Table Of Content

Я.К. Шмидский АЦАЛЕКМЛСА Москва • Санкт-Петербург • Киев 2004 ББК 32.973.26-018.2.75 UI73Z УДК 681.3.07 Компьютерное издательство “Диалектика!’ Зав. редакцией Л.В. Слепцов По общим вопросам обращайтесь в издательство “Диалектика” по адресу: [email protected], http://www.dialektika.com Шмидский, Я. К. Ш37 Mathematica 5. Самоучитель.: - М.: Издательский дом “Вильямс”, 2004. - 592 с.: ил. ISBN 5-8459-0678-4 (рус.) Эта книга — самоучитель и практическое руководство по новейшей версии пакета компьютерной алгебры Mathematica 5. В ней доступно и подробно рассмотрены примеры решения всех типовых задач основных разделов элементарной и высшей математики — арифметики, алгебры, геометрии, математического анализа и теории дифференциальных уравнений. Подробно рассмотрено построение графиков функций в декартовой и поляр ной системах координат. Для функций двух переменных описано построение поверхно стей, контурных графиков, линий уровня и графиков плотности. Даны примеры решения типовых задач математического анализа — нахождение пределов, производных и инте гралов. Обсуждаются также мультимедийные средства системы Mathematica — обработка звука и изображений, в частности мультипликация. В заключительной главе обсуждает ся новый вид науки — наука о сложном — и поведение клеточных автоматов. Предвари тельное знакомство читателя с компьютерной алгеброй не предполагается. ББК 32.973.26-018.2.75 Вес названия программных продуктов являются зарегистрированными торговыми марками соот ветствующих фирм. Никакая часть настоящего издания пи в каких целях нс может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то пи было средствами, будь то электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на это пет письменного разрешения издательст ва “Диалектика” Copyright © 2004 by Dialcktika Computer Publishing. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. ISBN 5-8459-0678-4 (pyc.) © Компьютерное изд-во “Диалектика”, 2004 Оглавление Благодарности 12 Введение 14 Глава 1. Исторический обзор и первое знакомство 20 Глава 2. Первое знакомство — калькулятор 34 Глава 3. Числа, их представление и операции над ними 57 Глава 4. Арифметика: разложение целых чисел на простые множители 114 Глава 5. Арифметика: простые числа 136 Глава 6. Арифметика: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 167 Глава 7. Модулярная арифметика: деление с остатком, вычеты, сравнения и китайскаят еорема об остатках 186 Глава 8. Числовые функции 215 Глава 9. Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук 241 Глава 10. Алгебра и анализ 333 Глава 11. За гранью простого 369 Приложение А. Ответы и решения задач 388 Приложение Б. Таблицы 410 Предметный указатель 572 Содержание Благодарности Введение Комментарий к рисункам на обложке книги Глава 1. Исторический обзор и первое знакомство Что такое компьютерная алгебра История компьютерных вычислений и возникновение компьютерной алгебры Отличия систем компьютерной алгебры от традиционных систем программирования Как начать Mathematica — лучшая современная интегрированная система компьютерной алгебры Что такое система Mathematica Концепция системы Mathematica Применение системы Mathematica Кто использует систему Mathematica Развитие системы Mathematica Расширение системы Mathematica Описание некоторых стандартных пакетов Mathematica Новое в версии Mathematica 5 Резюме Задачи Глава 2. Первое знакомство — калькулятор Знакомство с системой Mathematica Арифметические действия над числами Функции Блокнот и меню Алгебраические преобразования Построение графиков Построение графиков функций одной переменной Построение графиков функций двух переменных Анализ Дифференцирование Интегрирование Суммы Разложение в ряд Тейлора Вычисление пределов Списки и линейная алгебра Списки Векторы Матрицы Уравнения Экстремумы функций Линейное программирование Резюме Задачи Глава 3. Числа, их представление и операции над ними 57 Что такое число 57 Представление вещественных чисел систематическими дробями: функция N. Разрядность и точность вещественных чисел: функции Precision и Accuracy 59 Разрядность и точность при выполнении операций над числами 61 Отбрасывание малых вещественных чисел: функция Chop 62 Целая и дробная части вещественного числа 63 Целая часть вещественного числа: функции Floor и IntegerPart 63 Дробная часть вещественного числа: функция Fractional Part 64 Приближение вещественных чисел рациональными: функция Rationalize 79 Позиционные системы счисления 80 Преобразование в десятичную систему счисления 