Table Of ContentMathematica® und C in der modernen Theoretischen Physik
mit Schwerpunkt Quantenmechanik
Springer
Berlin
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Santa Clara
Singapur
Tokio
Jens-Peer Kuska
Mathematica® und C
in der modernen
Theoretischen Physik
mit Schwerpunkt Quantenmechanik
Mit 97 Abbildungen, 12 Tabellen, 38 Übungen und einer CD-ROM
mit vollständigen Quelltexten und kompilierten Programmen für
Windows, Linux und Solaris (meist als Mathlink-Version für
Mathematica und als Mathematica-unabhängige Version;
C-Programme entsprechend dem ANSI -Standard, getestet mit
Borland C 5.01 für Windows, Borland C 2.0 für OS/2, Watcom
C 10.6, GNU C für OS/2 und Linux wowie dem Sparcworks
C-Compiler von SUN)
i
Springer
Dr. Jens-Peer Kuska
Max-Planck-Institut für Aeronomie
Max-Planck-Straße 2
37189 Katlenburg-Lindau
e-mail: [email protected]
Umschlagbild: Drei Flächen konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte der n=3, 1=2, m=O
Eigenfunktion des Wasserstoff-Atoms in sphärischen Koordinaten. Die Flächen wurden
mit dem contour3-Programm auf der CD-ROM berechnet, innerhalb Mathematicas
gespeichert, in ein Skript für den Persistens ofVision Raytracer 3.0 konvertiert, der dann
das Umschlagbild berechnete.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Mathematica and C in der modernen theoretischen Physik: mit Schwerpunkt Quantenmechanik I
Jens-Peer Kuska. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hongkong; London; Mailand;
Paris; Santa Clara; Singapur; Tokio: Springer. ISBN·13:978-3-642-64429-0 Buch. 1997. CD-ROM. mit Pro
grammpaketen für Mathematica 3.0, C-Programmen für Windows 95 und OS/2 sowie C-Quelltexten
für Unix-Anwender. -1997
ISBN-13:978-3-642-64429-0 e-ISBN-13:978-3-642-60494-2
DOI: 10.1007/978-3-642-60494-2
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1997
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SPIN: 10476295 56/3144 -5 4 3 21 0 -Gedruckt auf säurefreiem Papier
Für Nicole
ihre Liebe, Geduld
und Inspiration
Vorwort
Die Bearbeitung einer physikalischen Problemstellung umfaßt stets die Mo
dellbildung, die mit Mitteln der analytischen Mathematik durchgeführte Vor
arbeit und die numerische Modellierung. Bei den analytischen Berechnungen
müssen Abschätzungen und Näherungen gefunden werden. Bei diesen Be
trachtungen kann ein Computer-Algebra-System wie Mathematica hilfreich
sein. Die numerische Lösung eines Problems kann nur auf der Grundlage einer
soliden Vorarbeit erfolgreich sein. Eine numerische Lösung wird im allgemei
nen in einer der höheren Programmiersprachen durchgeführt. Im Bereich der
Theoretischen Physik ist FORTRAN sehr verbreitet. Die Unzulänglichkeiten
dieser "Programmiersprache" kosteten und kosten Stunden, ja Tage bei der
Fehlersuche. Im Bereich der Industrie ist bereits jetzt C wesentlich häufiger
anzutreffen, daher fiel meine Wahl für die Implementation der numerischen
Teile des Buches auf C.
Mit Mathematica kann man zwar ebenfalls numerisch rechnen, aber für
ein konkretes Problem ist dies wohl nicht praktikabel. Der Interpreter von
Mathematica ist zu langsam, die Multipräzisionsarithmetik wird nur selten
benötigt und es erscheint übertrieben, ein Computer-Algebra-System für die
Lösung eines numerischen Problems zu nutzen.
