Matematyka : podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum klasa IV i V PDF
Preview Matematyka : podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum klasa IV i V
Kazimierz Cegiełka Jerzy Przyjemski Karol Szymański MATEMATYKA Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum Klasa IV i V Wydanie drugie nu Warszawa 1990 Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Projekt okładki i karty tytułowej Andrzej Łubniewski Redaktor Wojciech Jędrychowski Redaktor techniczny Agnieszka Ziemkiewicz Korektorzy Maria Grzęda i Ewa Mingin Podręcznik zatwierdzony do użytku szkolnego przez Ministra Edukacji Narodowej. Opracowany na podstawie programu nauczania matematyki Nr. OP23-4120-27/84 z dnia 31 lipca 1984 r. Przeznaczony dla wszystkich profili klasy IV liceum ogólnokształcącego oraz dla klas IV—V liceum zawodowego i technikum. ISBN 83-02-04184-X i. © Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Warszawa 1989 WYDAWNICTWA SZKOLNE I PEDAGOGICZNE WARSZAWA 1990 Wydanie drugie. Nakład 99 820 + 180 egz. Arkuszy w>d. 17,81, arkuszy druk. 20,5 Papier offsetowy ki. III, 70 g, rola 84 cm Oddano do składania 11.01.1990 r. Podpisano do druku w marcu 1990 r. Druk ukończono w maju 1990 r. Zam. 5743/5I2/k. MEN „15" ŁÓDZKA DRUKARNIA OŚWIATOWA Łódź, ul. Kominiarska 1 SPIS TREŚCI Rozdział I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZE STATYSTYKĄ .... 6 § 1. Zdarzenia i ich częstości 6 1.1. Stabilność częstości . 6 Zadania 1.2. Zbiór zdarzeń elementarnych < • 13 Zadania ' 14 1.3. Algebra zdarzeń 15 Zadania 18 § 2. Pojęcie prawdopodobieństwa 19 2.1. Własności częstości 19 Zadania 22 2.2. Określenie prawdopodobieństwa 23 Zadania 27 2.3. Własności prawdopodobieństwa 29 Zadania 35 2.4. Określanie prawdopodobieństw za pomocą drzewa 36 Zadania 49 2.5. Prawdopodobieństwo warunkowe 52 Zadania 59 § 3. Niezależność zdarzeń 60 3.1. Niezależność pary zdarzeń 60 Zadania 63 3.2. Niezależność-trójki zdarzeń 64 Zadania 67 § 4. Schemat Bernoulliego 67 Zadania 79 § 5. Zmienna losowa i jej zastosowania 82 5.1. Zmienna losowa.. 82 Zadania -85 5.2. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej 86 Zadania ' 97 3 Rozdział II ZASTOSOWANIA RACHUNKU POCHODNYCH 102 § 6. Pochodna funkcji złożonej 102 6.1. Pojęcie funkcji złożonej 102 Zadania • 109 6.2. Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej 111 Zadania >. 115 § 7. Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku wymiernym 116 Zadania 121 § 8. Zastosowanie rachunku pochodnych do badania funkcji 122 8.1. Podstawowe własności funkcji 122 Zadania 128 8.2. Granice w nieskończoności 130 Zadania 144 8.3. Granice jednostronne 146 Zadania • 161 8.4. Szkicowanie wykresów funkcji " 163 Zadania 168 § 9. Funkcja pierwotna 170 Zadania 178 Rozdział III OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BRYŁ 180 § 10. Objętość i pole powierzchni graniastosłupa 180 7 Zadania 192 § 11. Objętość i pole powierzchni ostrosłupa 194 Zadania 204 § 12. Objętość i pole powierzchni walca 206 Zadania 214 § 13. Objętość i pole powierzchni stożka 214 Zadania 218 § 14. Objętość kuli i pole sfery 220 Zadania 225 Rozdział IV TEORIE AKSJOMATYCZNE 227 § 15. Logika matematyczna 227 15.1. Rachunek zdań 227 Zadania 231 15.2. