Math 302 Lecture Notes

624 Pages·2016·16.186 MB·English

by  Kenneth Kuttler

Math 302 Lecture Notes
Kenneth Kuttler
September 30, 2016
2
Contents
I Introduction 11
II Vectors, Vector Products, Lines 15
1 Vectors And Points In Rn 17
1.1 Rn Ordered n− tuples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Vectors And Algebra In Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Geometric Meaning Of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Geometric Meaning Of Vector Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Distance Between Points In Rn Length Of A Vector . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Geometric Meaning Of Scalar Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Unit Vectors (Direction Vectors) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Parametric Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9 Vectors And Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.10 The Special Unit Vectors i,j,k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Vector Products 37
2.1 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Definition In terms Of Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 The Geometric Meaning Of The Dot Product, The Included Angle . . 38
2.1.3 The Cauchy Schwarz Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.4 The Triangle Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.5 Direction Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.6 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.7 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.1 Cross Product, Geometric Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 The Coordinate Description Of The Cross Product . . . . . . . . . . . 49
2.2.3 A Physical Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.4 The Box Product, Triple Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.5 A Proof Of The Distributive Law For The Cross Product∗ . . . . . . . 53
2.2.6 Torque, Moment Of A Force∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.7 Angular Velocity∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.8 Center Of Mass∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Further Explanations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.1 The Distributive Law For The Cross Product∗ . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.2 Vector Identities And Notation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3
4 CONTENTS
III Planes And Systems Of Equations 69
3 Planes 71
3.1 Finding Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.1 The Cartesian Equation Of A Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.2 The Plane Which Contains Three Points. . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.3 The Cartesian Equation For Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.4 Parametric Equation For A Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.5 Triple Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.6 The Angle Between Two Planes∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.7 Intercepts Of A Plane∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.8 Distance Between A Point And A Plane Or A Point And A Line∗ . . 78
4 Systems Of Linear Equations 81
4.1 Systems Of Equations, Geometric Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Systems Of Equations, Algebraic Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.1 Elementary Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 Gauss Elimination, Row Echelon Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Matrices 99
5.1 Matrix Operations And Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.1 Addition And Scalar Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . 99
5.1.2 Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.3 The ijth Entry Of A Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.4 Graphs And Digraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.5 Properties Of Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.1.6 The Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.7 The Identity And Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2 Finding The Inverse Of A Matrix, Gauss Jordan Method. . . . . . . . . . . . 115
5.3 Systems Of Equations And Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4 Elementary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5 Finding Linear Relationships Between Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.5.1 The Great And Glorious Lemma On Row Operations . . . . . . . . . 131
5.5.2 Theory Of Row Reduced Echelon Form∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.6 Block Multiplication Of Matrices∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.7 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.8 The Rank Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.9 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6 The LU and QR Factorization 151
6.0.1 Definition Of An LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.0.2 Finding An LU Factorization By Inspection . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.0.3 Using Multipliers To Find An LU Factorization . . . . . . . . . . . . . 152
6.0.4 Solving Systems Using A LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.1 The QR Factorization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7 Determinants 159
7.1 Basic Techniques And Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.1.1 Cofactors And 2×2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.1.2 The Determinant Of A Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.1.3 Properties Of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.1.4 Finding Determinants Using Row Operations . . . . . . . . . . . . . . 165
CONTENTS 5
7.1.5 A Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.1.6 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8 The Mathematical Theory Of Determinants∗ 173
8.0.7 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.1 The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.1 The Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.2 Permuting Rows Or Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.1.4 The Alternating Property Of The Determinant . . . . . . . . . . . . . 177
8.1.5 Linear Combinations And Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.1.6 The Determinant Of A Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.1.7 Cofactor Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.1.8 Formula For The Inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.1.9 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.1.10 Upper Triangular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.2 The Cayley Hamilton Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9 Vector Spaces Subspaces Bases 189
9.0.1 What Is A Vector Space? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.0.2 What Is A Subspace? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.0.3 What Is A Span? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.1 Linear Independence, Bases, Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.1.1 Linear Independence For Spaces Of Functions . . . . . . . . . . . . . . 202