Ein wichtiger Grund, sowohl Formelmanipulation mit M athematica als
auch Numerik mit C gemeinsam zu behandeln, war für mich die Tatsache, daß
die Programmierung von Ma thematica gänzlich andere Methoden verlangt
als es in einer klassischen Programmiersprache üblich ist. Eine numerische
Lösung innerhalb von Mathematica ist nur schwer in C oder gar FORTRAN zu
übertragen. Mathematica vereinigt in sich die Ideen fast aller Programmier
sprachen, seine Wurzeln sind aber im Bereich der klassischen Sprachen für
die Künstliche-Intelligenz-Programmierung (LISP, Prolog) zu suchen. Zwar
kann man auch in Mathematica prozedural programmieren, dies nimmt aber
den Programmen viel von ihrer Eleganz und Klarheit. Der Physikstudent
lernt wärend des Studiums FORTRAN, vielleicht auch C, aber die Ideen und
Programmiermethoden von LISP und Prolog sind ihm üblicherweise fremd.
In den Abschnitten zur Numerik werde ich nur die wesentlichen Algorith
men angeben und die Kommunikation zwischen Ma thematica und dem exter
nen Programm näher besprechen, die vollständigen Quelltexte sind auf der
CD-ROM enthalten. Von den meisten Programmen gibt es zwei Versionen:
"111 "or1Vort
eine MathLink-Version, die nur von Mathematica aus bedient 1Vird, und eine
von Mathematica unabhängige "ariante. Die Steuerung der Mathematica
unabhängingen Programme erfolgt über die Kommandozeile und ermöglicht
es auf einfache Weise, Shell-Scripte oder Batch-Dateien für Demonstrationen
in einem Seminar oder einer Vorlesung vorzubereiten.
Bei den C-Programmen steht die Numerik im Vordergrund, sie sind dem
ANSI-Standard entsprechend programmiert. Die Programme sollten mit je
dem ANSI-C-Compiler übersetzbar sein. Der Datenaustausch zwischen Ma
thematica und den C-Programmen erfolgt über MathLink. Alle C-Programme
sind mit Borland C 5.01 für Windows, Borland C 2.0 für OS/2, Watcom C
10.6, GNU C für OS/2 und Linux und dem Sparcworks C-Compiler von Sun
übersetzt worden und arbeiteten fehlerfrei. Der Quelltext der Programme ist
mit Cweb [28] von Donald E. Knuth und Silvio Levy geschrieben. Das literari
sche Programmieren hat sich dabei als ein unschätzbares Werkzeug erwiesen,
das ich in der täglichen Arbeit nicht missen möchte.
Dieses Buch kann die Lektüre der Handbücher nicht ersetzen. Für M a
thematica sollte mindestens das Buch von Stephen Wolfram [66, 67] gelesen
werden. Um die Mathematica-Programme zu verstehen und selbst in Mathe
matica zu programmieren, ist das Buch von Roman Mäder [33] zu empfehlen.
Zahllose Anregungen und elegante Umformungen danke ich den Büchern von
Roman Mäder [34, 35] und Tom Wickham-Jones [63].
Bei der Benutzung von Computer-Algebra-Systemen sollte der Leser stets
bedenken, daß Ma thematica nur ein Programm ist und wahrscheinlich nie
besser rechnen 1Vird als ein Mensch. Überlassen Sie Ma thematica nie eine
Aufgabe, die Sie nicht selbst lösen könnten. Mathematica nimmt das Aus
multiplizieren eines Polynoms oder das mehrfache Differenzieren ab - aber
ein Integral, welches nur durch mehrfache Transformationen zu lösen ist, wird
die Fähigkeiten von Mathematica überfordern. Auch wenn [1] und [19] nur
selten zitiert werden, so ist die Verwendung von Integraltabellen unersetz
lich beim Umgang mit Mathematica. Oft weisen die Tabellen den Weg, 1Vie
ein Ausdruck umgeformt werden muß, damit sich eine analytische Lösung
gewinnen läßt.
Bei den Ma thematica-Dialogen, die klassische Berechungen 1Vie den quan
tenmechanischen harmonischen Oszillator behandeln, sollte der Leser den
Gang der Rechung mit dem aus einem. Lehrbuch oder Vorlesungsskript ver
gleichen. Mathematica macht es hier möglich die Ideen und Lösungsansätze
klarer darzustellen.