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory 231 Zadania 239 § 16. Twierdzenia i ich dowody T 241 Zadania 248 § 17. Teoria grup ' 249 Zadania 255 4 § 18. Aksjomaty Peano liczb naturalnych 257 Zadania 259 § 19. Geometria euklidesowa i nieeuklidesowa " 259 Zadania i 267 Rozdział V ZADANIA POWTÓRZENIOWE 268 Odpowiedzi do zadań . . 281 Skorowidz rzeczowy 325 Rozdział / RACHUNEK PR A WDOPODOB/EŃSTWA ZE STATYSTYKĄ § 1. Zdarzenia i ich częstości 1.1. Stabilność częstości Z elementami rachunku prawdopodobieństwa mieliśmy do czynienia w starszych klasach szkoły podstawowej. Przypomnimy teraz podsta- wowe pojęcia, wprowadzimy nowe, a następnie pokażemy niektóre ich zastosowania przy rozwiązywaniu zadań o treści statystycznej. W życiu codziennym spotykamy się z różnymi zjawiskami. Pewne z nich są ściśle zdeterminowane. I tak np., jeżeli przez s oznaczymy dłu- gość drogi przebytej przez swobodnie spadające ciało w czasie t to dłu- y gość ta wyraża się wzorem s — gdzie g oznacza przyspieszenie grawitacyjne. Można więc w każdej chwili obliczyć długość drogi prze- bytej przez swobodnie spadające ciało znając czas jego spadania. W niektórych zjawiskach nie można z góry przewidzieć wyniku ich zakończenia. Należą do nich m.in.: rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie kuli z urny zawierającej ponumerowane kule, losowanie kart z talii, dokonywanie pomiarów (np. pomiar średnicy śruby), odczyt ciśnienia atmosferycznego itp. W każdym z tych doświadczeń nie potra- fimy przewidzieć wyniku z różnych powodów. Na końcowy wynik danego doświadczenia wpływa bowiem wiele przyczyn, z których tylko część jesteśmy w stanie kontrolować. Na przykład przy rzucie monetą nie jesteśmy w stanie sprecyzować dokładnie wszystkich warunków jego wykonania. Podobnie jest w doświadczeniach polegających na obserwacji zja- wisk zachodzących w przyrodzie. Wyników niektórych z nich nie można 6 góry przewidzieć, np.: liczby bakterii w badanej próbce, liczby cząs- z tek radioaktywnych rejestrowanych w ciągu jednostki czasu przez dane urządzenie liczące, pici rodzącego się dziecka, liczby Polek w następnych latach. Takie doświadczenie, które może zakończyć się jednym z możliwych wyników: co^ ct> ,<*>$> • • •> ale nie wiadomo którym i przewidzenie tego 2 jest praktycznie lub teoretycznie niemożliwe, natomiast częstości tych wyników przy wielokrotnym powtarzaniu tego doświadczenia wydają się przewidywalne, nazywamy doświadczeniem losowym (krótko: doś- wiadczeniem). Jeśli wśród n powtórzeń doświadczenia D wynik pojawił się k razy ([neN , keN, k < w), to przez częstość tego wyniku wśród n + powtórzeń doświadczenia D rozumiemy liczbę Przykład 1.1. Rzuciliśmy 10 razy kostką do gry i otrzymaliśmy ko- lejno ściany z następującymi liczbami oczek: 2, 4, 5, 1, 2, 1, 3, 6, 4, 5. Częstość wypadnięcia ściany z czterema oczkami wśród wszystkich 2 1 wyników tego doświadczenia jest równa — = Natomiast częstość wypadnięcia ściany z czterema oczkami wśród wszystkich parzystych ,2 wyników tego doświadczenia jest równa — (mamy bowiem pięć wyników