Mathematical Morphology: From Theory to Applications

507 Pages·2010·14.956 MB·English

by  Laurent Najman, Hugues Talbot (eds.)

Mathematical Morphology
To our families who have put up with us
as we were writing this book, for nearly three years now.

Deepest love and thanks to Laurence, Annick
Zoé, Ilan, Sophie and Shaï.
Mathematical
Morphology

From Theory to Applications

Edited by
Laurent Najman
Hugues Talbot
First published 2010 in Great Britain and the United States by ISTE Ltd and John Wiley & Sons, Inc.
Adapted and updated from two volumes Morphologie mathématique 1 & 2 published 2008 and 2010 in
France by Hermes Science/Lavoisier © LAVOISIER 2008, 2010

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© ISTE Ltd 2010

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Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

Mathematical morphology / edited by Laurent Najman, Hugues Talbot.
p. cm.
“Adapted and updated from two volumes Morphologie mathématique 1, 2 published 2008 and 2010 in
France by Hermes Science/Lavoisier”
Includes bibliographical references and index.
ISBN 978-1-84821-215-2
1. Image analysis. 2. Image processing--Mathematics. I. Najman, Laurent. II. Talbot, Hugues.
TA1637.M35963 2010
621.36'70151--dc22
2010020106

British Library Cataloguing-in-Publication Data
A CIP record for this book is available from the British Library
ISBN 978-1-84821-215-2

