Math 844 Notes Elliptic Curves, Arithmetic Geometry, and Modular Forms

133 Pages·2015·0.9 MB·English

Math 844 Notes
Elliptic Curves, Arithmetic Geometry, and Modular
Forms
Lectures by Nigel Boston
Notes by Daniel Hast
Fall 2013
2
Contents
I Quadrics, cubics, and elliptic curves 9
I.1 2013-09-04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.1.2 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.1.3 Some examples by Elkies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.1.4 Moral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.1.5 Order of specific topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.2 2013-09-06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.2.1 Projective space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.2.2 Nonsingular/smooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.2.3 Applications of elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.2.4 Favorite curves over Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.2.5 Diophantus’ method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.2.6 Example from Emissary, MSRI newsletter . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.2.7 Diophantus’ method in greater generality . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.3 2013-09-09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.3.1 The tangent-chord method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.3.2 Rational points on our favorite curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.3.3 The group structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.3.4 Complex curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.3.5 Genus trichotomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.3.6 Next time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.4 2013-09-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.4.1 Hasse Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.4.2 Elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.4.3 Branch cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.4.4 Standard forms of elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.5 2013-09-13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I.5.1 Converting to Weierstrass form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I.5.2 A classical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.6 2013-09-16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.6.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.6.2 Hessian and flex points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.6.3 Example from last time, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3
4 CONTENTS
I.6.4 Congruent integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I.6.5 Elliptic curves over C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II Elliptic Curves over the Complex Numbers 31
II.1 2013-09-18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.1.1 Lattices and elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.1.2 Embedding elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.2 2013-09-20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.2.1 The Weierstrass ℘-function, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.2.2 Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
II.2.3 Missing facts about our map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II.3 2013-09-23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II.3.1 Embedding elliptic curves, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II.3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II.3.3 The j-invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.3.4 Aside: Uniformization of Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.3.5 Some modular function theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.4 2013-09-25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.4.1 Elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.4.2 Aside: Big picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II.4.3 The addition law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II.5 2013-09-27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.5.1 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.5.2 Addition law, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.5.3 Explicit group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.5.4 Division points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II.6 2013-09-30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.6.1 Torsion points, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.6.2 Galois representations associated to elliptic curves . . . . . . . . . . . 47
II.6.3 Modular forms and modular curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II.7 2013-10-02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
II.7.1 Modular forms, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
II.7.2 Example: G (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
k
II.7.3 The discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II.7.4 The j-invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
II.8 2013-10-04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
II.8.1 Fundamental domains in the upper half plane . . . . . . . . . . . . . 52
II.8.2 Homothety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
II.8.3 The modular curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IIIElliptic Curves over Finite Fields 55
III.1 2013-10-04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III.1.1 Example over some finite fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III.1.2 Magma code for size of elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III.2 2013-10-07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
CONTENTS 5
III.2.1 Counting points on elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III.2.2 Hasse’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III.2.3 Weil conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
III.2.4 Another example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III.2.5 Complex version of Hasse’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III.3 2013-10-09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III.3.1 Complex Hasse’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III.3.2 Preparatory material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
III.3.3 Proof of complex Hasse’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III.3.4 Proof of lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III.4 2013-10-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
III.4.1 Isogenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
III.4.2 Rosati involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III.4.3 Hasse’s theorem via involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.4.4 Dual isogenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III.5 2013-10-14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III.5.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III.5.2 Classification of rings with Rosati involution . . . . . . . . . . . . . . 65
III.5.3 Dual isogeny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III.6 2013-10-16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III.6.1 Function fields of projective curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III.6.2 Examples of maps of curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
III.6.3 Additivity of isogenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
III.7 2013-10-18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III.7.1 Results still not proved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III.7.2 Additivity of isogenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
III.7.3 Degree and kernel of isogenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.7.4 Rosati involution of isogenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
III.8 2013-10-21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.8.1 Historical note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.8.2 IOUs from previous classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.8.3 The invariant differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.8.4 Inseparability in characteristic p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
III.8.5 Injectivity of Z (cid:44)→ End(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
III.8.6 Isomorphism with the Picard group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.9 2013-10-23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.9.1 Isomorphism with the Picard group, continued . . . . . . . . . . . . . 77
