Применение системы MathCAD при решение задач прикладной механики. Ч. 2. Теоретическая механика. Динамика точки: учебное пособие (290,00 руб.)

337 Pages·4.178 MB·Russian

by  Жилкин Виталий Афанасьевич

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Челябинский государственный агроинженерный университет

В .А. Ж ил кин

П Р И М Е Н Е Н И Е С И С ТЕ М Ы M AT H C AD
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

Часть 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ДИНАМИКА ТОЧКИ

Челябинск 2002
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Департамент кадровой политики и образования
Челябинский государственный агроинженерный университет

В.А. Жилкин
ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ MATHCAD
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ
МЕХАНИКИ

Часть 2. Теоретическая механика
Ди н ами к а точ к и

Издание второе, исправленное

Рекомендовано УМО вузов Российской Федерации
по автотракторному и дорожному образованию
в качестве учебного пособия для студентов специальности
«Сельскохозяйственные машины и оборудование»

Челябинск
2001
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 531.32: 631.3

Жилкин В.А. Применение системы MathCAD при решении за-
дач прикладной механики. Часть 2. Теоретическая механика. Дина-
мика точки: Учебное пособие. Челябинский государственный агро-
инженерный университет. – Челябинск, 2001.- 200 с.

В учебном пособии излагаются основные положения раздела
«Динамика точки» курса теоретической механики, предусмотренные
учебным планом специальности 171000 «Сельскохозяйственные
машины и оборудование». При решении задач, там где это целесо-
образно, используется программный продукт MathCAD 2000. Боль-
шинство задач взято из сборника И.В. Мещерского.
Учебное пособие предназначено для студентов первого курса
специальности 171000 «Сельскохозяйственные машины и оборудо-
вание», изучающих курс «Теоретическая механика» и является про-
должением уже изданных пособий:
1) Жилкин В.А. Применение системы MathCAD при решении задач при-
кладной механики. Часть 1. MathCAD. Челябинск, 2000. – 71 с.;
2) Жилкин В.А. Применение системы MathCAD при решении задач при-
кладной механики. Часть 2. Теоретическая механика. Статика. Челя-
бинск, 2000. – 100 с.;
3) Жилкин В.А. Применение системы MathCAD при решении задач при-
кладной механики. Часть 2. Теоретическая механика. Кинематика. Челя-
бинск, 2001. – 208 с.

Рецензенты

Сапожников С.Б. – докт. техн. наук, проф. (ЮРГУ)
Рахимов Р.С. – докт. техн. наук, проф. (ЧГАУ)

ISBN 5-88156-213-5

 Челябинский государственный агроинженерный университет,
2001.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ

Динамикой называется раздел механики, в котором изучает-
ся движение материальных тел в зависимости от действую-
щих на них сил.

1.1. Предмет и задачи динамики

Механика изучает движение не реальных материальных тел со
всеми их многообразными свойствами, а идеа-
лизированных объектов, отражающих только
некоторые из этих свойств. Полученные для
этих объектов законы будут верными для ре-
ального мира лишь в той мере, в какой в пре-
делах решаемой задачи условия реального ми-
ра достаточно хорошо описываются соответст-
вующей идеализированной моделью.
Основной идеализированный объект,
движение которого изучает классическая ме-
ханика, - материальная точка.

Материальная точка - материальный объект, различием в ско-
ростях и ускорениях точек которого в любой момент времени
можно пренебречь.

Твердое тело - множество материальных точек, расстояния
между которыми во все время движения не меняются.

Таким образом, твердым телом мы называем и множество, со-
стоящее из восьми материальных точек, расположенных в вершинах
единичного куба (рис.1.1).
При всем разнообразии динамических задач выделяют две их ка-
тегории:
Первая задача: задан закон движения тела, требуется найти си-
лы, под действием которых это движение происходит.
Вторая задача: заданы силы, действующие на тело, требуется
найти закон движения тела.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В в е д е н и е в д и н а м и к у

1.2. Основные законы механики

В основании динамики лежат законы И. Ньютона (рис.1.2), сфор-
мулированные им в виде аксиом в 1687 г. в книге "Математические на-
чала натуральной философии".

НЬЮТОН Исаак

(4.1.1643 – 31.3.1727)
1.
Английский физик и
математик, создавший теоре-
тические основы механики и

астрономии, открывший закон

всемирного тяготения, разра-

ботавший (наряду с Г. Лейб-
ницем) дифференциальное и
интегральное исчисления,

изобретатель зеркального те-

лескопа и автор важнейших

экспериментальных работ по
оптике.