Printed and bound in Great Britain by CPI Antony Rowe, Chippenham and Eastbourne.
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
PARTI. FOUNDATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chapter1.IntroductiontoMathematicalMorphology . . . . . . . . . . . . 3
LaurentNAJMAN,HuguesTALBOT
1.1.Firststepswithmathematicalmorphology:dilationsanderosions . . . 4
1.1.1.Thenotionofcompletelattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2.Examplesoflattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3.Elementaryoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4.Hit-or-misstransforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.Morphologicalfiltering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1.Openingsandclosingsusingstructuringelements . . . . . . . . . 12
1.2.2.Geodesyandreconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3.Connectedfilteringandlevelings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4.Areaopeningsandclosings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.5.Algebraicfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.6.Granulometricfamilies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.7.Alternatingsequentialfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1.Gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2.Top-hattransforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.Distancetransform,skeletonsandgranulometriccurves . . . . . . . . . 24
1.4.1.Maximalballsandskeletons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2.Granulometriccurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3.Mediansetandmorphologicalinterpolation. . . . . . . . . . . . . 28
1.5.Hierarchiesandthewatershedtransform. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.Someconcludingthoughts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
v
vi MathematicalMorphology
Chapter2.AlgebraicFoundationsofMorphology . . . . . . . . . . . . . . . 35
ChristianRONSE,JeanSERRA
2.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.Completelattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1.Partiallyorderedsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2.Completelatticesandisomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3.Remarkableelementsandfamilies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.4.Distributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.5.Booleanlattices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.Examplesoflattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1.Latticesofsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.2.Latticesofnumericalfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.3.Latticeofpartitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.4.Latticeofoperators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.5.Monotoneconvergenceandcontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.Closingsandopenings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.1.Moorefamiliesandclosings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2.Openings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.3.Generationofclosingsandopenings . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.Adjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.1.Adjunctions,dilationsanderosions . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.2.Set-theoreticalcase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.3.Caseofnumericalfunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.Connectionsandconnectivesegmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.1.Connections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.2.Connectivesegmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.3.Examplesofconnectivesegmentations . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6.4.Partialconnectionsandcompoundsegmentations . . . . . . . . . 72
2.7.Morphologicalfilteringandhierarchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.7.1.Thelatticeoffilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.7.2.Connectedfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7.3.HierarchiesandMatheronsemigroups . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Chapter3.WatershedsinDiscreteSpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
GillesBERTRAND,MichelCOUPRIE,JeanCOUSTY,LaurentNAJMAN
3.1.Watershedsontheverticesofagraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.1.Extensionsandwatersheds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.2.W-thinnings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.3.Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.4.Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.Watershedcuts:watershedontheedgesofagraph . . . . . . . . . . . . 90
3.2.1.Edge-weightedgraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Contents vii
3.2.2.Watershed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.3.Minimumspanningforestsandwatershedoptimality . . . . . . . 94
3.2.4.Optimalthinnings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.5.Watershedcutsandtopologicalwatersheds . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.6.Applicationexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.Watershedsincomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.1.Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.2.Collapse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.3.Cutsincomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3.4.Watershedsincomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
PARTII. EVALUATING AND DECIDING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Chapter4.AnIntroductiontoMeasurementTheoryforImageAnalysis . 111
HuguesTALBOT,JeanSERRA,LaurentNAJMAN
4.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.Generalrequirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.ConvexringandMinkowskifunctionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.1.TheEuler–Poincarécharacteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.2.Euler–Poincarécharacteristicsindiscretespace . . . . . . . . . . 116
4.4.StereologyandMinkowskifunctionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4.1.GenerationoftheMinkowskifunctionals . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5.Changeinscaleandstationarity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6.Individualobjectsandgranulometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6.1.Unbiasedcountingestimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6.2.Numberandmeasuregranulometries . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6.3.Lineargranulometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7.Gray-levelextension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.7.1.Areaandvolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.7.2.Gradientandperimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.7.3.NumericalEuler–Poincarécharacteristic . . . . . . . . . . . . . . 129
4.7.4.Acounter-example:thelengthofacurve . . . . . . . . . . . . . . 130
4.8.Asaconclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Chapter5.StochasticMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
ChristianLANTUÉJOUL
5.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.Randomtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.1.Estimatinganintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.2.Individualparticleanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3.Randomimage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.1.Statisticalcharacterization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.2.Integralrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
viii MathematicalMorphology
5.3.3.Specificparameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3.4.Synthesizingtextures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.5.Gaussianrandomfunction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.6.Booleanmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Chapter6.FuzzySetsandMathematicalMorphology . . . . . . . . . . . . 155
IsabelleBLOCH
6.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2.Backgroundtofuzzysets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.2.1.Fuzzysets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2.2.Settheoreticaloperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3.Fuzzydilationsanderosionsfromdualityprinciple . . . . . . . . . . . 160
6.3.1.Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3.2.Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3.3.Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.4.Fuzzydilationsanderosionsfromadjunctionprinciple . . . . . . . . . 165
6.4.1.Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.4.2.Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.5.Linksbetweenapproaches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.1.Dualandadjointoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.2.Equivalenceconditionbetweenthetwoapproaches . . . . . . . . 167
6.5.3.Illustrativeexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.5.4.Generalformoffuzzymorphologicaldilationsanderosions . . . 169
6.6.Applicationtothedefinitionofspatialrelations . . . . . . . . . . . . . . 170
6.6.1.Fuzzytopology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.6.2.Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.6.3.Directionalrelativepositionbetweentwoobjects. . . . . . . . . . 174
6.7.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
PARTIII. FILTERING AND CONNECTIVITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Chapter7.ConnectedOperatorsbasedonTreePruningStrategies . . . . 179
PhilippeSALEMBIER
7.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2.Connectedoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3.Treerepresentationandconnectedoperator . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.1.Max-tree,min-treeandinclusiontree . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.2.Binarypartitiontree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.4.Treepruning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.4.1.Pruningwithincreasingcriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.4.2.Non-increasingcriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.4.3.Pruningbyglobalconstrainedoptimization . . . . . . . . . . . . . 196
7.5.Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Contents ix
Chapter8.Levelings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
JeanSERRA,CorinneVACHIER,FernandMEYER
8.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.2.Set-theoreticalleveling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2.1.Set-theoreticallevelingbymarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2.2.Levelingassupremumofactivityandasastrongfilter . . . . . . . 201
8.2.3.Levelingasfunctionofthemarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.2.4.Multimarkerleveling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.3.Numericallevelings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.3.1.Geometricalinterpretationintermsofflatzones . . . . . . . . . . 211
8.3.2.Thetwoordersfornumericalactivity . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.4.Discretelevelings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.4.1.Localbehavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.4.2.Twolevelingalgorithmsusinggeodesiciterations . . . . . . . . . 217
8.4.3.Multimarkedlevelingsandscale-space . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.4.4.Chaininglevelingsandscale-spacerepresentationofimages . . . 222
8.5.Bibliographicalcomment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.5.1.Ongrainsreconstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.5.2.Onextinctionfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.5.3.Onconnectedoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.5.4.Onlevelings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Chapter9.Segmentation,MinimumSpanningTreeandHierarchies . . . 229
FernandMEYER,LaurentNAJMAN
9.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.2.Preamble:watersheds,floodingsandplateaus . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.2.1.Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.2.2.Thequestionofcontoursrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.2.3.Minimumspanningforestsandwatersheds . . . . . . . . . . . . . 232
9.2.4.Floodings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.2.5.Thequestionofplateaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.3.Hierarchiesofsegmentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.3.1.Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.3.2.Hierarchiesofwatershedsegmentations . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.3.3.Contoursaliencymaps,subdominantultrametricandfloodings. . 240
9.3.4.Somefamiliesoffloodings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.3.5.Otherhierarchicalschemes:theexampleofscale-sets . . . . . . . 251
9.4.Computingcontourssaliencymaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.4.1.Minimumspanningtree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.4.2.Hierarchyofmarkers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.4.3.Hierarchiesdrivenbyageometricalcriterion . . . . . . . . . . . . 253
9.4.4.Cataclysmichierarchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
x MathematicalMorphology
9.5.Usinghierarchiesforsegmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.5.1.Localresegmentationorsplit-and-merge . . . . . . . . . . . . . . 255
9.5.2.Magicwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.5.3.Lasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.5.4.Intelligentbrush . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.6.Latticeofhierarchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.6.1.Infimumoftwosegmentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.6.2.Infimumoftwohierarchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.6.3.Lexicographicalinfimumofhierarchies . . . . . . . . . . . . . . . 260
PARTIV. LINKS AND EXTENSIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Chapter10.Distance,GranulometryandSkeleton . . . . . . . . . . . . . . 265
MichelCOUPRIE,HuguesTALBOT
10.1.Skeletons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10.1.1.Maximalballs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.1.2.Firefronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.1.3.Propertiesoftheskeletoninthecontinuum . . . . . . . . . . . . 268
10.2.Skeletonsindiscretespaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.3.Granulometricfamiliesandskeletons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.3.1.Granulometricfamily. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.3.2.Applicationsofgranulometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.3.3.Ultimateerodedformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.3.4.Lantuéjoulformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.4.Discretedistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.5.Bisectorfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.6.Homotopictransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.6.1.Neighborhoodsandconnectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10.6.2.Connectivitynumbersandsimplepoints . . . . . . . . . . . . . . 284
10.6.3.Homotopicthinning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.6.4.Sequentialandparallelthinningalgorithms . . . . . . . . . . . . 286
10.6.5.SkeletonbasedontheEuclideandistance . . . . . . . . . . . . . 287
10.7.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Chapter11.ColorandMultivariateImages . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
JesusANGULO,JocelynCHANUSSOT
11.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.1.1.Needs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.1.2.Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
11.2.Basicnotionsandnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
11.2.1.Abriefreminderaboutcolorspaces . . . . . . . . . . . . . . . . 292
11.2.2.Othermultivariateimages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11.2.3.Colorandspectraldistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296