III.9.2 Last couple facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
III.9.3 Proof of the Riemann hypothesis for elliptic curves over finite fields . 78
III.9.4 Torsion points and separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
III.102013-10-25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III.10.1Supersingular curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III.10.2Examples of supersingular curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 CONTENTS
IVL-functions of Elliptic Curves over Q 83
IV.1 2013-10-28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
IV.1.1 Curves without CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
IV.1.2 Frequency of certain types of elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . 84
IV.1.3 Reduction of curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
IV.1.4 L-functions of elliptic curves over Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
IV.1.5 Examples of L-series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
IV.2 2013-10-30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
IV.2.1 L-series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
IV.2.2 The Taniyama–Shimura conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
IV.2.3 Weak Birch–Swinnerton-Dyer conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . 87
IV.2.4 Minimal Weierstrass models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
IV.2.5 Convergence of L(E,s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
IV.2.6 Birch–Swinnerton-Dyer conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
IV.3 2013-11-01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
IV.3.1 Convergence of L-series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
IV.3.2 Birch–Swinnerton-Dyer conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
IV.3.3 The conductor and semistability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
IV.3.4 The functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
IV.4 2013-11-04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IV.4.1 Modular functions of weight k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IV.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IV.4.3 A curve with CM by Z[i] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
V The Mordell–Weil Theorem 95
V.1 2013-11-06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
V.1.1 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
V.1.2 The Mordell–Weil theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
V.1.3 Height functions on elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
V.2 2013-11-08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
V.2.1 Height function on E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
V.2.2 Proof of Lemma V.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
V.3 2013-11-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
V.3.1 Heights, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
V.3.2 A theorem of Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
V.3.3 Behavior of heights under doubling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
V.3.4 The parallelogram law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
V.3.5 The height function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
V.4 2013-11-13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
V.4.1 Height function, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
V.4.2 Remarks on torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
V.4.3 Finiteness of 2-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
V.5 2013-11-15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
V.5.1 Finiteness of 2-torsion, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
V.5.2 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
CONTENTS 7
V.5.3 Proof of claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
V.6 2013-11-18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
V.6.1 Finiteness of 2-torsion, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
V.6.2 Proof of claim (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
V.6.3 Proof of claim (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
V.7 2013-11-20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
V.7.1 Proof of claim (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
V.7.2 Finiteness of 2-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
V.7.3 Mordell’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
V.7.4 Descent by 2-isogeny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
VIComputing Rank and Torsion 115
VI.1 2013-11-22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
VI.1.1 Homogeneous spaces example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
VI.1.2 Tate–Shafarevich group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
VI.1.3 Systematic computation of α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
E
VI.2 2013-11-25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
VI.2.1 Rank and torsion, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
VI.2.2 Complete 2-descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
VI.3 2013-11-27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
VI.3.1 2-descent, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
VI.3.2 Computation of E(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
VI.3.3 Rank and congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
VI.4 2013-12-02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
VI.4.1 Rank and congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
VI.4.2 Root numbers and congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
VI.4.3 Remarks on 3-descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
VI.5 2013-12-04 [missing] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
VI.6 2013-12-06 [missing] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
VI.7 2013-12-09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
VI.7.1 Integer points on a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
VI.7.2 Torsion over Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
VI.8 2013-12-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
VI.8.1 Integer points on a curve, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
VI.8.2 Rank of the curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
VI.9 2013-12-13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
VI.9.1 Rank of the curve, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
VI.9.2 The curve from homework 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8 CONTENTS
Chapter I
Quadrics, cubics, and elliptic curves
I.1 2013-09-04
I.1.1 Preliminaries
Course information:
• Course website: http://www.math.wisc.edu/~boston/844bis.html
• Office hours:
– W 1:30–3, 3619 Engineering Hall
– Th 9:30–11, 303 Van Vleck
• The grade is based on 10 homeworks.
Textbooks:
• Rob Rhoades’ notes (questionable — contains numerous errors)
• Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves I, II
• Silverman–Tate, Rational Points on Elliptic Curves
• Knapp (modular curves)
• Koblitz (special family of elliptic curves)
.
.
• .
• All derive from Tate, Inv. Math 23 (1974) and Cassels, J. London Math Soc. (1966).
9
10 CHAPTER I. QUADRICS, CUBICS, AND ELLIPTIC CURVES
I.1.2 Overview
A few examples:
Example I.1.1. Consider the 3-4-5 triangle, which has area 6. We call an integer n congruent
if it is the area of a right triangle with rational sides.
Which integers are congruent?
• 5 is congruent.
• 1 is not congruent (Fermat: x4 −y4 = u2).
It turns out that
Proposition I.1.2. An integer n is congruent ⇐⇒ the only rational solutions of y2 = x3−n2x
are
(0,0),(n,0),(−n,0).
This is an elliptic curve: we have turned a question about a diophantine equation into a
question about points on an elliptic curve.
Remark I.1.3. We will often work with a homogeneous version:
y2z = x3 −n2xz2.
The points are in projective space P2, i.e., equivalence classes (x : y : z), where (x,y,z) (cid:54)=
(0,0,0) and
(x,y,z) ∼ (λx,λy,λz)
for all λ (cid:54)= 0.
Definition I.1.4. Let K be a field. An elliptic curve over K is a nonsingular cubic curve
with coefficients in K which has a point.
Remark I.1.5. By “nonsingular”, we mean nonsingular (smooth) over any extension field.
Example I.1.6. The curve
3x3 +4y3 +5z3 = 0
has no solutions over Q, so it is not an elliptic curve over Q.
Example I.1.7. The curves y2 = x3 and y2 = x3 −x2 are singular cubics, and therefore are
not elliptic curves.
Remark I.1.8 (Standard form). The standard form for elliptic curves in charK (cid:54)= 2 is
y2 = f(x),
where f ∈ K[x] is a cubic with distinct roots in K.