Теория вероятностей в системе Mathematica

134 Pages·2022·0.896 MB·Russian

by  Кристалинский В. Р.

В. Р. КРИСТАЛИНСКИЙ
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В СИСТЕМЕ
MATHEMATICA
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
САНКТПЕТЕРБУРГ•МОСКВА•КРАСНОДАР
2022
ББК 22.171я73
К82
Кристалинский В. Р.
К82 Теория вероятностей в системе Mathematica:
Учебное пособие.— СПб.: Издательство «Лань»,
2022.— 136c. — (Учебники для вузов. Специальная
литература).
ISBN9785811428885
В пособии излагаются основы теории вероятностей и
математической статистики. Рассмотрено большое количество
задач и примеров. Изложение ведется с использованием системы
Wolfram Mathematica. Все примеры сопровождаются описанием
решения с использованием данной системы.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по
направлениям подготовки: «Прикладная математика и
информатика», «Строительство» и других математических,
технических и экономических направлений подготовки и
специальностей, а также исследователей, использующих в своей
работе методы теории вероятностей и математической
статистики.
ББК 22.171я73
Рецензенты:
С. П. КУРИЛИН — доктор технических наук,
профессор кафедры электромеханических систем филиала
Научного исследовательского университета«МЭИ» в г. Смоленске;
О. В. ТИХОНОВА — доктор технических наук,
профессор кафедры радиосистем передачи информации
Московского технологического университета.
Обложка © Издательство «Лань», 2022
Е. А. ВЛАСОВА © В. Р. Кристалинский, 2022
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2022
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. Множества и действия над ними
Понятие множества является фундаментальным неопределяе-
мым понятием. Интуитивно под множеством понимают совокупность
определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как
единое целое.
Можно говорить о множестве стульев в комнате, студентов в
группе, состояний системы, множестве людей, живущих в г. Смолен-
ске, и т. п. Отдельные объекты, из которых состоит множество, назы-
вают элементами этого множества. Так, число 3 — элемент множества
натуральных чисел, а — элемент множества букв русского алфавита.
Общим обозначением для множества служит пара фигурных ско-
бок { }, внутри которых перечисляются элементы множества. Для обо-
значения конкретных множеств используются различные прописные
буквы латинского алфавита A, X, S ... . или прописные буквы с индекса-
ми A1,A2.... Для обозначения элементов множества используют раз-
личные буквы a, s, x, ... или строчные буквы с индексами a,a ,....
1 2
Для указания того, что некоторый элемент a является элементом
множества S, используется символ ∈ принадлежности множеству. За-
пись a∈S означает, что элемент a принадлежит множеству S, запись
x∉S означает, что элемент x не принадлежит множеству S.
Два множества называются равными, если они состоят из одних
и тех же элементов, т. е. представляют собой одно и то же множество.
Множества X и Y не равны, если во множестве X есть элементы, не
принадлежащие Y, или во множестве Y есть элементы, не принадле-
жащие X.
Из определения множества следует, что в нем не должно быть
неразличимых элементов.
Пусть, например, в системе Mathematica задан массив
X1 = {3,4,4,6,6,7,9}
Множество элементов этого массива может быть найдено сле-
дующим образом:
X = Union[X,X]
Пустым называется множество, не содержащее ни одного эле-
мента. Например, пустым является множество жителей Земли, рост
3
которых больше трех метров. Пустое множество в системе Mathe-
matica обозначается следующим образом: {}.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 1.1.1. Рассматривается множество всех натуральных чи-
сел из промежутка [1,1000]. Найти число элементов этого массива,
представимых в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Решение. Задаем исходный числовой массив.
X=Table[i,{i,1,1000}];
Строим массив Y из элементов массива X, представимых в виде
суммы квадратов элементов этого массива.
Y = {};
Do[If[X[[i]]^2+X[[j]]^2<=1000,
Y = Append[Y, X[[i]]^2+X[[j]]^2]],{i,1,1000},{j,1,1000}];
Находим число различных элементов массива Y.
Y = Union[Y,Y];
n = Length[Y]
309.