80 Преобразование из десятичной системы счисления в недесятичную 80 Число как последовательность (список) цифр 81 Экспоненциальное представление чисел: функция MantissaExponent 92 Модуль (абсолютная величина) числа: функция Abs 93 Знак числа: функция Sign 93 Числитель и знаменатель числа: функции Numerator и Denominator 93 Цепные дроби 94 Представление числа непрерывной дробью: функция ContinuedFraction 94 Преобразование непрерывной дроби в число: функция FrorhContinuedFraction 111 Комплексные числа 112 Мнимая единица 112 Вещественная часть комплексного числа: функция Re 112 Мнимая часть комплексного числа: функция Im 112 Аргумент комплексного числа: функция Arg ИЗ Сопряженное комплексное число: функция Conjugate 113 Резюме ИЗ Задачи ИЗ Глава 4. Арифметика: разложение целых чисел на простые множители 114 Факторизация целых чисел с помощью функции Factorlnteger 114 Факторизация чисел Мерсенна 114 Факторизация чисел вида 2"+1 119 Факторизация чисел вида 2п—1 119 Факторизация чисел, десятичная запись которых состоит из п единиц 120 Факторизация чисел вида 10"+1 120 Факторизация чисел Фибоначчи 121 Факторизация дробей 121 Факторизация гауссовых чисел 125 Факторизация очень больших чисел 126 Факторизация факториалов 127 Функция FactorlntegerECM: попытка факторизации больших чисел Мерсенна 129 Резюме 135 Задачи 135 Содержание 7 Глава 5. Арифметика: простые числа 136 Тест на простоту 136 Функция PrimeQ 137 Множество простых чисел Primes и предикат х е Primes 140 Доказательство (или опровержение) простоты заданного числа 140 Функции PreviousPrime и NextPrime и случайные простые числа 141 Наибольшее простое число, меньшее п, — PreviousPrime[n] 141 Наименьшее простое число, большее л, — NextPrimefn] 142 Случайное простое число в заданном интервале — Random[Prime, {n, т}] 142 Пифагоровы треугольники, у которых длины двух сторон выражаются простыми числами 143 Таблицы простых чисел 144 Функция Prime[n] — л-е простое число 144 Поиск отрезков натурального ряда, состоящих только из составных чисел 145 Близнецы 156 Простые числа, близкие к числам определенного вида 157 Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) 159 Количество простых чисел на открытом слева отрезке (д, Ь) 165 Резюме 165 Задачи 166 Глава 6. Арифметика: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 167 Наибольший общий делитель 167 Наибольший общий делитель — функция GCD 167 Линейное представление наибольшего общего делителя — функция ExtendedGCD 172 Наименьшее общее кратное — функция LCM 183 Резюме 185 Задачи 185 Глава 7. Модулярная арифметика: деление с остатком, вычеты, сравнения и китайская теорема об остатках 186 Деление с остатком 187 Частное при делении с остатком — функция Quotient 187 Остаток от деления — функция Mod 188 Возведение в степень в модулярной арифметике — функция PowerMod 191 Китайская теорема об остатках — функция Chinese Remainder 193 Корни в системе остаточных классов 194 Квадратный корень по модулю — функции SqrtMod и SqrtModList 194 Первообразные корни по модулю п 196 Критерии простоты чисел специального вида 198 Простые числа Мерсенна, тест Люка-Лемера 198 Простые числа вида к • 2" +1 201 Резюме 213 Задачи 214 8 Содержание Глава 8. Числовые функции 215 Функция Эйлера — EulerPhi 215 Функция Кармайкла Х(т) — CarmichaelLambda 221 Функция Мебиуса р(/я) — MoebiusMu 222 Функции, связанные с делителями, — Divisors и DivisorSigma 223 Число делителей т(п) 223 Сумма делителей с(п) 231 Резюме 240 Задачи 240 Глава 9. Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук 241 Введение, или основные графические примитивы 242 Графические примитивы и их отображение на экране 243 Графические директивы 246 Аналитическая геометрия на плоскости, или 20-графика 250 Графические примитивы 250 Вычерчивание графиков 260 Несколько графиков на одном чертеже — функция GraphicsArray 305 Аналитическая геометрия в пространстве, или ЗО-графика 310 Графические примитивы и опции трехмерной графики 310 Вычерчивание графиков 319 Другие миры — другие измерения 328 Четвертое измерение — время. Движущиеся картинки — кино 328 Еще одно измерение — звук 330 Резюме 331 Задачи 331 Глава 10. Алгебра и анализ 333 Алгебра 333 Замена выражений в формулах 333 Многочлены 339 Поле рациональных дробей 342 Линейная алгебра 344 Анализ 345 Пределы 345 Дифференцирование 346 Ряды 346 Исследование функций и построение графиков 348 Интегрирование 351 Векторный анализ 353 Дифференциальные уравнения 358 Поля направлений для дифференциальных уравнений и изоклины 358 Нахождение