Mathematical basis for finance : Stochastic calculus for quantitative finance

201 Pages·2015·1.82 MB·English

by  Gushchin

Stochastic Calculus for Quantitative Finance
Optimization in Insurance and Finance Set
coordinated by
Nikolaos Limnios and Yuliya Mishura

Stochastic Calculus for
Quantitative Finance

Alexander A. Gushchin
First published 2015 in Great Britain and the United States by ISTE Press Ltd and Elsevier Ltd
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broaden our understanding, changes in research methods, professional practices, or medical treatment
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A catalog record for this book is available from the Library of Congress
ISBN 978-1-78548-034-8

Printed and bound in the UK and US
Basic Notation
Thesymbol(cid:2)indicatestheendoftheproof.
Thesymbol:=means“putbydefinition”.
R=(−∞,+∞)=thesetofrealnumbers,R+ =[0,+∞).
Rd =d-dimensionalEuclideanspace.
Q=thesetofrationalnumbers,Q+ =Q∩R+.
N={1,2,3,...}=thesetofnaturalnumbers.
a∨b=max{a,b},a∧b=min{a,b}fora,b∈R.
a+ =a∨0,a− =(−a)∨0fora∈R.
lim= lim .
s(cid:2)t s→t,s<t
=theindicatorfunctionofthesetB.
B
E=expectation.
E(·|G)=conditionalexpectationwithrespecttotheσ-algebrsG.
(cid:2) (cid:3) (cid:4) (cid:5)
F G = σ F G = the smallest σ-algebra containing the σ-algebras F
andG.
(cid:2) (cid:3)(cid:4) (cid:5)
F = σ F = the smallest σ-algebra containing the σ-algebras
α∈A α α∈A α
F ,α∈A.
α
Preface
Thearbitragetheoryforgeneralmodelsoffinancialmarketsincontinuoustimeis
based on the heavy use of the theory of martingales and stochastic integration (see
the monograph by Delbaen and Schchermayer [DEL06]). Our book gives an
expositionofthefoundationsofmoderntheoryofstochasticintegration(withrespect
to semimartingales. It follows traditions of the Strasbourg School of Stochastic
Processes. In particular, the exposition is inspired by the monograph by Dellacherie
[DEL72])inChapter1andbythecoursebyMeyer[MEY76]inChapters2and3.
In Chapter 1, the so-called general theory of stochastic processes is developed. The
second chapter is devoted to detailed study of local martingales and processes with
finite variation. The theory of stochastic integration with respect to semimartingales
is a subject of Chapter 3. We do not consider vector stochastic integrals, for which
we refer to Shiryaev and Cherny [SHI02]. The last section is devoted to
σ-martingales and the Ansel–Stricker theorem. Some results are given without
proofs.Theseincludethesectiontheorem,classicalDoob’stheoremsonmartingales,
theBurkholder–Davis–GundyinequalityandItô’sformula.
Ourmethodofpresentationmaybeconsideredasold-fashioned,comparedto,for
example, the monograph by Protter [PRO05], which begins with an introduction of
thenotionofasemimartingale;inourbook,semimartingalesappearonlyinthefinal
chapter.However,theauthor’sexperiencebasedonthegraduatecoursestaughtatthe
Department of Mechanics and Mathematics of Moscow State University, indicates
thatourapproachhassomeadvantages.
Thetextisintendedforareaderwithaknowledgeofmeasure-theoreticprobability
and discrete-time martingales. Some information on less standard topics (theorems
onmonotoneclasses,uniformintegrability,conditionalexpectationfornonintegrable
randomvariablesandfunctionsofboundedvariation)canbefoundintheAppendix.
The basic idea, which the author pursued when writing this book, was to provide
anaffordableanddetailedpresentationofthefoundationsofthetheoryofstochastic
viii StochasticCalculusforQuantitativeFinance
integration,whichthereaderneedstoknowbeforereadingmoreadvancedliterature
on the subject, such as Jacod [JAC79], Jacod and Shiryaev [JAC03], Liptser and
Shiryayev [LIP89], or a literature dealing with applications, such as Delbaen and
Schchermayer[DEL06].
Thetextisaccompaniedbymorethanahundredexercises.Almostallofthemare
simpleoraresuppliedwithhints.Manyexercisesextendthetextandareusedlater.
The work on this book was partially supported by the International Laboratory
of Quantitative Finance, National Research University Higher School of Economics
and Russian Federation Government (grant no. 14.A12.31.0007). I wish to express
my sincere thanks to Tatiana Belkina for a significant and invaluable assistance in
preparingthemanuscript.
AlexanderGUSHCHIN
Moscow,May2015
List of Statements
DEFINITIONS
Definition 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Definition 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Definition 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Definition 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Definition 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Definition 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Definition 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Definition 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Definition 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Definition 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Definition 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Definition 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Definition 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Definition 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Definition 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Definition 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Definition 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Definition 1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Definition 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Definition 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Definition 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Definition 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Definition 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Definition 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Definition 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Definition 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Definition 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
xii Stochastic Calculus for Quantitative Finance
Definition 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Definition 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Definition 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Definition 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Definition 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Definition 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Definition 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Definition 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Definition 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Definition 2.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Definition 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Definition 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Definition 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Definition 2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Definition 2.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Definition 2.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Definition 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Definition 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Definition 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Definition 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Definition 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Definition 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Definition 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Definition 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Definition 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Definition 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Definition A.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Definition A.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
EXAMPLES
Example 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Example 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Example 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Example 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Example 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Example 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Example 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Example 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Example 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Example 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Example 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Example 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
List of Statements xiii
Example 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
EXERCISES
Exercise 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Exercise 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Exercise 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Exercise 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Exercise 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Exercise 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Exercise 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercise 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercise 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercise 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exercise 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Exercise 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Exercise 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Exercise 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exercise 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Exercise 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Exercise 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Exercise 1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Exercise 1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercise 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercise 1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Exercise 1.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Exercise 1.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercise 1.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercise 1.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercise 1.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Exercise 1.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Exercise 1.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Exercise 1.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Exercise 1.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Exercise 1.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Exercise 1.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Exercise 1.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exercise 1.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exercise 1.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exercise 1.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Exercise 1.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Exercise 1.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Exercise 1.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
xiv Stochastic Calculus for Quantitative Finance
Exercise 1.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Exercise 1.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Exercise 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercise 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercise 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercise 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercise 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exercise 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exercise 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exercise 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exercise 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exercise 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Exercise 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Exercise 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Exercise 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Exercise 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Exercise 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercise 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercise 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercise 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercise 2.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercise 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Exercise 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Exercise 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Exercise 2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Exercise 2.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Exercise 2.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Exercise 2.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Exercise 2.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exercise 2.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exercise 2.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Exercise 2.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Exercise 2.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Exercise 2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Exercise 2.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 2.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 2.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 2.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercise 2.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Exercise 2.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Exercise 2.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Exercise 2.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Exercise 2.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99