Задача 1.1.2. Найти буквы русского алфавита, которые встреча-
ются в отрывке «Я помню чудное мгновенье, передо мной явилась
ты, как мимолетное виденье, как гений чистой красоты». Установить,
какие буквы встречаются чаще всего, а какие реже всего.
Решение. Записываем в массив A все буквы рассматриваемого
отрывка.
A={я,п,о,м,н,ю,ч,у,д,н,о,е,м,г,н,о,в,е,н,ь,е,п,е,р,е,д,о,м,н,о,й,я,в,и,л,а,с,ь,т,
ы,к,а,к,м,и,м,о,л,ё,г,н,о,е,в,и,д,е,н,ь,е,к,а,к,г,е,н,и,й,ч,и,с,т,о,й,к,р,а,с,о,т,ы}
Устанавливаем, какие из букв русского алфавита входят в рас-
сматриваемый отрывок.
B = Union[A,A]
{а,в,г,д,е,и,й,к,л,м,н,о,п,р,с,т,у,ч,ы,ь,ю,я,ё}
Находим, сколько раз каждая из этих букв входит в рассматри-
ваемый отрывок.
n = Length[B]; m = Length[A];
R = Table[0,{r,1,n}];
Do[s = 0;Do[If[B[[r]]==A[[i]],s=s+1],{i,1,m}];R[[r]]=s,{r,1,n}]
R
{4,3,2,3,9,5,3,5,2,5,8,9,2,2,3,4,1,2,2,4,1,2,1}
4
Находим буквы, которые чаще всего встречаются в отрывке и
реже всего.
Position[R,9]
{{5},{12}}
R [[5]]
е
R[[12]]
О
Position[R,1]
{{17},{21},{23}}
B[[17]]
у
B[[21]]
ю
B[[23]]
ё
Операции над множествами позволяют строить новые множест-
ва из уже существующих множеств.
Пересечением множеств A и B называется множество, со-
стоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадле-
жат и А, и B. Пересечение множеств A и B обозначается A∩B.
Задача 1.1.3. Найти множество простых чисел, принадлежащих
промежутку [1,1000], представимых в виде суммы квадратов двух на-
туральных чисел.
Решение. Находим все простые числа, принадлежащие рассмат-
риваемому промежутку.
A = {};
Do[If[PrimeQ[n]==True,A = Append[A,n]],{n,1,1000}]
Находим числа, представимые в виде суммы квадратов двух на-
туральных чисел, принадлежащие рассматриваемому промежутку.
B = {};
Do[If[m^2+n^2≤1000,B=Append[B,m^2+n^2]],{m,1,1000},{n,1,1000}]
Находим пересечение полученных множеств.
A∩B
5
{2,5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,149,157,173,18
1,193,197,229,233,241,257,269,277,281,293,313,317,337,349,353,373,38
9,397,401,409,421,433,449,457,461,509,521,541,557,569,577,593,601,61
3,617,641,653,661,673,677,701,709,733,757,761,769,773,797,809,821,82
9,853,857,877,881,929,937,941,953,977,997}
Пересечение двух множеств можно найти также при помощи
следующей команды.
Intersection[A,B]
Аналогичным образом определяется пересечение трех и боль-
шего числа множеств.
Объединением множеств A и B называется множество, состоя-
щее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из
множеств A или B. Объединение множеств обозначается AUB.
Задача 1.1.4. Найти все натуральные числа из промежутка
[1,1000], каждое из которых делится или на 56 или на 248.
Находим все натуральные числа из рассматриваемого проме-
жутка, которые делятся на 56.
A={};
Do[If[Mod[n,56]≤0,A=Append[A,n]],{n,1,1000}]
Находим все натуральные числа из рассматриваемого проме-
жутка, которые делятся на 224.
B = {};
Do[If[Mod[n,224]≤0,B=Append[B,n]],{n,1,1000}]
Находим объединение полученных множеств.
AUB.
{56,112,168,224,280,336,392,448,504,560,616,672,728,784,840,896,952}
Объединение двух множеств может быть найдено также при по-
мощи следующей команды.
Union[A,B]
Объединением нескольких множеств называется такое множест-
во, каждый элемент которого принадлежит по крайней мере одному
из рассматриваемых множеств.