Über dieses Buch
Die meisten vorgestellten Berechnungen sind mit Mathematica 2.2 durch
geführt worden. Während des ß-Tests von Mathematica 3.0 habe ich die Um
formungen aller Dialoge nochmals verifiziert und gegebenenfalls geändert. In
Vorwort IX
den Kommentaren zu den jeweiligen Rechenschritten wird auf die eventuel
len Unterschiede eingegangen. Auch ohne das Erscheinen von Mathematica
3.0 wäre die Form des Buches kaum anders ausgefallen. Das Umsetzen aller
Mathematica-Ausgaben in 1I\TEX erschien sinvoll, da die Physik im Vorder
grund der Betrachtungen stehen sollte. Die Teile des Buches, die Mathema
tica-Sitzungen wiedergeben, sind aus Mathematica 2.2 Notebooks entstan
den, die vermittels eines kleinen Programmes mnb21tx in 1I\TEX übersetzt
wurden. Das Übersetzungsprogramm für die Mathematica 2.2 Notebooks
ist unter http://www.wolfram.com/cgi -bin /MathSource /Enhancements
/Interfacing /TeX /Other /0208-303 zugänglich. Nach der Übertragung
in 1I\TEX sind nur noch Kommentare angefügt worden. Die Notebooks von
Mathematica 3.0 wurden in das alte Format konvertiert. Daher fehlen die mit
Mathematica 3.0 eingeführten Sonderzeichen.
Die meisten Bilder sind vermittels mnb21tx aus den Notebooks extrahiert.
Einige der so entstandenen PostScript-Bilder benötigten die Nachbearbeitung
mit dem Designer 6.0 von Micrografix.
Aufbau und Typographie
In der oberen Linie ist die Art des Quelltextes und der Dateiname aufgeführt.
Teile von Quelltexten beginnen und enden jeweils mit drei horizontalen Punk
ten, welche nicht zur Datei gehören. Wenn in einem Abschnitt ein Mathemati
ca-Bezeichner besprochen wird, so ist der Bezeichner mit Typewriter-Lettern
geschrieben. Bezeichner aus C-Quelltexten werden kursiv gedruckt. Wird eine
Mathematica-Sitzung wiedergegeben, so wird auf der rechten Seite jeweils der
Schritt erläutert, die Mathematica-Anweisungen erscheinen auf der linken.
Die Ausgabe von Mathematica erfolgt dann wieder in mathematischer Nota
tion und entspricht der TeXForm von Mathematica. Die Format-Anweisungen
für die Umsetzung der Mathematica-Bezeichner in 'lEX-Ausdrücke sind ge
nerell nicht angegeben. Die teilweise sehr umfänglichen Format-Anweisungen
würden nur .v om Gegenstand der Erläuterungen ablenken. Die Bezeichner in
der Eingabe und in der Ausgabe können sich geringfügig unterscheiden. Aus
dem eingegebenen fO wird dann z. B. 10. Die griechischen Buchstaben wer
den zwar als phi eingegeben, ihre Ausgabe erfolgt aber als <p. Beginnt der
Mathematica-Bezeichner mit einem Großbuchstaben wie Gamma, dann ist die
r.
Ausgabe des Symbols ein Großbuchstabe Üblicherweise verwende ich die
'lEX-Namen der griechischen Buchstaben ohne den Backslash als Mathema
tica-Bezeichner. Für die speziellen Funktionen der Mathematischen Physik
verwende ich die Bezeichnungen aus dem Abramowitz/Stegun [1]. Aus dem
Mathematica-Bezeichner BesselJ [n,x] wird dann z. B. Jn(x). Die Formatie
rung der Mathematica-Ausgabe in den Dialogen habe ich, wenn nötig, über
mehrere Zeilen umgebrochen, aber sonst nicht modifiziert. Eine neue Mathe
matica-Sitzung beginnt stets mit In[1J. Namen von Dateien, Paketen und
Programmen sind in einer serifenlosen Schrift gedruckt. Die auf Windows-,
X Vorwort
MS-DOS- und OS/2-Systemen übliche Erweiterung .exe für ausführbare Pro
gramme wird stets weggelassen.