Рис.1.2

1.2.1. Закон инерции

В качестве первого закона Ньютон взял принцип инерции, сфор-
мулированный Галилеем (рис.1.3) в 1638 году:

Изолированная материальная точка сохраняет состояние по-
коя или равномерного прямолинейного движения до тех
пор, пока действие других тел не изменит это состояние.

Под изолированной материальной точкой понимают точку, не
взаимодействующую с другими телами, или точку, на которую дейст-
вует система сил с главным вектором, равным нулю.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О с н о в н ы е з а к о н ы д и н а м и к и

2.
ГАЛИЛЕЙ Галилео

3. (15.2 1564 – 8.1 1642)

4. Итальянский физик, ме-
ханик и астроном, один из осно-
вателей естествознания, поэт,
5.
филолог, критик.
Галилей установил суще-
6.
ственные принципы, легшие в
основу дальнейшего развития
7. механики:
• относительности;
8. • инерции;
• независимости действия
9. сил.
Он ввел понятия:
• скорости в данной точке;
10.
• ускорения;
• сложения движений.
11.
Они составили фундамент
для построения динамики, соз-
12.
данной в XVII веке Декартом,
Гюйгенсом и Ньютоном.
Рис.1.3

Ньютон предполагал, что существует абсолютная неподвижная
система координат, не связанная с материальными телами. Именно для
такой системы отсчета он и считал справедливым принцип инерции.
Системы отсчета, в которых справедлив принцип инерции,
называются инерциальными системами отсчета. Любая другая сис-
тема отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно
инерциальной системы отсчета, также является инерциальной, ибо ус-
корения точки в обеих системах отсчета одинаковы. Все инерциальные
системы по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу.
Данное утверждение составляет содержание принципа относительности
Галилея.
В системах отсчета, движущихся непоступательно или неравно-
мерно относительно инерциальной системы, принцип инерции не имеет
места; такие системы называются неинерциальными.

7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В в е д е н и е в д и н а м и к у

1.2.2. Основной закон динамики (закон пропорциональности
силы и ускорения)

Ускорение материальной точки пропорционально приложен-
ной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление:
r r
ma = F , (1.1)
r
r
где a - вектор ускорения точки; F - вектор силы; m - масса материаль-
ной точки.
В международной системе единиц (СИ) единицей массы служит
килограмм (кг); единицей ускорения - м/с2; единицей силы - ньютон
(Н).
С одной стороны, масса тела определяется как мера его инертно-
сти (инертная масса). Инертность - это свойство тела, выражающее
степень его неподатливости к изменению его скорости. У различных
тел это свойство проявляется в разной степени. Тела с большей массой
являются более инертными. С другой стороны, термин "масса" упот-
ребляется в смысле способности тела создавать поле тяготения и испы-
тывать действия силы в этом поле (тяготеющая, или весомая масса).
Инертность и способность создавать поле тяготения представляют
различные проявления свойств материи, однако оба свойства всегда
существуют совместно, а их числовые характеристики пропорциональ-
ны друг другу. Поэтому при надлежащем выборе единиц меру того и
другого свойства можно выражать одним и тем же числом.
В классической механике масса движущегося тела принимается
равной массе покоящегося тела, т.е. рассматривается как постоянная ве-
личина, являющаяся мерой инертности тела и его гравитационных
свойств:
F G
m = = ,
a g
где G- сила тяжести; g - ускорение свободного падения.
Все силы, с которыми имеет дело механика, обычно подразделя-
ются на силы, возникающие при непосредственном контакте тел (силы
давления, трения), и силы, возникающие через посредство создаваемых
взаимодействующими телами полей (силы гравитационные, электромаг-
нитные).
Сила - результат сложных физических процессов, обуславливаю-
щих взаимодействие материальных объектов. Механика не изучает фи-
зическую природу этих взаимодействий. Поэтому силы как функции
времени, положений и скоростей материальных точек или тел в каж-
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О с н о в н ы е з а к о н ы д и н а м и к и

дой конкретной механической задаче считаются известными - их опре-
деляют в иных дисциплинах.
В тех случаях, когда физическая природа взаимодействия не изу-
чена, сила как функция координат и скоростей точек может быть опре-
делена при обобщении результатов экспериментальных наблюдений.
Однако основная задача механики как науки начинается только после
того, как такая предварительная и, вообще говоря, выходящая за преде-
лы механики работа проделана и сила задана как функция времени, ко-
ординат точек системы и их скоростей.

1.2.3. Закон равенства действия и противодействия

Всякому действию соответствует равное и противоположно
направленное противодействие.