Разностью множеств А и B называется множество всех тех и
только тех элементов множества A, которые не содержатся во
множестве B.
6
Разность множеств A и B находится при помощи следующей ко-
манды
Complement[A,B]
Задача 1.1.5. Пусть A — множество натуральных чисел из про-
межутка [1,1000], B — множество целых неотрицательных чисел из
промежутка [0,100], представимых в виде суммы четырех квадратов
чисел из этого промежутка. Найти разность множеств A и B.
A=Table[n,{n,1,1000];
B={};
Do[If[m^2+n^2+r^2+s^2≤100,
B=Append[B, m^2+n^2+r^2+s^2]],{n,0,100},{m,0,100},{r,0,100},{s,0,100}]
Complement[A,B]
{}
Из полученного результата следует, что любое натуральное чис-
ло из промежутка [0,1000] представимо в виде суммы квадратов чи-
сел из промежутка [0,100].
1.2. Вероятность события
Одним из наиболее важных понятий в теории вероятностей яв-
ляется понятие эксперимента. Эксперимент состоит в том, что про-
изводится испытание при выполнении некоторого комплекса усло-
вий, которые либо создаются искусственно, либо осуществляются не-
зависимо от воли экспериментатора.
Результаты эксперимента можно характеризовать качественно и
количественно.
Качественная характеристика эксперимента состоит в регистра-
ции какого-нибудь факта, т. е. в определении того, обладают ли ре-
зультаты опыта каким-либо свойством или нет. Любой такой факт на-
зывается событием. При этом говорят, что «событие появилось (про-
изошло)» или «событие не появилось (не произошло)» в результате
эксперимента.
События обозначаются прописными буквами латинского алфа-
вита A, B, C и т. д.
Естественно сравнивать события по тому, как часто появляется
каждое из них при повторении данного эксперимента. Если в результате
эксперимента одно событие появляется чаще, чем другое, то говорят,
что первое вероятнее второго. Ясно, что для сравнения событий необхо-
димо предположить, что данный опыт можно производить сколько
угодно раз.
7
Частотой события называется отношение числа его появлений
к числу всех произведенных экспериментов.
Таким образом, если при n экспериментах событие A появилось
m
m раз, то его частота в данной серии экспериментов равна .
n
Закономерности случайных явлений могут проявляться только
при многократном наблюдении. Изучению поддаются только такие
случайные явления, которые можно, по крайней мере, принципиально
наблюдать практически неограниченное число раз. Такие случайные
явления называются массовыми.
Замечательный экспериментальный факт — основная закономер-
ность, наблюдаемая в массовых случайных явлениях, — устойчивость
частот событий при большом числе экспериментов. Если при малом
числе экспериментов частота события принимает совершенно случайно
совершенно различные значения, то при неограниченном увеличении
числа экспериментов она проявляет тенденцию стабилизироваться око-
ло некоторого характерного для данного события значения.
Задача 1.2.1. Рассматривается отрезок [0,1] и принадлежащий
ему отрезок [α,β]=[0,5;0,75]. Рассматриваемый эксперимент состоит
в том, что в системе Mathematica выполняется команда Random[]. Ин-
тересующее нас событие — результат выполнения команды попадает
на отрезок [α, β]. Эксперимент проводится 1000, 10 000, 100 000,
1 000 000, 10 000 000 раз. Требуется определить соответствующие час-
тоты рассматриваемого события.
n = 1000; m = 0;α= 0.5; β= 0.75;
Do[a = Random[];m = m+Boole[a≥αΛa≤β],{i,1,n}]
p1 = N[m/n]
0.236
n = 10000; m = 0;α= 0.5; β= 0.75;
Do[a = Random[];m=m+Boole[a≥αΛa≤β],{i,1,n}]
p2 = N[m/n]
0.2516
n = 100000; m = 0; α= 0.5; β= 0.75;
Do[a = Random[];m = m + Boole[a≥αΛa≤β],{i,1,n}]
p3 = N[m/n]
0.24958
n = 1000000; m = 0; α= 0.5; β= 0.75;
Do[a = Random[]; m = m + Boole[a≥αΛa≤β],{i,1,n}]
p4 = N[m/n]
0.249802
n = 10000000; m = 0; α= 0.5; β= 0.75;
8
Do[a = Random[]; m = m + Boole[a≥αΛa≤β],{i,1,n}]
p5 = N[m/n]
0.249962
Мы видим, что по мере увеличения числа опытов частота как бы
стремится перестать быть случайной и стабилизироваться около не-
которого значения.