Die Datei init.m
Vor dem Beginn einer jeden Mathematica-Sitzung wird diese Datei geladen.
Die für das Buch verwendete init.m-Datei endet mit:
__________ Mathematica: init.m __________
AppendTo[$Path,IN/mathandc/mackage"]j
SetOptions[Plot,Frame->True]
SetOptions [ListPlot ,Frame->True]
SetOptions[ParametricPlot,Frame->True]
Als erstes wird das Verzeichnis, in dem die Quelltexte des Buches stehen,
an den Suchpfad von Mathematica angehängt. Dann wird für alle zweidimen
sionalen Grafiken ein Rahmen vereinbart.
Danksagung
Großen Dank schulde ich meiner Frau, die meine stundenlangen Computer
Sitzungen über die Jahre toleriert, das Manuskript gegengelesen und eine
wunderbare Geduld bewiesen hat, wenn ich mich bei der Fehlersuche nicht
von Monitor und Tastatur trennen konnte.
Meinen Lehrern Günter Freudenberg und Heinz Düsterhöft ist es zu dan
ken, daß ich gelernt habe, Physik zu lehren und zu vermitteln. Reiner Wedell
hat mir, lange bevor ich mit einem Computer-Algebra-System Kontakt hatte,
beigebracht, analytisch zu rechnen.
Jamie Peterson von Wolfram Research danke ich für die Teilnahme am
ß-Test von Mathematica 3.0 und John Fultz für den neuen Mathematica 2.2
Kernel für OS/2 und die vielen E-mails zum Finden des Fehlers.
Dr. Hans Jürgen Kölsch vom Springer-Verlag danke ich für das Vertrauen
in das Projekt und die vielfältige Unterstützung. Für die Hinweise zum Lay
out danke ich Jacqueline Lenz. Jörg Rörich danke ich für das Gegenlesen des
Manuskripts und seine Hinweise.
Katlenburg-Lindau
Jens-Peer Kuska
Juni 1997
Inhaltsverzeichnis
1. Klassische Mechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Lagrange-Gleichungen 2. Art. . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . 1
1.2 Hamilton-Gleichungen.................................. 16
Übungen .............................................. 25
1.3 Numerische Lösung von Anfangswertproblemen ............ 25
1.3.1 Diskretisierung................................... 26
Übungen .............................................. 33
1.3.2 Stabilität........................................ 34
Übung ................................................ 36
1.3.3 Schrittweitensteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
Übung ................................................ 38
1.3.4 Numerische Verfahren zur Lösung
der Bewegungsgleichung Hamiltonscher Systeme. . . . .. 38
Übungen .............................................. 60
1.3.5 Poincare-Schnitte................................. 60
2. Beispiele mechanischer Systeme ........................ " 71
2.1 Parametrisch erregtes Pendel. . .. . . . . .. . . .. .. .. . . .. .. . . ... 71
Übungen .............................................. 82
2.2 Schwingende Atwood Maschine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
2.2.1 Die gewöhnliche Atwood Maschine. . . . . . . . . . . . . . . . .. 88
2.2.2 Der integrable Fall für JL = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90
2.2.3 Numerische Lösung der Bewegungsgleichungen ....... 105
2.3 Zyklische Toda-Kette ................................... 114
2.3.1 Verbindung zum Henon-Heiles System ............ " 120
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121
2.4 Henon-Heiles-System .................................... 122
2.4.1 Das Potential des Henon-Heiles Systems ............. 123
2.4.2 Die Bewegungsgleichungen ....................... " 126
2.4.3 Numerische Lösung der Bewegungsgleichungen ....... 127
2.4.4 Poincare-Schnitte des Henon-Heiles-Systems ......... 135
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143
3. Elektrostatik ............................................. 145
3.1 Äquipotentialflächen in drei Dimensionen .................. 145
3.2 Feldlinien .............................................. 166