Другими словами, тела взаимодействуют с силами, равными по
величине и направленными по одной прямой в разные стороны.
Если на материальную точку В массой m действует тело А и
r
точка получает ускорение a, то сила действия тела А на точку опреде-
r
r
ляется из основного закона механики: F = ma. Тогда в соответствии
с третьим законом Ньютона сила действия точки В на тело А опреде-
r r
r
лится равенством Ф = −F = −ma (рис.1.4). На рис.1.4,б тела условно
раздвинуты, чтобы показать
силы контактного взаимодей-
ствия.
r
Силу Ф, приложенную
к телу, сообщающему ускоре-
ние, называют силой инерции
материальной точки. Это
реальная сила, представляющая собой противодействие материальной
точки изменению ее скорости, приложена к телу, сообщающему этой
точке ускорение.

1.2.4. Закон независимости действия сил

Пусть на материальную точку действует система сил
r r r
{F ,F ,...,F }, каждая из которых сообщает точке соответствующее
1 2 nr r r
ускорение {a ,a ,...,a }. Ускорение материальной точки определяется
1 2 n
по формуле
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В в е д е н и е в д и н а м и к у

r r r r
a = a + a + ...+ a . (1.2)
1 2 n

Согласно основному закону механики (1.1)

r r r
r r r
F = ma , F = ma , K, F = ma . (1.3)
1 1 2 2 n n

Умножим соотношение (1.2) на массу m точки и, учитывая зави-
симости (1.3), получим
r r r r r
r
n
ma = F + F +K+ F = ∑F = F . (1.4)
1 2 n i
i
Таким образом, движение материальной точки под действием сис-
r r r
темы сходящихся сил {F ,F ,K,F } будет таким же, как и при дейст-
1 2 n r
вии одной силы, равной их равнодействующей F .

Несколько действующих на материальную точку сил сообща-
ют точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила,
равная главному вектору сил.

1.3. Силы

Изучая разнообразные движения, но относя их всегда к «непод-
вижной» системе координат, мы у всех движений обнаруживаем одну
общую черту: всякое ускорение тела всегда вызывается
действием на данное тело каких-либо других тел. Если тело А
сообщает ускорение телу В, то и тело В в свою очередь сообщает
ускорение телу А, и эти ускорения направлены в противоположные сто-
роны. Следовательно, действия тел, в результате которых возникают
ускорения, всегда представляют собой взаимодействия.
Эти взаимодействия тел, в результате которых взаимодействую-
щие тела могут сообщать друг другу ускорения, называют силами, т.е.

сила - это мера механического взаимодействия между тела-
ми, в результате которого тела приобретают ускорения или
деформируются.

В «неподвижной» системе координат все силы, с которыми нам
придется встречаться, представляют собой только действие одних тел на
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О с н о в н ы е з а к о н ы д и н а м и к и

другие. Поэтому всегда можно указать тело, на которое действует сила,
и тело, со стороны которого действует сила.
В реальном мире мы встречаемся с проявлением лишь четырех ти-
пов сил: гравитационных, электромагнитных, ядерных сил и слабых вза-
имодействий.
Ядерные силы самые мощные в природе. Если интенсивность
ядерных сил принять за единицу, то интенсивность электромагнитных
сил составит 10−2, слабых взаимодействий 10−16, гравитационных
10−40. Область действия ядерных сил очень ограничена. Они сказыва-
ются заметным образом только внутри атомных ядер, т.е. на расстоянии
порядка 10−12 см. Уже на расстояниях между частицами 10−11см (в ты-
сячу раз меньших размера атома 10−8 см) они не проявляются совсем.
Слабые взаимодействия проявляются на еще меньших расстоя-
ниях. Они вызывают превращение элементарных частиц друг в друга.
Лишь гравитационные и электромагнитные взаимодействия мож-
но рассматривать как силы в смысле механики Ньютона.

1.3.1. Гравитационные силы

Гравитационные силы действуют между всеми телами. Но это
взаимодействие существенно лишь тогда, когда хотя бы одно из взаимо-
действующих тел также велико, как Земля. Иначе эти силы столь малы,
что ими можно пренебречь. Закон всемирного тяготения, открытый
И.Ньютоном в 1667 году, имеет вид

M M
F =γγγγ 1 2 , (1.5)
R2

где M (i = 1,2) - массы тел; R - расстояние между телами (центрами
i
масс тел); γγγγ- гравитационная постоянная, которая может быть найдена
только экспериментальным путем.
r
Для определения γγγγ надо измерить модуль силы тяготения F ,
действующей на тело массой M со стороны тела массой M при из-
1 2
вестном расстоянии между телами.
Впервые гравитационная постоянная была измерена английским
физиком Г. Кавендишем в 1798 г. с помощью прибора, называемого
крутильными весами (рис.1.5). Для нас этот прибор интересен тем, что
при его расчете Кавендиш использовал основные зависимости курса
11