решений дифференциальных уравнений 360 Системы дифференциальных уравнений 364 Резюме 367 Задачи 368 Содержание 9 Глава 11. За гранью простого 369 Новый вид науки 369 Теория универсальности, или насколько сложным может быть поведение простой динамической системы 370 Клеточные автоматы 380 Ресурсы по системе Mathematica 383 Резюме 387 Задачи 387 Приложение А. Ответы и решения задач 388 Глава 1 “Исторический обзор и первое знакомство” 388 Глава 2 “Первое знакомство — калькулятор” 390 Глава 3 “Числа, их представление и операции над ними” 392 Глава 4 “Арифметика: разложение целых чисел на простые множители” 393 Глава 5 “Арифметика: простые числа” 393 Глава 6 “Арифметика: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное” 397 Глава 7 “Модулярная арифметика: деление с остатком, вычеты, сравнения и китайская теорема об остатках” 397 Глава 8 “Числовые функции” 398 Глава 9 “Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук” 399 Глава 10 “Алгебра и анализ” 406 Глава 11 “За гранью простого” 409 Приложение Б. Таблицы 410 Предметный указатель 572 10 Содержание Посвящение Светлой памяти моего отца Шмидского Константина Яковлевича посвящается Благодарности Когда эта книга выйдет, мне будет 52 года. Я принимал участие в самых разных проектах — начиная от весьма “технических” (вроде создания компиляторов, опера ционных систем и систем автоматизации технологических процессов), предназначен ных для того, чтобы исключить участие в том или ином технологическом процессе, до вполне “гуманитарных”, в которых разнообразные “железки” играли лишь вспомога тельную роль. (К категории таких “гуманитарных” проектов я отношу и написание книг вроде этой.) Но чтобы создавать программы, которые облегчают людям жизнь, мне пришлось стать математиком, разобраться в компьютерах и научиться писать программы. И для этого мне понадобились книги, компьютеры и программы, напи санные другими людьми. Поэтому я хочу выразить огромную признательность авторам всех книг, по которым я учился математике, программированию и другим наукам, — без этих книг я не мог бы разобраться в математике, компьютерах и программирова нии. Но, к сожалению, едва ли это осуществимо. Если бы я рискнул перечислить всех, получился бы довольно длинный перечень авторов книг по математике и ком пьютерам, издававшихся в издательствах — советских, зарубежных и постсоветских. Наверное, еще длиннее выглядел бы список разработчиков компьютеров и про грамм, которые мне помогали реализовывать самые разнообразные проекты — как “технические”, так и “гуманитарные” Но даже изучить все эти книги, разобраться в компьютерах и создать несколько интерпретаторов, компиляторов и операцион ных систем — еще совсем не значит уметь донести свои знания студентам и читате лям. Овладеть всеми необходимыми знаниями и навыками мне помогали многие лю ди. Всем им моя глубокая благодарность. Я помню всех, но перечислить могу лишь немногих. Выражаю свою сердечную благодарность: Виктору Николаевичу Штонде — за неоценимую поддержку и постоянную помощь при написании данной книги. Часто именно он находил нужную информацию, на правлял процесс написания книги и был первым ее внимательным читателем и кри тиком. Без его помощи данная книга не была бы написана. Сергею Николаевичу Тригубу — за то, что научил меня тонкостям технологии редак тирования книг, за советы, постоянную помощь, поддержку и программы, которые ему пришлось написать для меня, а также за бесконечное терпение, когда у меня что- то не получалось и ему приходилось объяснять все снова и снова. Если бы не его по мощь, эта книга никогда бы не была написана. Вадиму Владимировичу Александрову — за неоценимую помощь и поддержку в на писании и редактировании книг. Часто именно он находил решения проблем еше до их возникновения. Если бы не его помощь, эта книга никогда бы не была написана. Владимиру Яковлевичу Грицкову — за плодотворные обсуждения концепций аппа ратно-программной реализации языков высокого уровня (в большинстве своем это были входные языки систем компьютерной алгебры) и операционных систем для процессоров, на которых реализовывались концепции параллельного программирова ния и системы компьютерной алгебры. В совместной работе по реализации таких проектов он постоянно оказывал неоценимую помощь и поддержку, а также учил ме ня работать за пультами машин второго и третьего поколений и хладнокровно, без паники, разбираться в бесконечных дампах, выдаваемых в ночные смены этими монстрами, и находить ошибки аппаратуры. К счастью, благодаря выработанным