parzystych: 2, 4, 2, 6, 4). W określeniu doświadczenia losowego zwrot „częstości (...) wydają się przewidywalne" wyrażą następujący fakt: w różnych seriach powtó- rzeń (lub obserwacji) tego samego doświadczenia losowego częstości pojawienia się interesującego nas wyniku są prawie takie same i wraz ze wzrostem liczebności serii mają tendencję do zbliżania się do pewnej liczby. Mówimy wówczas, że częstość taka stabilizuje się. Należy jednak pamiętać, że losowy charakter doświadczenia wyraża się m.in. tym, że: 1) jeśli wynik co w pewnej serii powtórzeń doświadczenia D lub jego obserwacji pojawił się z częstością c, to nie w każdej następnej serii bę- dzie też występował z częstością c; 2) jeśli w poszczególnych dotychczasowych seriach powtórzeń doś- wiadczenia D lub jego obserwacji częstości wyniku co były różne, to nie oznacza to, że w każdych następnych seriach (obserwacjach) też będą różne. 7 Przykład 1.2. Rozważmy doświadczenie polegające na rzucie mo- netą. Wynikiem rzutu monetą jest pojawienie się orła lub reszki, przy czym z góry nie można przewidzieć, poszczególnych rezultatów. Jednak daje się zauważyć, że częstości występowania orła i reszki wśród dużej liczby powtórzeń tego doświadczenia są bliskie wartości y. Potwierdzają to dane przedstawione w tablicach 1 i 2. Tablica 1 zawiera rezultaty ekspery- mentów przeprowadzonych przez G.L. Buffona (francuski przyrodnik i filozof (1707—88)) i K. Pearsona (angielski matematyk i filozof (1857— —1936)). Natomiast tablica 2 prezentuje wyniki losowania orła uzyskane za pomocą maszyny cyfrowej GIER w Uniwersytecie Warszawskim w 1970 roku. Tablica 1 Częstość Liczba rzutów Liczba pojawień pojawienia monetą się orła się orła n k k n Buffon 4040 2048 0,5069 12000 6019 0,5016 PPeeaarrssoonn 24000 12012 0,5005 Tablica 2 Częstość Liczba rzutów Liczba pojawień pojawienia monetą się orła się orła n k k n 200 116 0,5800 300 153 0,5100 500 251 0,5020 1000 504 0,5040 2000 1002 0,5010 5000 2529 0,5058 10 000 4982 0,4982 8 V Do ustalenia częstości niektórych wyników można wykorzystać dane statystyczne. Przykład 1.3. Tablica 3 zawiera dane o częstości urodzenia się chłopca w Austrii w latach 1893—1903, a tablica 4 podobne dane dla dziewczy- nek urodzonych w Polsce w latach 1928—1932 oraz 1957—1966. Na podstawie danych z tablicy 4 mamy prawo przypuszczać, że dziewczynki stanowić będą około 48,3% wszystkich noworodków, które urodzą się w Polsce w przyszłym roku. Dla porównania podajemy wyniki uzyskane przez P. Laplace'a (francuski astronom, matematyk i filozof (1749—1827)) — częstość urodzenia się dziewczynki we Francji w latach 1800—1802 wynosiła 0,4834. Tablica 3 Rok Częstość urodzenia się chłopca 1893 0,516 ' 1894 0,515 1895 0,514 1896 0,514 1897 0,514 1898 0,514 1899 0,514 1900 0,515 1901 0,514 1902 0,514 1903 0,513 Tablica 4 Liczba urodzo- Częstość Częstość Liczba urodzeń nych dziewczy- Nr k Rok w roku po k w tysiącach nek w tysią- k latach cach 1 1928 991,0 477,3 0,4816 0,4816 2 1929 994,1 479,3 0,4821 0,4819 3 1930 1022,8 494,7 0,4837 0,4825 4 1931 964,6 467,6 0,4848 0,4831 5 1932 934,7 452,2 0,4838 0,4832 9
The list of books you might like