9.1.2 Row Space, Column Space, And Null Space . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.2 Row Column And Determinant Rank∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10 Linear Transformations 211
10.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.1 What Is A Linear Transformation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.2 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.3 Constructing The Matrix Of A Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . 214
10.3.1 Rotations in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.3.2 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.3.3 Algebraically Defined Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . 218
10.3.4 Matrices Which Are One To One Or Onto . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.3.5 Similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.3.6 The General Solution Of A Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11 Eigenvalues And Eigenvectors Of A Matrix 227
11.1 Definition Of Eigenvectors And Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.2 Finding Eigenvectors And Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.3 A Warning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.4 Some Useful Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.5 Defective And Nondefective Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.6 Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11.7 The Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.8 Migration Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
11.9 Complex Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11.10The Estimation Of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6 CONTENTS
11.11Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
12 Curves In Space 259
12.1 Limits Of A Vector Valued Function Of One Variable . . . . . . . . . . . . . 259
12.2 The Derivative And Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.2.1 Arc Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.2.2 Geometric And Physical Significance Of The Derivative . . . . . . . . 265
12.2.3 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.2.4 Leibniz’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.2.5 Motion Of A Projectile (Idealized) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.3 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
13 Newton’s Laws Of Motion∗ 273
13.1 Kinetic Energy∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13.2 Impulse And Momentum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.3 Conservation Of Momentum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
14 Physics Of Curvilinear Motion 281
14.0.1 The Acceleration In Terms Of The Unit Tangent And Normal. . . . . 281
14.0.2 The Circle Of Curvature* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
14.1 Geometry Of Space Curves∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
14.2 Independence Of Parametrization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
14.2.1 Hard Calculus∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
14.2.2 Independence Of Parametrization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
14.3 Product Rule For Matrices∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.4 Moving Coordinate Systems∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
IV Functions Of Many Variables 303
15 Functions Of Many Variables 305
15.1 The Graph Of A Function Of Two Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
15.2 The Domain Of A Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
15.3 Quadric Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
15.4 Open And Closed Sets∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
15.5 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
15.6 Sufficient Conditions For Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
15.7 Properties Of Continuous Functions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
16 Limits Of A Function 319
16.1 The Limit Of A Function Of Many Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
16.2 The Directional Derivative And Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 323
16.2.1 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
16.2.2 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
16.2.3 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
16.3 Some Fundamentals∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
16.3.1 The Nested Interval Lemma∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.3.2 The Extreme Value Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.3.3 Sequences And Completeness∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
16.3.4 Continuity And The Limit Of A Sequence∗ . . . . . . . . . . . . . . . 338
CONTENTS 7
V Differentiability 339
17 Differentiability 341
17.1 The Definition Of Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
17.2 C1 Functions And Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
17.3 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
17.3.1 Separable Differential Equations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
17.4 Exercises With Answers∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
17.4.1 A Heat Seaking Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
17.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
17.5.1 Related Rates Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
17.6 Taylor’s Formula An Application Of Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . 355
17.7 Normal Vectors And Tangent Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
18 Extrema Of Functions Of Several Variables 361
18.1 Local Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
18.2 The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
18.2.1 Functions Of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
18.2.2 Functions Of Many Variables∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
18.3 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
18.4 Finding Function From Its Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
18.5 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
19 The Derivative Of Vector Valued Functions, What Is The Derivative?∗ 379
19.1 C1 Functions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
19.2 The Chain Rule∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
19.2.1 The Chain Rule For Functions Of One Variable∗ . . . . . . . . . . . . 385
19.2.2 The Chain Rule For Functions Of Many Variables∗ . . . . . . . . . . . 385
19.2.3 The Derivative Of The Inverse Function∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 389
19.2.4 Acceleration In Spherical Coordinates∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
19.3 Proof Of The Chain Rule∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
19.4 Proof Of The Second Derivative Test∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
20 Implicit Function Theorem∗ 399