Устойчивость частот событий дает основание считать, что с ка-
ждым событием связано некоторое число — вероятность этого собы-
тия, около которого стремится стабилизироваться его частота. Так, в
нашем примере частота стремится стабилизироваться около длины
[ ]
отрезка α,β — числа 0,25. Следовательно, вероятность того, что ре-
[ ]
зультат нашего эксперимента попадет на отрезок α,β , равна 0,25.
Вероятность события в данном эксперименте — его объективная
характеристика. Она не зависит от того, собираемся мы производить
эксперимент или нет.
Задача 1.2.2. Рассматривается отрезок [0; 0,5]. Проводится экс-
перимент: Вычисляется значение функции Random[]. Найти частоты
события: значение функции Random, если рассматриваемый экспери-
мент проводится 1000, 10 000, 1 000 000, 1 000 000, 10 000 000 раз.
m = 0;
n = 1000; Do[m = m + Boole[Random[]-0.5≤0],{i,1,n}]
N[m/n]
0.511
m = 0; n =10000;
Do[m = m+Boole[Random[]-0.5≤0],{i,1,n}]
N[m/n]
0.5048
m = 0; n = 100000;
Do[m = m+Boole[Random[]-1/2≤0],{i,1,n}]
N[m/n]
0.50011
m =0; n = 1000000;
Do[m = m+Boole[Random[]-0.5≤0],{i,1,n}]
N[m/n]
0.499149
m = 0;n = 10000000;
Do[m = m+Boole[Random[]-0.5≤0],{i,1,n}]
N[m/n]
0.500004
9
Очевидно, что вероятность рассматриваемого события — значе-
ние функции Random[] принадлежит рассматриваемому отрезку, рав-
на 0,5.
Рассмотрим теперь следующую задачу.
Задача 1.2.3. Отрезок [0, 1] разбивается на 15 одинаковых от-
резков. Наудачу выбирается из них 3 отрезка. Вычисляется значение
функции Random[]. Найти вероятность того, что это значение будет
принадлежать одному из выбранных отрезков.
Наудачу три отрезка из пятнадцати выбираем при помощи
функции RandomInteger [{}]. RandomInteger [{1, s}] дает случайное
целое неотрицательное число из промежутка [1, s]. Такое число непо-
средственно может быть получено следующим образом: на одинако-
вых листках бумаги записываются число от 1 до 15, листки тщатель-
но перемешиваются и достается один из них.
S = Table[RandomInteger[{1,15}],{i,1,3}]
{14,12,9}
Делим отрезок [0, 1] на пятнадцать одинаковых отрезков. Эти
отрезки могут быть заданы следующим образом:
8 9 11 12 13 14
≤x< ; ≤x< ; ≤x< .
15 15 15 15 15 15
Интересующее нас событие — значение функции Random[]
принадлежит одному из указанных отрезков.
Предположим, что рассматриваемую функцию мы вычисляем
1000 раз. Находим частоту интересующего нас события.
m = 0; n = 1000;
Do[a = Random[];m = m + Boole[8/15≤a<9/15] +
Boole[11/15≤a<12/15]+Boole[13/15≤a<14/15],{i,1,n}]
N[m/n]
0.205
Предположим, что рассматриваемую функцию мы вычисляем
10 000 раз. Находим частоту интересующего нас события.
m = 0;n = 10000;
Do[a = Random[];m=m + Boole[8/15≤a<9/15] + Boole[11/15≤a<12/15] +
Boole[13/15≤a<14/15],{i,1,n}]
N[m/n]
0.204
Предположим, что рассматриваемую функцию мы вычисляем
100 000 раз. Находим частоту интересующего нас события.
10