Geometry 61
6.1 Points and Lines ........................................ 61
6.2 Rays and Intervals ...................................... 62
6.3 Comparing Intervals .................................... 62
6.4 Ratios between Intervals ................................. 63
6.5 Angles ................................................ 66
6.6 Comparing Angles ...................................... 66
6.7 Corresponding and Alternate Angles ...................... 69
6.8 The Reversed Corresponding-Angle Theorem ............... 70
6.9 Parallel Lines – The Uniqueness Theorem .................. 71
6.10 Triangles .............................................. 73
6.11 Similar and Identical Triangles ........................... 74
6.12 Isosceles Triangles ...................................... 76
6.13 Pythagoras’ Axiom ..................................... 79
6.14 Sum of Edges .......................................... 80
6.15 The Longer Edge ....................................... 81
6.16 Tales’ Theorem ......................................... 82
6.17 The Reversed Tales’ Theorem ............................ 84
6.18 Circles ................................................ 85
6.19 Tangents .............................................. 89
6.20 Properties of the Tangent ................................ 91
6.21 Exercises .............................................. 93
7 Analytic Geometry 95
7.1 God and the Origin ..................................... 95
7.2 Numbers and Points .................................... 96
7.3 Lines – Sets of Points ................................... 97
7.4 Hierarchy of Objects .................................... 98
7.5 Half-Planes ............................................ 98
7.6 Angles ................................................ 99
7.7 Triangles .............................................. 100
7.8 Circles ................................................ 101
7.9 Exercises .............................................. 101
Part III Composite Mathematical Objects 103
8 Sets 107
8.1 Alice in Wonderland .................................... 107
8.2 Sets and Containers ..................................... 107
8.3 Russell’s Paradox ....................................... 108
8.4 The Empty Set ......................................... 109
8.5 Sets and Natural Numbers ............................... 109
8.6 The Order of the Natural Numbers ....................... 109
8.7 Mappings and Cardinality ............................... 110
8.8 Ordered Sets and Sequences .............................. 111
8.9 Infinite Sets ............................................ 111
8.10 Enumerable Sets ........................................ 112
8.11 The Set of Integer Numbers .............................. 114
8.12 Product of Sets ......................................... 114
8.13 Equivalence of Sets ..................................... 115
8.14 The Set of Rational Numbers ............................ 117
8.15 Arbitrarily Long Finite Sequences ........................ 118
8.16 Function Sets .......................................... 119
8.17 Cardinality of Function Sets ............................. 119
8.18 Nonenumerable Sets .................................... 120
8.19 Cardinality of the Real Axis ............................. 121
8.20 Cardinality of the Plane ................................. 122
8.21 Cardinality of the Multidimensional Space ................. 123
8.22 Larger Cardinalities ..................................... 124
8.23 Sets of Zero Measure .................................... 125
8.24 Cantor’s Set ........................................... 127