20.1 The Method Of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
20.2 The Local Structure Of C1 Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
VI Multiple Integrals 407
21 The Riemann Integral On Rn 409
21.1 Methods For Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
21.1.1 Density Mass And Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
21.2 Double Integrals In Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
21.3 A Few Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
21.4 Surface Area And Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
21.5 Methods For Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
21.5.1 Definition Of The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
21.5.2 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
21.5.3 Mass And Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
21.6 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
8 CONTENTS
22 The Integral In Other Coordinates 437
22.1 Cylindrical And Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
22.1.1 Geometric Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
22.1.2 Volume And Integrals In Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . 438
22.1.3 Volume And Integrals In Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . 439
22.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
22.3 The General Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
22.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
22.5 The Moment Of Inertia ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
22.5.1 The Spinning Top∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
22.5.2 Kinetic Energy∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
22.6 Finding The Moment Of Inertia And Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . 463
22.7 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
VII Line Integrals 471
23 Line Integrals 473
23.0.1 Orientations And Smooth Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
23.0.2 The Integral Of A Function Defined On A Smooth Curve . . . . . . . 475
23.0.3 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
23.0.4 Line Integrals And Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
23.0.5 Another Notation For Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
23.1 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
23.2 Conservative Vector Fields, Path Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
23.2.1 FindingTheScalarPotential,(RecoverTheFunctionFromItsGradient)483
23.2.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
23.3 Divergence, Gradient, Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
23.3.1 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
23.3.2 Gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
23.3.3 Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
23.3.4 Identities Involving Curl Divergence And Gradient . . . . . . . . . . . 487
23.3.5 Vector Potentials∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
VIII Green’s Theorem, Integrals On Surfaces 489
24 Green’s Theorem 491
24.1 An Alternative Explanation Of Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 494
24.2 Area And Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
25 The Integral On Two Dimensional Surfaces In R3 499
25.1 Parametrically Defined Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
25.2 The Two Dimensional Area In R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
25.2.1 Surfaces Of The Form z =f(x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
25.3 Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
25.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
CONTENTS 9
IX The Divergence Theorem And Stoke’s Theorem 519
26 Divergence And Curl 521
26.1 Divergence Of A Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
26.2 Curl Of A Vector Field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
27 The Divergence Theorem 523
27.0.1 Green’s Theorem, A Review∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
27.0.2 Coordinate Free Concept Of Divergence, Flux Density . . . . . . . . . 528
27.1 The Weak Maximum Principle∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
27.2 Some Applications Of The Divergence Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 530
27.2.1 Hydrostatic Pressure∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
27.2.2 Archimedes Law Of Buoyancy∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
27.2.3 Equations Of Heat And Diffusion∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
27.2.4 Balance Of Mass∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
27.2.5 Balance Of Momentum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
27.2.6 Frame Indifference∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
27.2.7 Bernoulli’s Principle∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
27.2.8 The Wave Equation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
27.2.9 A Negative Observation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
27.2.10Electrostatics∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
28 Stokes And Green’s Theorems 543
28.1 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
28.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
28.3 Stoke’s Theorem From Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
28.3.1 The Normal And The Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
28.3.2 The Mobeus Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
28.3.3 The Meaning Of The Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
28.3.4 Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
28.3.5 Some Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
28.4 When Do You Use What? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
28.5 Maxwell’s Equations And The Wave Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
X Some Iterative Techniques For Linear Algebra 565
29 Iterative Methods For Linear Systems 567
29.1 Jacobi Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
29.2 Gauss Seidel Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
30 Iterative Methods For Finding Eigenvalues 579
30.1 The Power Method For Eigenvalues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
30.1.1 Rayleigh Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
30.2 The Shifted Inverse Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
XI The Correct Version Of The Riemann Integral ∗ 591
A The Theory Of The Riemann Integral∗∗ 593
A.1 An Important Warning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
A.2 The Definition Of The Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
10 CONTENTS
A.3 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
A.4 Which Functions Are Integrable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
A.5 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
A.6 The Change Of Variables Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
A.7 Some Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
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